D18函数的连续性与间断点.pptx
间变化很小时,生物生长的也很少.在函数关系上的反映就是函数的连续性.在自然界中,许多事物的变化是连续的,如气温变化很小时,金属棒长变化也很小.时 在高等数学中,主要的研究对象就是连续函数.这种现象从直观上不妨这样说,连续函数的特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以一笔画成.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第1页/共29页1.函数的增量自变量称差为自变量在的增量;函数随着从称差为函数的增量增量.如图:一、函数的连续性一、函数的连续性 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第2页/共29页连续连续,2.连续的定义定义定义1 1设函数 f(x)在内有定义,若则称函数f(x)在x0处并称x0为函数f(x)的连续点连续点.定义定义2 2若则称函数f(x)在x0处连续连续.把极限与连续性联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法只需求出该点函数特定值.自变量在x0点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小.形象地表示了连续性的特征.采用了无穷小定义法 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第3页/共29页连续性的二种定义形式不同,这二种定义中都含有但本质相同.f(x)在内有定义;(1)(2)(3)三个要素三个要素:存在;函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第4页/共29页例例证证都是连续的.类似可证,是连续的.即 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第5页/共29页3.左、右连续左连续左连续(continuity from the右连续右连续(continuity from theleft);right).左连续右连续 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第6页/共29页定理定理1 此定理常用于判定分段函数在分段点处的连续性.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第7页/共29页例例解解右不连续.所以左连续,函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第8页/共29页4.连续函数(continous function)与连续区间上的或称函数在该区间上连续.在区间上每一点都连续的函数,称该区间在开区间右连续右连续左端点右端点这时也称该区间为continuous左连续左连续连续函数连续函数,连续区间连续区间.内连续 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.连续函数的图形第9页/共29页例如例如,多项式函数内是连续的.因此有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数只要都有因此多项式函数在都是连续的.第六节中已证 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第10页/共29页定义定义4 4出现如下三种情形之一:二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类无定义;不存在;间断点间断点.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点设函数 f(x)在x0 的某去心邻域内有定义第11页/共29页间断点分为两类:第二类间断点第一类间断点及均存在,及中至少有一个不存在.若称 为可去间断点.若称 为跳跃间断点.若其中有一个为振荡,若其中有一个为称 为无穷间断点.称 为振荡间断点.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第12页/共29页可去型第一类间断点跳跃型无穷型无穷次振荡型第二类间断点 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第13页/共29页例例由于函数无定义,故为f(x)的 间断点.且皆不存在.第二类第二类间断点:至少有且是无穷型间断点.一个不存在.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第14页/共29页例例有定义,不存在,故为f(x)的 间断点.第二类且是无穷次振荡型间断点.之间来回无穷次振荡,函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第15页/共29页例例有定义,故为f(x)的 间断点.第一类的第一类间断点.则点x0为函数 f(x)的且是跳跃间断点.跳跃型间断点跳跃型间断点.及均存在,则点x0为 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第16页/共29页 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点例例 讨论函数解解为函数的 间断点.第一类 且是可去间断点(removable discontinuity).处无定义,可去间断点.连续.第17页/共29页为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如例如:函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第18页/共29页显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第19页/共29页则可使x0变为连续点.注注对可去间断点x0,如果于A,(这就是为什么将这种间断点称为使之等可去间断点的理由.)补充 x0的函数值,或改变 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第20页/共29页如补充定义:如如但 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第21页/共29页解解函数无定义,是函数的间断点.由于所以是函数的第二类间断点,且是无穷型.由于所以是函数的第一类间断点,且是跳跃型.并指出其类型.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第22页/共29页疑难解释：疑难解释：2.第23页/共29页第24页/共29页练习：练习：1.2.设设3.第25页/共29页内容小结内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第26页/共29页可去型第一类间断点跳跃型无穷型无穷次振荡型第二类间断点 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第27页/共29页 作业作业 P65 3(2)(3);4;6 第28页/共29页感谢您的观看！第29页/共29页
