专题39直角三角形与勾股定理.pdf

专题 39：直角三角形与勾股定理 一、选择题 1.（浙江金华、丽水 3 分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为 A、600m B、500m C、400m D、300m 【答案】B。【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，由于 BCAD，那么有DAE=ACB，由题意可知ABC=DEA=90，BA=ED，利用 AAS 可证ABCDEA，于是 AE=BC=300，再利用勾股定理可求 AC=，从而可求得 CE=ACAE=200。根据图可知从 B 到 E 的走法有两种：BAAE=700；BCCE=500。最近的路程是 500m。故选 B。2.（辽宁本溪 3 分）如图，在 RtABC 中，C90，AB10，BC8，DE 是ABC 的中位线，则 DE 的长度是 A、3 B、4 C、4.8 D、5【答案】A。【考点】勾股定理，三角形中位线定理。【分析】由在 RtABC 中，C90，AB10，BC8，根据勾股定理即可求得 ，又由 DE 是ABC 的中位线，根据三角形中位线等于第三边一半的性质，求得 。故选 A。3（辽宁丹东 3 分）如图，在 RtACB 中，C=90，BE 平ABC，ED 垂直平分AB 于 D，若 AC=9，则 AE 的值是 A B C6 D4 【答案】C。【考点】角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】由角平分线的定义得到CBEABE，再根据线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得到 EAEB，则AABE，可得CBE30，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 BE2EC，即 AE2EC，由 AE+ECAC9，即可求出 AE6。故选 C。4.（黑龙江龙东五市 3 分）在ABC 中，BC:AC:AB=1:1:，则ABC 是 A、等腰三角形 B、钝角三角形 C、直角三角 形 D、等腰直角三角形 【答案】D。【考点】等腰直角三角形的判定，勾股定理逆定理。【分析】根据题意设三边分别为 k、k、k，则 ，根据勾股定理的逆定理可判定三角形为直角三角形，又有 BCAC，所以三角形为等腰直角三角形。故选 D。5.（江苏常州、镇江 2 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D。若 AC=，BC=2，则 SinACD 的值为 A B C D 【答案】A。【考点】直角三角形的性质,锐角三角函数，勾股定理。【分析】在 RtABC 中，ACB90，AC=，BC=2，根据勾股定理，得 AB 。又由直角三角形两锐角互余的性质，得ACD90AB，SinACDSinB 。故选 A。6.（广东台山 3 分）如图，是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为 49，小正方形面积为 4，若用 X、Y 表示直角三角形的两直角边（XY），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是 A、X2Y249 B、XY2 C、2XY449 D、XY13 【答案】D。【考点】勾股定理，代数式变形。【分析】A、由勾股定理可知，X2Y249 成立，选项正确。B、因为小正方形的面积为 4，因此边长 2。从图中可知直角三角形的两直角边之差等于小正方形的边长，即 XY2，选项正确。C、由 B 有 X22XYY222，即 492XY4，即 2XY449，选项正确。D、因为（XY）2X22XYY2X2Y22XY494594，所以 XY ，因此选项错误。故选 D。7.（广东肇庆 3 分）已知正六边形的边心距为 ，则它的周长是 A6 B12 C D 【答案】B。【考点】正六边形的性质，勾股定理。【分析】根据正六边形每一边所对的圆心角是 600 的性质，AOB=300，所以AB=1，它的边长是 2，它的周长是 12。故选 B。8.（湖北黄石 3 分）将一个有 45角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3c 的纸带边沿上，另一个顶点在 纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 角，如图，则三角板的最大边的长为 A.B.C.D.【答案】D。【考点】含 300 角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理。【分析】过点 C 作 CDAD，CD=3。在直角三角形 ADC 中，CAD=30，AC=2CD=23=6。又三角板是有 45角的三角板，AB=AC=6。BC2=AB2+AC2=62+62=72，BC=。故选 D。9.（四川攀枝花 3 分）如图，在直角三角形 ABC 中，C=90，AB=10，AC=8，点E、F 分别为 AC 和 AB 的中点，则 EF=A、3 B、4 C、5 D、6 【答案】【考点】三角形中位线定理，勾股定理。【分析】直角三角形 ABC 中，C=90，AB=10，AC=8，BC=。点 E、F 分别为 AB、AC 的中点，EF 是ABC 的中位线。EF=BC=6=3。故选 A。10.（四川遂宁 4 分）如图：在ABC 中，ACB=90,CD AB 于点 D，下列说法中正确的个数是 ACBC=ABCD AC2=ADDB BC2=BDBA CD2=ADDB A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C。