d导数的概念与性质.pptx
13.1 3.1 导数的概念导数的概念1 1、导数的定义、导数的定义2 2、导数的几何意义、导数的几何意义3 3、左、右导数、左、右导数4 4、导数与连续的关系、导数与连续的关系第1页/共31页2一、导数的概念一、导数的概念第2页/共31页3割线割线 MN MN 的极限位置的极限位置 MT MT 称为称为 曲线曲线 L L 在点在点 M M 处的切线。处的切线。割线割线 MN MN 的斜率为：的斜率为：切线切线 MTMT 的斜率为的斜率为：在点在点求曲线求曲线L L：处切线的斜率。处切线的斜率。当当时时,1 1、导数概念的引入导数概念的引入-切线问题切线问题 第3页/共31页4设函数设函数在点在点某邻域内有定义，某邻域内有定义，若极限若极限存在，存在，则称函数则称函数在点在点处处可导可导，并称此极限值为函数并称此极限值为函数在点在点处的处的导数导数，记作：记作：或（1 1）定义定义1 12 2、导数的定义、导数的定义若极限不存在，若极限不存在，在点在点则称函数则称函数处不可导处不可导.说明说明第4页/共31页5 若记若记所以所以（2 2）或或（3 3）定义定义2 2第5页/共31页6例例1.1.设设存在存在,由导数定义观察下列极限由导数定义观察下列极限,并指出并指出 A A 表示什么表示什么?解解另解，A(1).令 ，则A第6页/共31页7(2).A另解，另解，A=A=（关键是凑定义）（关键是凑定义）第7页/共31页8例2 已知，则练习一下第8页/共31页9例例3.3.求函数求函数在在 x=2 x=2 处的导数处的导数.解解 函数函数在在 x=3 x=3 处的导数处的导数?问题问题 函数函数在在 x=xx=x0 0 处的导数处的导数?2x2x第9页/共31页103 3、导函数、导函数若函数若函数在区间在区间 I I 内每一点都可导内每一点都可导,则称函数则称函数在区间在区间 I I 内可导内可导.对任一对任一都对应一个确定的导数值都对应一个确定的导数值.构成了一个新的函数构成了一个新的函数,导函数导函数.记作记作:（4 4）即即函数函数在在处的导数处的导数,就是导函数在就是导函数在处的处的函数值函数值.即即这个函数称做原来函数这个函数称做原来函数的的第10页/共31页11例例4.4.求函数求函数(常数常数)的导数的导数.解解常数的导数等于零常数的导数等于零例例5 5 求函数求函数处的导数处的导数.在在解解可得第11页/共31页12对于对于幂函数幂函数为常数为常数),),有有例如,第12页/共31页13例例6.6.设设求求解解正弦函数的导数等于余弦函数正弦函数的导数等于余弦函数.类似得类似得,余弦函数的导数等于负的正弦函数余弦函数的导数等于负的正弦函数.第13页/共31页14例例7.7.设设求求解解特别地特别地,第14页/共31页15解解因因所以所以例例9.9.,求求解解 因因所以所以例例8.8.求函数求函数在在处的导数处的导数.第15页/共31页16二、导数的几何意义二、导数的几何意义第16页/共31页171 1、导数的几何意义、导数的几何意义曲线曲线在点在点处处切线方程切线方程为：为：曲线曲线在点在点处处法线方程法线方程为：为：是曲线是曲线 在点在点处的切线斜率处的切线斜率注意:时，切线方程为：第17页/共31页18例例10.10.求曲线求曲线在点在点 (1,1)(1,1)处的切线方程和法线方程处的切线方程和法线方程.解解由导数的几何意义知由导数的几何意义知,所求切线的斜率为所求切线的斜率为:所求切线方程为所求切线方程为:即即所求法线方程为所求法线方程为:即即第18页/共31页19三、左、右导数三、左、右导数第19页/共31页201.1.左、右导数左、右导数左导数：左导数：右导数：右导数：第20页/共31页21结论结论函数在一点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在且相等函数在一点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在且相等.第21页/共31页22例例1111求函数求函数在在处的导数处的导数.解解所以所以,函数函数在在处不可导处不可导.x xy yo o（讨论分断点的可导性用定义）（讨论分断点的可导性用定义）重要结果第22页/共31页23四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系第23页/共31页241 1、函数的可导性与连续性的关系、函数的可导性与连续性的关系(可导的必要条件可导的必要条件)若函数若函数在在处处可导可导,则必则必连续连续 .反之不真反之不真.事实上事实上,因因在在处可导处可导,即即所以所以,函数函数在在处连续处连续.定理定理1.11.1第24页/共31页25反例反例(1).(1).在在处连续处连续,不可导不可导.(2).(2).在在处连续处连续,但但即函数即函数在在处不可导处不可导,在在处有垂直于处有垂直于 x x 轴的切线轴的切线.x xy yo o但是但是x xy yo o1第25页/共31页261)1)函数函数在区间在区间 a,b a,b 连续连续 指在指在(a,b)a,b)内连续内连续,且且都存在都存在.说明说明2)2)函数函数在区间在区间 a,b a,b 可导可导 指在指在(a,b)a,b)内可导内可导,且且都存在都存在.第26页/共31页27例例12.12.设函数设函数当当取何值时取何值时,在在处连续且可导处连续且可导.解解.由由（讨论分断点的可导性用定义）（讨论分断点的可导性用定义）第27页/共31页28例例13.13.讨论函数讨论函数 在在处连续性与可导性处连续性与可导性.第28页/共31页29要要 求求(1)(1)掌握导数的定义与几何意义掌握导数的定义与几何意义 (2)(2)知道可导与连续的关系知道可导与连续的关系两条经验两条经验(1).斜率是导数在某点的值（即常数）(2).求分断点的导数用定义第29页/共31页30第30页/共31页31感谢您的欣赏！第31页/共31页
