定积分的物理应用优秀PPT.ppt
定积分的物理应用你现在浏览的是第一页，共43页一、平面物质线段的质量一、平面物质线段的质量 已知在闭区间已知在闭区间a,b上的上的物质直线段物质直线段 L，线密度为，线密度为(x)，且，且 (x)是连续函数，是连续函数，求线段求线段 L 的质量的质量.质量元素：质量元素：从而线段从而线段L 的质量为的质量为L你现在浏览的是第二页，共43页例例1一金属棒长一金属棒长3(m)，离棒左端，离棒左端x(m)处的线密处的线密度为度为 (x)=问：问：x为何为何值时，值时，0,x一段的质量为全棒的一半？一段的质量为全棒的一半？解解0,x上一段的质量为上一段的质量为你现在浏览的是第三页，共43页而全棒的质量为而全棒的质量为 M(3)=2,故依题意有故依题意有你现在浏览的是第四页，共43页二、功二、功O问题：问题：设物体在连续变力设物体在连续变力 F(x)作用下沿作用下沿 x 轴从轴从 xa 移动到移动到x=b，力的方向与运动方，力的方向与运动方向平行，向平行，求变力所作的功求变力所作的功.由物理学，已知常力由物理学，已知常力F0将质点从点将质点从点a 移至移至 b,所作的功为：所作的功为：1.变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功你现在浏览的是第五页，共43页 功功W具有可用定积分计算的量的三个特征，故可具有可用定积分计算的量的三个特征，故可考虑用定积分的考虑用定积分的“元素法元素法”来计算来计算.功元素：功元素：注注当力的方向与质点的运动方向一致时，当力的方向与质点的运动方向一致时，W为为正正；当力的方向与质点的运动方向相反时，；当力的方向与质点的运动方向相反时，W为为负负.xo你现在浏览的是第六页，共43页例例2自地面垂直地向上发射火箭自地面垂直地向上发射火箭.设火箭的质量设火箭的质量为为m,求：求：(1)火箭离开地面距离为火箭离开地面距离为h 时，克服地球引力时，克服地球引力 所作的功所作的功W;(2)若要火箭飞离地球，火箭的初始速度若要火箭飞离地球，火箭的初始速度v0 至少为多少？至少为多少？解解(1)1 建立坐标系建立坐标系(如图如图)rO设地球的质量为设地球的质量为M,半径为半径为R.地平面地平面你现在浏览的是第七页，共43页rO地平面地平面 r 用于克服地球引力的外力：用于克服地球引力的外力：2 由万有引力定律，由万有引力定律，地球对位于点地球对位于点r 处的火箭的处的火箭的引力：引力：h r+dr功元素：功元素：R地心地心你现在浏览的是第八页，共43页你现在浏览的是第九页，共43页(2)当火箭飞离地球时，即当火箭飞离地球时，即若要火箭飞离地球，则若要火箭飞离地球，则火箭的初始动能至少要火箭的初始动能至少要等于火箭飞离地球时克等于火箭飞离地球时克服地球引力所作的功服地球引力所作的功(即由此功全部转化成即由此功全部转化成的火箭的位能的火箭的位能)第二宇宙速度第二宇宙速度你现在浏览的是第十页，共43页 一圆柱形蓄水池一圆柱形蓄水池高为高为5米，底半径为米，底半径为3米，池内盛满了水米，池内盛满了水.2.从容器中抽出液体作的功从容器中抽出液体作的功例例3分析分析把一桶重量为把一桶重量为P的水的水(看成质点看成质点),提到高度为提到高度为h 的地方，克服重力的地方，克服重力所作的功为：所作的功为：然而，现在的情形是将池内的水连续不断地然而，现在的情形是将池内的水连续不断地问：要把池内的水全部吸问：要把池内的水全部吸出，需作多少功？出，需作多少功？点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停你现在浏览的是第十一页，共43页抽出，而不是象提水桶那样，抽出，而不是象提水桶那样，整体整体一下子提到某一下子提到某一高度。在水被抽出的过程中，液面到池口的距一高度。在水被抽出的过程中，液面到池口的距离是一个离是一个变量变量.解决的方法：解决的方法：把池中的水分成若干层，则把池中的水分成若干层，则“把池中的水抽空所作的功把池中的水抽空所作的功”=“分别把每层水从池中抽出所作的功的和分别把每层水从池中抽出所作的功的和”.而而 “把每层水从池中抽出所作的功把每层水从池中抽出所作的功 ”“把这层水看成一个整体从池中提到池口所把这层水看成一个整体从池中提到池口所作的功作的功”.你现在浏览的是第十二页，共43页解解建立坐标系如图建立坐标系如图这一薄层水的重力元素为这一薄层水的重力元素为:功元素：功元素：(千焦千焦)你现在浏览的是第十三页，共43页三、液体侧压力三、液体侧压力设液体密度为设液体密度为 ,深为深为 h 处的压强处的压强:当平板与水面平行时当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用定积分来解决所受侧压力问题就需用定积分来解决.