第04次课教学课题45定积分的应用.doc
1第第 04 次课次课教学课题教学课题:4.5定积分的应用教学目的：教学目的：1.熟练掌握平面图形的面积和旋转体的体积的计算方法；2.了解定积分在经济上的应用.授课时数授课时数：2 学时教学重点教学重点:1.平面图形的面积和旋转体的体积的计算教学难点教学难点：定积分在经济上的应用.计划授课时间计划授课时间年年月月日日编写教案时间编写教案时间年年月月日日2教学过程教学过程一、复习旧知一、复习旧知1.定积分的几何意义2.微积分基本公式二、导入新课二、导入新课由本章第一节中，我们已经知道，由曲线)0)()(xfxfy，x轴，直线bxax,所围成的曲边梯形（如图 1）的面积为badxxfS)(（5.1）下面讨论更为一般的情况。三、讲授新课三、讲授新课4.5.1.平面图形的面积平面图形的面积设函数)(),(xgyxfy在区间ba,上连续，并且在ba,上有baxxfxg,),()(0则曲线)(),(xgyxfy与直线bxax,所围成的图形的面积 S应是两个曲边梯形的面积的差（如图 2）.因此bababaaCDbaABbdxxgxfdxxgdxxfSSS)()()()(曲边梯形曲边梯形即badxxgxfS)()(（5.2）注意：被积函数是“上方的曲线”减去“下方的曲线”.公式（5.2）也适用于曲线)(),(xgxf不全在x轴上方的情形.事实上，当曲线)(),(xgxf不全在x轴上方时，我们可以向下平移x轴)0(cc个单位，使两条曲线都位于新x轴（即x轴）上方，此时，在新坐标系中，原来两条曲线的方程分别为cxgycxfy)(,)(，所以该图形的面积为A AB BC CD D3babadxxgxfdxcxgcxfS)()()()(注意：平面图形的面积与曲线方程和积分区间有关，而与它在坐标系中的位置无关.当0)(xg时，曲线)(xgy 成为x轴，公式（5.2）成为公式（5.1），所以（5.2）是对（5.1）的推广.特别地，当),(0)(baxxf时，由曲线)(xfy、x轴、直线bxax,所围成的图形的面积（如图 4）为babadxxfdxxfS)()(0类似地，可以得到由曲线)()()(),(yyyxyx与直线dycy,所围成的平面图形的面积（如图 5）为dcdyyyS)()(（5.3）注意：被积函数是“右边的曲线”减去“左边的曲线”.例 1求由抛物线2xy 与直线xy 围成的图形的面积.解：如图 6，为了确定图形所在范围，先求出这两条抛物线的交点坐标.为此解方程组xyxy2)(yx得抛物线与直线的交点为（0，0）和（1，1）.则所求面积为6131211032102xxdxxxS例 2求由曲线xxeyey,与直线1x所围成的图形的面积.解：如图 7，为了确定图形所在范围，先求出这两条曲线的交点坐标.为此解4方程组xxeyey得两条曲线的交点坐标为（0，1）.则所求面积为.211010101010eeeedxedxedxeeSxxxxxx例 3求由两条抛物线22,xyxy所围成的图形的面积.解：如图 8，为了确定图形所在范围，先求出这两条抛物线的交点坐标.为此解方程组22xyxy得交点坐标为（0，0）和（1，1）.因此所求图形的面积为.31313210323102xxdxxxS例 4求由抛物线xy2与直线2 xy所围成的图形的面积.解：如图 9，为了确定图形所在范围，先求出这两条曲线的交点坐标.为此解方程组22xyxy2 yx解得交点坐标为（1，-1）和（4，2）.选择y为积分变量，则所求图形的面积为.293122122132212yyydyyyS例 5求在区间,0上曲线xycos和xysin之间5所围成的图形的面积.解：如图 10，在区间,0上，这两条曲线的交点坐标为22,4.因此所求图形的面积为.22sincoscossin)cos(sinsincos440404xxxxdxxxdxxxS4.5.2.旋转体的体积旋转体的体积旋转体是指由平面图形绕该平面上某直线旋转一周而形成的立体图形，该直线叫做旋转轴.例如，圆柱可以看成是由矩形绕它的一条边旋转一周而成的旋转体；球体可以看成是由半圆绕它的直径旋转一周而成的旋转体.下面我们计算由连续曲线)(xfy，直线)(,babxax及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而形成的立体（如图 12）的体积.取x为积分变量，其变化区间为ba,，在ba,上任取一点x，作垂直于x轴的截面，该截面是半径为)(xfy 的圆，因而截面面积为22)()(xfyxA.在ba,上，以x为端点取区间dxxx,，则以截面)(xA为底，以dx为高的圆柱体体积为dxxfdxydxxAdV22)()(.