D两个重要极限;无穷小的比较.pptx
1第1页/共26页2则有则有(B0)推论推论 1.(C 为常数为常数)推论推论 2.(n 为正整数为正整数)温故知新：温故知新：第2页/共26页31)直接用四则法则；直接用四则法则；2)恒等变形后用四则法则恒等变形后用四则法则3)利用无穷小的性质利用无穷小的性质;无限项无限项:约去零因式约去零因式通分通分分子分母有理化分子分母有理化3.求极限的基本方法求极限的基本方法抓大头抓大头4)无穷小与无穷大的关系法无穷小与无穷大的关系法;5)复合函数的极限运算法则(变量代换法);化无限为有限法化无限为有限法6)利用极限存在的充要条件求极限利用极限存在的充要条件求极限(如分段函数如分段函数);7)利用夹逼准则和单调有界准则利用夹逼准则和单调有界准则.性质性质2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小：有界函数与无穷小的乘积是无穷小.第3页/共26页4第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则夹逼准则夹逼准则；单调有界准则；单调有界准则第4页/共26页51.夹逼准则夹逼准则准则准则：单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.2.单调有界准则单调有界准则一、极限存在准则一、极限存在准则第5页/共26页6二、两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限设单位圆设单位圆O，圆心角圆心角作单位圆的切线作单位圆的切线第6页/共26页7注意：注意：注意：注意：2)作用：作用：第7页/共26页8解：解：解：解：1.=1例例1.求求例例2.例例3.解：解：第8页/共26页9例例4.解：解：思考思考：第9页/共26页10我们从三方面来我们从三方面来认识这个极限：认识这个极限：1)函数：函数：第二项与指数互为倒数第二项与指数互为倒数.2)极限过程是：极限过程是：指数指数3)极限值极限值=e(e=2.718281828459045)括号内第一项是括号内第一项是1，中间是中间是“+”号，号，该极限的证明省略该极限的证明省略如如:第10页/共26页11例例5.解解:第11页/共26页12思考与练习思考与练习.解解:解解:经验：含幂指函数 型 极限 常用第二个重要极限.第12页/共26页14两个重要极限两个重要极限:第14页/共26页15 第一章 都是无穷小都是无穷小,第七节引例：引例：但但 无穷小的比较可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的.两个无穷小比值的极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.第15页/共26页161.定义定义:注：注：注：注：判断无穷小的阶判断无穷小的阶判断无穷小的阶判断无穷小的阶,实际上就是求极限实际上就是求极限实际上就是求极限实际上就是求极限.第16页/共26页17注意：注意：1.无穷小的比较是无穷小的比较是无穷小无穷小与与无穷小无穷小比较的；比较的；2.零是阶最高的零是阶最高的,一般是比较非零无穷小的一般是比较非零无穷小的;3.无穷小的阶的高低是相对的无穷小的阶的高低是相对的;并依赖于极限过程的并依赖于极限过程的;4.无穷小的比较是无穷小的比较是 型极限的另外一种型极限的另外一种说法；说法；5.有两个重要的符号有两个重要的符号例如例如第17页/共26页18证证:即有等价关系即有等价关系:上述证明过程也给出了关系上述证明过程也给出了关系:例1.证明:说明:第18页/共26页19证证:必要性必要性充分性充分性意义意义:由等价无穷小可给出函数的近似表达式由等价无穷小可给出函数的近似表达式2.等价无穷小的性质等价无穷小的性质例如：例如：第19页/共26页20(自反性自反性)(对称性对称性)(传递性传递性)P60 T5说明说明1:等价无穷小的其它性质：等价无穷小的其它性质：说明2:常用等价无穷小:第20页/共26页21定理定理2 (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理)证：证：说明：说明：即定理条件满足时即定理条件满足时,可以只代换无穷小的可以只代换无穷小的分子分子或或分母分母.即定理条件满足时即定理条件满足时,可以代换可以代换积积中因式的无穷小中因式的无穷小.第21页/共26页22例例2.求求解解:例例3.求求解解:第22页/共26页23只可对函数的只可对函数的乘积因子乘积因子作等价无穷小代换作等价无穷小代换,对于对于代数和和中各无穷小不能分别中各无穷小不能分别等价代换代换.切记切记:补例补例:解解:错错解解:第23页/共26页24内容小结内容小结1)两个重要极限：两个重要极限：2)无穷小的比较：无穷小的比较：设设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小,且且 是是 的的高阶高阶无穷小无穷小 是是 的的低阶低阶无穷小无穷小 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小 是是 的的等价等价无穷小无穷小 是是 的的 k 阶阶无穷小无穷小第24页/共26页253)等价无穷小代换定理：等价无穷小代换定理：4)常用的等价无穷小：常用的等价无穷小：5)注意事项：注意事项：求极限时只可对函数的求极限时只可对函数的乘积因子乘积因子作等价无穷作等价无穷小代换小代换,对代数和中无穷小不能随意等价代换对代数和中无穷小不能随意等价代换.6)新增求极限的方法：新增求极限的方法：8.重要极限法，重要极限法，9.等价无穷小代换法等价无穷小代换法注意各种求极限方法的理论依据、使用条件与范围注意各种求极限方法的理论依据、使用条件与范围.作业作业:P56 1(4)(5)(6);2(2)(3)(4);P593;4(2)(3)(4)预习预习:P60-P70P59 题题1,2写在书上写在书上.第25页/共26页26感谢您的欣赏！第26页/共26页