平板一侧所受的压力为平板一侧所受的压力为面积为面积为 A 的平板的平板你现在浏览的是第十四页，共43页例例4小窄条上各点的压强小窄条上各点的压强近似相等近似相等为为 的液体的液体,求桶的一个端面所受的侧压力求桶的一个端面所受的侧压力.解解 建立坐标系如图建立坐标系如图.所论半圆所论半圆利用对称性利用对称性,侧压力元素侧压力元素的方程为的方程为一水平横放的半径为一水平横放的半径为R 的圆桶的圆桶,内盛半桶密度内盛半桶密度端面所受侧压力为端面所受侧压力为你现在浏览的是第十五页，共43页注注1当桶内充满液体时当桶内充满液体时,小窄条上的压强小窄条上的压强近似为为近似为为侧压力元素侧压力元素故端面所受侧压力为故端面所受侧压力为奇函数奇函数2 对于选定的坐标系，平板边界曲线的方程，对于选定的坐标系，平板边界曲线的方程，水深，积分区间水深，积分区间一定一定要要匹配！匹配！你现在浏览的是第十六页，共43页四、引力问题四、引力问题质量分别为质量分别为的质点的质点,相距相距 r,二者间的引力二者间的引力:大小大小:方向方向:沿两质点的连线沿两质点的连线若考虑若考虑物体物体对对质点质点的引力的引力,回顾：回顾：两质点的引力两质点的引力则需用积分解决则需用积分解决.你现在浏览的是第十七页，共43页例例5 设有一长度为设有一长度为 l,线密度为线密度为 的均匀细直棒的均匀细直棒,在其中垂线上距在其中垂线上距 a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的质点的质点 M,试计算该棒对质点的引力试计算该棒对质点的引力.解解 建立坐标系如图建立坐标系如图.细棒上小段细棒上小段对质点的引力大小为对质点的引力大小为故垂直分力元素为故垂直分力元素为你现在浏览的是第十八页，共43页利用对称性利用对称性棒对质点引力的水平分力棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为棒对质点的引力的垂直分力为 你现在浏览的是第十九页，共43页注注2 若考虑质点沿若考虑质点沿 y 轴从轴从 a 处移到处移到 1 当细棒很长时当细棒很长时,可视可视 l 为无穷大为无穷大,此时引力大小为此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒方向与细棒垂直且指向细棒.b(a b)处时，克服引力作的功处时，克服引力作的功,则有则有你现在浏览的是第二十页，共43页引力大小为引力大小为注意正负号注意正负号3 当质点位于棒的左端点垂线上时当质点位于棒的左端点垂线上时,你现在浏览的是第二十一页，共43页内容小结内容小结(1)先用微元分析法求出它的微分表达式先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ一般微元的几何形状有一般微元的几何形状有:扇、扇、片、片、壳壳 等等.(2)然后用定积分来表示整体量然后用定积分来表示整体量 Q,并计算之并计算之.2.定积分的物理应用定积分的物理应用:曲线弧段的质量，变力作功曲线弧段的质量，变力作功,侧压力侧压力,引力等引力等.条条、段段、环环、带带、1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的的步骤步骤:你现在浏览的是第二十二页，共43页思考题思考题解解如图建立坐标系如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为你现在浏览的是第二十三页，共43页你现在浏览的是第二十四页，共43页 在底面积为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀气体，在等温条件下，由于气体的膨胀,把容把容备用题备用题例例2-1求移动过程中气体压力所作的功求移动过程中气体压力所作的功.解解建立坐标系如图建立坐标系如图.由由波义耳波义耳马略特马略特定律知定律知压强压强p 与体积与体积 V 成反比成反比,即即故作用在活塞上的力为故作用在活塞上的力为器中的一个面积为器中的一个面积为S 的活塞从点的活塞从点 a 处移动到点处移动到点 b 处处(如图如图),你现在浏览的是第二十五页，共43页功元素为功元素为所求功为所求功为你现在浏览的是第二十六页，共43页例例2-2解解当单位正电荷距离原点当单位正电荷距离原点 r 时时,由由库仑定律库仑定律电场力为电场力为在一个带在一个带+q 电荷所产生的电场作用下电荷所产生的电场作用下,一个单位正电荷沿直线从距离点电荷一个单位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到处移动到 b 处处(a b),求电场力所作的功求电场力所作的功.