ch极限的运算法则实用.pptx

本节通过无穷小的运算性质来讨论极限的运算法则本节通过无穷小的运算性质来讨论极限的运算法则.主要内容主要内容本节要点本节要点一、无穷小与无穷大的概念一、无穷小与无穷大的概念二、极限的四则运算和复合运算法则二、极限的四则运算和复合运算法则第1页/共29页一、无穷小与无穷大 1.无穷小无穷小 Infinitesimal注注 无穷小是一个以无穷小是一个以0为极限的变量，任何非零常数，为极限的变量，任何非零常数，即便它非常小，也不是无穷小即便它非常小，也不是无穷小.定义定义 如果如果 时函数时函数 的极限为的极限为零，那么零，那么 就叫做就叫做 时的无穷小时的无穷小.引理引理 在自变量的同一变化过程中，函数在自变量的同一变化过程中，函数 有极限有极限 的充分必要条件是的充分必要条件是 其中其中 是无是无穷小穷小.第2页/共29页定理定理1 有限个无穷小之和是无穷小；有限个无穷小之和是无穷小；有界函数与无穷小之积是无穷小有界函数与无穷小之积是无穷小.证证 设设 是是 的的无穷小，今证无穷小，今证 是无穷小是无穷小.因因当当 时，有时，有当当 时，有时，有取取 当当 时有时有所以所以第3页/共29页 设设 是是 的的无穷小，无穷小，是有界量，即是有界量，即当当 时有时有 又因又因 是无穷小，所以，是无穷小，所以，取取 当当 ，有，有即即推论推论 常数与无穷小之积是无穷小；常数与无穷小之积是无穷小；有限个无穷小之积是无穷小有限个无穷小之积是无穷小.第4页/共29页Ex1.Find the limit解解 因因 ，故由定理故由定理1得得 下图是函数的图形，从图中可以看出，当下图是函数的图形，从图中可以看出，当 时，时，对应的函数值虽然交替地取正负值，但是却无限接近于对应的函数值虽然交替地取正负值，但是却无限接近于0.0.第5页/共29页第6页/共29页 2.无穷大无穷大 Infinity如果对任意给定的正数如果对任意给定的正数 总存在正数总存在正数 （或正数（或正数 ），），使得对定义域中的满足使得对定义域中的满足 （或（或 ）时，）时，对应的函数值对应的函数值 满足不等式满足不等式则称则称 为为 时的无穷大，记为时的无穷大，记为（则称（则称 为为 时的无穷大，记为时的无穷大，记为如果当如果当 时，对应的函数的绝对值时，对应的函数的绝对值则称则称 为为 时的无穷大时的无穷大.即即第7页/共29页例如例如 ，则称则称 为为 时的无穷大时的无穷大.则称则称 为为 时的无穷大时的无穷大.例如例如 ，第8页/共29页注意，注意，记号记号并不是表示极限并不是表示极限 存在，而是表示函数当存在，而是表示函数当 时函数有确定的变化趋势（变化到无穷大）时函数有确定的变化趋势（变化到无穷大）.如果如果 ，表示曲线，表示曲线 有垂直有垂直的渐近线的渐近线 .例如：例如：xyo第9页/共29页解解 若取若取则则故故 不是无穷大。不是无穷大。例例2 试说明函数试说明函数 在在 时不是无穷大时不是无穷大.第10页/共29页 3.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系定理定理 在自变量同一过程中，在自变量同一过程中，若若 是无穷大，则是无穷大，则 是无穷小；是无穷小；若若 是非零无穷小，则是非零无穷小，则 是无穷大是无穷大.第11页/共29页小结：函数变化趋势的几种情形：小结：函数变化趋势的几种情形：第12页/共29页二、极限的运算法则定理定理2 设设 为了便于表述，我们用记号为了便于表述，我们用记号 表示自变量表示自变量 等变化过程等变化过程.若若 则有则有第13页/共29页证证 因因 由引理得由引理得 其中其中 是无穷小，则是无穷小，则由定理由定理1，知，知 为无穷小，且为无穷小，且仅证明（仅证明（1 1）与（）与（2 2）由定理由定理1知，变量知，变量 为无穷小，故为无穷小，故第14页/共29页更一般，若更一般，若 则则推论推论 若若 是常数，是常数，则则函数函数叫做函数叫做函数的线性组合的线性组合.第15页/共29页Ex3.Find the following limits.解解 所以所以（2）因）因根据极限运算法则，根据极限运算法则，（1）（2）（3）第16页/共29页一般的，若多项式一般的，若多项式则则（3）因为）因为所以所以第17页/共29页若若 且且 则则形如（形如（1 1）式的函数称为）式的函数称为有理函数有理函数.若若 则则若若 则则不确定不确定.第18页/共29页极限极限 ，如果，如果 并且并且 ，那么这种极限称为那么这种极限称为 型未定式型未定式.之所以称它未定式之所以称它未定式这种极限可能是这种极限可能是有限数有限数,也可能也可能不存在不存在.例如例如 分子和分母的极限均为分子和分母的极限均为0 0，且，且分子和分母均是多项式，分子和分母均是多项式，故必有公因子故必有公因子 故消去公因子求极限：故消去公因子求极限：第19页/共29页Ex4.Evaluate the limit解解 分子分母均除以分子分母均除以 x3,得得 当当 时，如何求时，如何求？第20页/共29页Ex5.Evaluate the limit解解 分子分母均除以分子分母均除以 ，得，得 第21页/共29页Ex6.Evaluate the limit解解 考虑极限：考虑极限：同例同例5，得该极限为，得该极限为0，故原式的极限，故原式的极限第22页/共29页 对上面几个例子的分析，得到：对上面几个例子的分析，得到：当当 时时有理函数有理函数 的极限的极限:第23页/共29页定理定理3 (复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则)设设 及及 ，且在点且在点 的的某去心邻域内某去心邻域内 则复合函数则复合函数 当当 时的极限存在，且时的极限存在，且例如例如 求极限求极限 解解 令令满足定理的条件，由此得到满足定理的条件，由此得到第24页/共29页Ex7.Find the limit解解 方法方法 对对 型的无理分式型的无理分式，可采用分子或分母有理化可采用分子或分母有理化消去消去公公因子后求极限因子后求极限.第25页/共29页Ex8.Find the limit解解 采用分子、分母有理化的方法，采用分子、分母有理化的方法，第26页/共29页Ex9.Find the limit解解 第27页/共29页总结总结1.什么是无穷小和无穷大？记住一些常见的无穷小和无穷大什么是无穷小和无穷大？记住一些常见的无穷小和无穷大的例子。的例子。2.能利用能利用极限运算法则极限运算法则求一些简单函数的极限：求一些简单函数的极限：有理函数在有限点处的极限和无穷远处的极限。有理函数在有限点处的极限和无穷远处的极限。无理分式的极限（分子分母有理化，消公因子）。无理分式的极限（分子分母有理化，消公因子）。下节课：两个重要极限和无穷小比较。下节课：两个重要极限和无穷小比较。第28页/共29页感谢您的欣赏！第29页/共29页