【考点】直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】由ADCABC，得 AC：AB=DC：BC，即 ACBC=ABCD，成立；由ADCABC，得 AC：AB=AD：AC，即 AC2=ADABADDB，不成立；由CBDABC，得 BC：BA=BD：BC，即 BC2=BDBA，成立；由ACDCBD，得CD：BD=AD：CD，即 CD2=ADDB，成立。故选 C。二、填空题 1.（浙江温州 5 分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图 1）图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1+S2 +S3=10，则 S2 的值是 【答案】。【考点】勾股定理的应用。【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，从而利用勾股定理求出各边之间的关系，得出答案：图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，CG=NG，CF=DG=NF。S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG?DG=GF2+2CG?DG，S2=GF2，S3=（NGNF）2=NG2+NF22NG?NF。S1+S2+S3=10=GF2+2CG?DG+GF2+NG2+NF22NG?NF=3GF2。S2 的值是：。2.（辽宁抚顺 3 分）如图所示，DE 为ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且AFB90，若 AB5，BC8，则 EF 的长为 _ 【答案】。【考点】三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线的性质。【分析】由于 DE 为ABC 的中位线，BC8，从而根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边一半的性质，得 DE4；又由于AFB90，点 D 为 AB 的中点，AB5，从而根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，得 DF 。因此 EFDEDF4 。3.（吉林长春 3 分）如图，在ABC 中，B=30，ED 垂直平分 BC，ED=3则 CE 的长为 【答案】6。【考点】线段垂直平分线的性质，含 30 度角的直角三角形的性质。【分析】由 ED 垂直平分 BC，即可得 BE=CE，EDB=90，又由直角三角形中30角所对的直角边是 其斜边的一半，即可求得 BE 的长：BE=2DE=6，CE=6。4.（黑龙江哈尔滨 3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=900，点 D 是斜边 AB 的中点，DEAC，垂足为 E，若 DE=2，CD=，则 BE 的长为 【答案】4 。【考点】三角形中位线定理，勾股定理，【分析】由点 D 为 AB 的中点，DEAC，DE=2，由求得 BC=4，在 RtCDE 中由勾股定理求得 CE=4，在 RtCEB 中由勾股定理求得 BE=4 。5.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西 3 分）已知三角形相邻两边长分别为 20cm 和 30cm，第三边上的高为 10cm，则此三角形的面积为 【答案】cm2。【考点】勾股定理。【分析】考虑两种情况，一种为锐角三角形，一种为钝角三角形，然后根据勾股定理求得第三边，从而求得三角形面积。由题意作图，则设 AB30cm，AC20cm，AD10cm。当三角形为锐角三角形时，C 在 RtABD 中应用勾股定理，得 BD=cm，同理得 CD=10 cm，则 cm2。当三角形为钝角三角形时，同样可得 BD cm，CD=10 cm，则 cm2。6.(湖南湘西 3 分)如图，在 RtABC 中，C=90，若 BC=3，AC=4，则 AB的长是 .【答案】5。【考点】勾股定理。【分析】在直角ABC 中，C=90，AB 为斜边，则 AB2=BC2+AC2，BC=3，AC=4，AB=BC2+AC2=5。7.(江苏无锡 2 分)如图，在 RtABC 中，ACB=90，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，若 CD=5cm，则 EF=cm 【答案】5。【考点】三角形中位线性质和直角三角形性质。【分析】根据三角形中位线等于第三边一半的性质和直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，直接得出结果：EF=。8.（广东佛山 3 分）在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC、BD 相交于点 O，若AB=OB=4，则 AD=；【答案】。【考点】矩形的性质，勾股定理。C 【分析】如图，应用勾股定理得 。9.（广东肇庆 3 分）在直角三角形 ABC 中，C=90，BC=12，AC=9，则AB=_ 【答案】15。【考点】勾股定理。【分析】根据勾股定理，直接得出结果：。10.（江西省 B 卷 3 分）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所 示,1+2=度.【答案】90。【考点】对顶角的性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】如图，根据对顶角相等得到1=3，2=4，而三角形尺为直尺，由直角三角形两锐角互余的性质，即可得到1+2=90。11.（四川巴中 3 分）直角三角形的斜边长为 l3，一直角边长为 12，另一直角边长是方程 的根，则 的值为 【答案】。【考点】勾股定理，方程的根和解一元一次方程。【分析】由勾股定理可得直角三角形的另一直角边长 5，代入 得 。12.