电磁场理论：矢量分析基础.pdf

场的分类 第一类场：矢量场F 在区域中处处是 0F 和0F 矢量的旋度为零，则矢量能够写成标量函数f 的梯度表示，即 Ff 从0F我们得：200ff 此为拉普拉斯方程。所以为求得一类场，必须解拉普拉斯方程并服从区域的边界条件。一旦求得f，然后由Ff 求矢量场F。第二类场：矢量场F 在区域中处处是 0F 和0F 矢量的旋度为零，则矢量能够写成标量函数f 的梯度表示，即 Ff 但是0F，我们可写成：F 此处的 可以是一个常数或区域中的已知函数于是得：2f 此为泊松方程。二类场由解泊松方程在边界条件约束下找到f，然后由Ff 求矢量场F。第三类场：矢量场F 在区域中 0F 和0F 由于矢量的散度为零，则该矢量能用另一矢量的旋度表示：FA 式中A 为另一矢量场。由于0F可将其写成Fj，此处j为一已知矢量场，带入FA 得 Aj 利用矢量恒等式将其展开，2AAj 根据唯一性定理，为使矢量场唯一，必须还定义散度。如果给定任意约束0A 得：2Aj 上式成为矢量泊松方程。矢量场F利用FA，由A算出。约束0A通常称为库伦规范（Coulombs gauge）第四类场：一个矢量 F，如果他的散度和旋度都不为零，则能将F分解成两个矢量场G和H，让G满足三类场要求，H满足二类场要求。即：FGH 0G，0G而0H 和0H 因此，GA 和Hf 。可压缩媒质中的流体动力场就是第四类场的例子。矢量恒等式 两个恒等于零：0f 0A 二阶符号：2ff 2AAA 和：fgfg ABAB ABAB 含标量乘积：fgfgg f fAfAAf fAfAfA 矢量积：AB CBCACAB AB CB A CC A B ABBAAB ABABBABAAB 格林定理 设矢量场A在体积v和它的表面积s上处处都是连续可微的单值函数。由散度定理 vsAdvA ds 如果定义矢量场A为一标量函数与一矢量函数之积，则 2A 将上式带入散度定理 2vvsdvdvds 上式称为格林第一恒等式。互换和则可写成 2vvsdvdvds 上式减下式得：22vsdvds 特殊情况，和相等时，有 22vvsdvdvds 唯一性定理 矢量场在区域中唯一确定，如下要求得到满足：1、它的散度遍及全区域是确定的 2、它的旋度遍及全区域是确定的 3、在包围区域的封闭面上它的法向分量是确定的。