则功的元素为则功的元素为所求功为所求功为你现在浏览的是第二十七页，共43页 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第例例2-3解解木板对铁钉的阻力为木板对铁钉的阻力为建立坐标系如图，则建立坐标系如图，则第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为xox一次锤击时将铁钉击入一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功厘米，若每次锤击所作的功相等，问第相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？你现在浏览的是第二十八页，共43页第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为设设n次击入的总深度为次击入的总深度为h 厘米厘米n次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等n次击入的总深度为次击入的总深度为第第n次击入的深度为次击入的深度为xoh你现在浏览的是第二十九页，共43页例例2-4(99考研考研)解解 作作 x 轴如图轴如图.为清除井底污泥为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口抓起污泥后提出井口,在提升过程中污泥在提升过程中污泥以以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为提升速度为3m/s,问问克服重力需作多少焦耳克服重力需作多少焦耳(J)功功?已知井深已知井深30 m,抓斗自重抓斗自重将抓起污泥的抓斗由将抓起污泥的抓斗由x 提升提升 dx 所作的功为所作的功为 400N,缆绳每米重缆绳每米重50N,你现在浏览的是第三十页，共43页提升抓斗中的污泥提升抓斗中的污泥:克服缆绳重克服缆绳重:抓斗升至抓斗升至 x 处所需时间处所需时间:克服抓斗自重克服抓斗自重:井深井深 30 m,抓斗自重抓斗自重 400 N,缆绳每米重缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为提升速度为3ms,污泥以污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉的速度从抓斗缝隙中漏掉 你现在浏览的是第三十一页，共43页解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有例例3-1你现在浏览的是第三十二页，共43页你现在浏览的是第三十三页，共43页故所求速度为故所求速度为你现在浏览的是第三十四页，共43页R-y功元素：功元素：你现在浏览的是第三十五页，共43页故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为你现在浏览的是第三十六页，共43页思考思考:若建立坐标系（如图），又如何求功若建立坐标系（如图），又如何求功W?解解x你现在浏览的是第三十七页，共43页功元素功元素你现在浏览的是第三十八页，共43页例例4-1解解 建立坐标系如图建立坐标系如图面积元素：面积元素：压力元素：压力元素：压力：压力：你现在浏览的是第三十九页，共43页例例4-2斜边为定长的直角三角形薄板斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于水垂直放置于水解解 选取坐标系如图选取坐标系如图.设斜边长为设斜边长为 l,中中,并使一直角边与水面相齐并使一直角边与水面相齐,问斜边与水面交成锐问斜边与水面交成锐角角 取多大时，薄板所受的压力取多大时，薄板所受的压力P最大最大.则其方程为则其方程为你现在浏览的是第四十页，共43页故得唯一驻点故得唯一驻点 故此唯一驻点故此唯一驻点即为所求即为所求.由实际意义可知最大值存在由实际意义可知最大值存在,即即你现在浏览的是第四十一页，共43页设星形线设星形线上每一点上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在点O 处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力这质点的引力.解解 如图如图.例例5-1你现在浏览的是第四十二页，共43页同理同理故星形线在第一象限的弧段对该质点故星形线在第一象限的弧段对该质点引力大小为引力大小为你现在浏览的是第四十三页，共43页