(四川德阳 3 分)如图，在直角三角形 ABC 中，C=90，AC=12BC=16，点 O为ABC 的内心，点 M 为斜边 AB 的中点，则 OM 的长为 【答案】。【考点】三角形内心的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质。【分析】如图，作三边的垂线并连接 AO，设 AD=。C=90，AC=12BC=16，由勾股定理，得 AB=20。点 O 为ABC 的内心，AE=AD，CE=CF，BD=BF。则 AE=AD=，CE=CF=12 ，BF=16（12 ）=4 ，又 BD=20 ，4 =20 ，=8。AD=8，OD=OE=OF=CE=128=4。又点 M 为斜边 AB 的中点，AM=10，DM=108=2。RtODM 中，由勾股定理，得 OM=。13.（江西省 A 卷 3 分）如图所示，两块完全相同的含 30角的直角三角板叠放在一起，且DAB=30有以下四个结论：AF 丄 BC；ADGACF；O 为 BC 的中点；AG：DE=：4，其中正确结论的序号是 【答案】。【考点】含 30 度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】两块完全相同的含 30角的直角三角板叠放在一起，且DAB=30 CAF=30，GAF=60，AFB=90，AF 丄 BC 正确；AD=AC，DAG=CAF，D=C=60，ADGACF 正确；ADGACF，AG=AF，AO=AO，AGO=AFO=90，AGOAFO，OAF=30，OAC=60，AO=CO=AC，BO=CO=AO，O为 BC 的中点正确；假设 DG=x，DAG=30，AG=x，GE=3x，AG：DE=：4 正确。故答案为：。14.（新疆自治区、兵团 5 分）如图，ABC 是等边三角形，AB4cm，则 BC 边上 的高 AD 等于_ cm 【答案】K 。【考点】等边三角形的性质，勾股定理。【分析】ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，BAD=30。在 RtABC 中，AB=4，BD=2。AD=。15.（贵州遵义 4 分）如图，由四个边长为 1 的小正方形构成一个大正方形，连接小正 方形的三个顶点，可得到ABC，则ABC 中 BC 边上的高是 【答案】。【考点】勾股定理，等腰三角形的性质。【分析】根据网格的特点和勾股定理，可得 AB=AC=，BC=。过点 A 作 ADBC，垂足为点 D，则根据等腰三角形三线合一的性质，得 BD=。在 RtABD 中应用勾股定理，得 AD=。三、解答题 1.（北京 5 分）如图，在ABC 中，ACB=90，D 是 BC 的中点，DEBC，CEAD，若 AC=2，CE=4，求四边形 ACEB 的周长 【答案】解：ACB=90，DEBC，ACDE。又CEAD，四边形 ACED 是平行四边形。DE=AC=2。在 RtADE 中，由勾股定理得 。D 是 BC 的中点，BC=2CD=4 。在ABC 中，ACB=90，由勾股定理得 。D 是 BC 的中点，DEBC，EB=EC=4 四边形 ACEB 的周长=AC+CE+EB+BA=10+2 。【考点】平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质。【分析】先证明四边形 ACED 是平行四边形，可得 DE=AC=2由勾股定理和中线的定义可求 AB 和 EB 的长，从而求出四边形 ACEB 的周长。2.(湖南湘西 6 分)如图，在ABC 中，ADBC，垂足为 D，B=60，C=45.（1）求BAC 的度数。（2）若 AC=2，求 AD 的长。【答案】解:(1)BAC=1806045=75 (2)ADBC。ADC 是直角三角形,又C=45,AD=DC 根据勾股定理，得 2AD2=AC2，即 2AD2=4，AD=。【考点】三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可推出BAC 的度数。（2）由题意可知 AD=DC，根据勾股定理，即可推出 AD 的长度。3.（山东济南 4 分）如图，在ABC 中，C90o，ABC30o，ACm，延长 CB至点 D，使 BDAB 求D 的度数；求 tan75o 的值 【答案】解：BDAB，ABC30o，D ABC 30o15o。在ABC 中，C90o，ABC30o，ACm，AB2m，CB 。由知DAC75o。在ADC 中，C90o，DAC75o o，ACm，CD ，tan75otanDAC 。【考点】三角形外角定理，等腰三角形的性质，30 o 角直角三角形的性质，勾股定理，正切函数的定义。【分析】应用三角形的外角等于和它不相邻的两内角之和的定理，等腰三角形底角相等的性质得出结果。要求 tan75o，由知只要求 tanDAC，根据正切函数的定义只要求出它的对边和邻边即可，它们可由已知和 30 o 角直角三角形的性质，勾股定理求出。4.（四川广安 10 分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为 6m、8m现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8m 为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长 【答案】解：如图，在 RtABC 中，AC=8m，BC=6m，AB=10m，（1）当 AB=AD 时，CD=6m，ABD 的周长为 32m。（2）当 AB=BD 时，CD=4m，AD=m，ABD 的周长是（20+）m。（3）当 DA=DB 时，设 AD=x，则 CD=x6，则 ，。ABD 的周长是 m，答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是 32m 或 20+m 或 m。【考点】直角三角形和等腰三角形的性质，勾股定理。【分析】分 AB=AD，AB=BD，DA=DB 三种情况讨论即可。