以dV为被积表达式，在ba,上作定积分，即得所求的体积为dxxfdxyVbaba22)(1)类似地，由连续曲线)(yx，直线)(,dcdycy以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而形成的立体的体积为dyydyxVdcdc22)(2)6例 1设平面图形是由曲线xy，直线1x，及x轴围成，试求：该曲线绕x轴旋转一周而形成的立体图形的体积.解：如图 14，xy，0a，1b，则由公式(1)得210102xdxdxxV例 2设平面图形是由曲线2xy，直线1y围成，试求该平面图形绕y轴旋转一周而形成的旋转体体积.解：如图 15，由2xy 得yx，因此该旋转体可以看成由曲线yx，直线1y及y轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而形成的旋转体，0c，1d，则由公式(2)得210102ydydyyV例 3求底面半径为r高为h的圆锥体的体积.解：取圆锥的顶点为原点，圆锥的轴为x轴，建立直角坐标系，如图 16 所示，则直线 OP 的方程为xhry，而圆锥体可看作由直线xhry，hx，及x轴所围成的直角三角形绕x轴旋转一周而形成的.于是由公式(1)，得此圆锥体的体积为.31312032202hrxhrdxxhrVhh例 4 计算由椭圆12222byax所围成的图形绕x轴旋转而形成的旋转体的体积.绕y轴旋转而形成的旋转体的体积.7解：该旋转体可以看作是由上半椭圆22xaaby及x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的.于是由公式(1)，可得旋转椭球体的体积为20322202222222222234312)(2)(abxxaabdxxaabdxxaabdxxaabVaaaaaa显然，当rba时，可得半径为r的球体积为334rV.这个旋转体可以看作是由右半椭圆22ybbax及y轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的.于是由公式(2)，可得所求体积为2222222222232222002214()()33bbbbbbaaaaVbydybydybydyb yya bbbbb4.5.4.定积分在经济上的应用定积分在经济上的应用由某一经济函数求它的边际函数是求导运算.在实际问题中也有相反的要求，即已知边际函数，求对应的经济函数，这是积分运算.下面通过具体例子说明定积分在经济中的应用.例例 1 某工厂生产某种产品，当每天生产q个单位时，固定成本为 30 万元，又已知该产品的边际成本函数为35.0)(qqC（万元/单位）.(1)求该产品的成本函数)(qC.(2)如果该产品销售价为 16 万元/单位，且产品可以全部售出，求利润函数)(qL.(3)每天生产多少单位的产品时，才能获得最大利润？解：(1)设成本函数CqCqC)()(1，其中)(1qC是可变成本函数，C是固定成本.由 边 际 成 本 函 数 的 定 义 可 知，成 本 函 数)(qC就 是 边 际 成 本 函 数835.0)(qqC的一个原函数，于是CqqqqC34135.0)(2当0q时，30)0(C，所以30C，即30341)(2qqqC(2)由利润函数是收入函数与成本函数之差，得.3013413034116)()()(22qqqqqqCqRqL(3)由(2)知，1321)(qqL，令0)(qL，得26q.又021)(qL，且只有一个驻点，所以，当每天生产 26 个单位产品时，利润最大，最大利润为1393026132641)26(2L（万元）.例例 2 已知生产某产品q个单位时，边际收入函数为50100)(qqR（0q）.（1）求生产该产品 10 个单位时的总收入.（2）如果已经生产了 10 个单位，求再生产 20 个单位时总收入增加多少？解：（1）设生产该产品的收入函数为)(qR，则由边际收入函数的定义可知，)(qR的导数是边际收入函数50100)(qqR（0q）.于是，求)(qR，就是求50100)(qqR的一个原函数.又因为求生产该产品 10 个单位时的总收入，就是求原函数)(qR从0q到10q的增量，故用定积分计算.即生产 10个单位时的总收入为999100100)50100()(1002100100qqdqqdqqRR（2）已经生产了 10 个单位，如果再生产 20 个单位，则增加的收入为997100100)50100()(2010220102010qqdqqdqqRR.四、布置作业四、布置作业(1)作业:P93，11（3）；12；18；(2)思考题:P94，10；15.
