近年年高中数学第二章数列2.4等比数列第二课时等比数列的性质及应用练习(含解析)新人教A版必修5(最.pdf
第二课时 等比数列的性质及应用 1.公比为 的等比数列an的各项都是正数，且 a4a6=16，则 a7等于（B）(A)(B)1（C）2（D）4 解析：由 a4a6=16 得=16,因为an各项都是正数，所以 a5=4，所以 a7=a5q2=4()2=1.故选 B。2。已知各项均为正数的等比数列an中，lg(a3a8a13)=6,则 a1a15的值为(C)（A）100 （B)100(C）10 000（D）-10 000 解析:由 lg(a3a8a13)=6,得 a3a8a13=106,所以=106，所以 a8=100，a1a15=10 000，故选 C。3.已知等比数列an中，a3a11=4a7，数列bn是等差数列,且 b7=a7,则 b5+b9等于（C）（A)2（B)4（C）8（D)16 解析：等比数列an中，a3a11=4a7，解得 a7=4。等差数列bn中，b5+b9=2b7=2a7=8.故选 C。4。记等比数列an的前 n 项积为n，若 a4a5=2,则8等于（C)(A)256（B）81(C)16(D)1 解析：由题意可知 a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=2,则8=a1a2a3a4a5a6a7a8=（a4a5)4=24=16.故选 C。5.（2017浙江宁波效实中学期中)在各项均为正数的等比数列an中,a3=-1,a5=+1，则+2a2a6+a3a7等于（A)（A）8（B）6（C）4（D）8-4 解析：因为数列an是等比数列，所以+2a2a6+a3a7=+2a3a5+=（a3+a5)2=8，故选 A.6.已知数列an的首项 a1=2,数列bn为等比数列,且 bn=。若 b10b11=2,则 a21等于(C）(A）29（B）210(C）211（D）212 解析：由已知，得 b1b2b20=.因为bn为等比数列，所以 b1b2b20=(b10b11)10=210,所以 a21=2b1b2b20=211,故选 C.7.设等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 S2n=4（a1+a3+a2n-1)，a1a2a3=27,则 a6等于（C）（A)27（B）81（C）243(D）729 解析：由题可得 a1a2a3=27,即 a2=3。因为 S2n=4（a1+a3+a2n1)，所以当 n=1 时,有S2=a1+a2=4a1，从而可得 a1=1,q=3,所以 a6=135=243,故选 C.8。已知 x，y,zR,若-1,x,y，z,3 成等比数列,则 xyz 的值为（C）（A)-3 (B）3（C）-3(D)3 解析:由等比中项知 y2=3，所以 y=,又因为 y 与1,3 符号相同,所以 y=-，y2=xz,所以 xyz=y3=3.9.等比数列an中,a1=3，a4=24，则 a3+a4+a5等于(C）(A）33(B）72（C）84(D）189 解析：由已知,得 q3=8,解得 q=2,则有 a3+a4+a5=a1（q2+q3+q4）=3(4+8+16）=84.故选 C.10。若 等 比 数 列 an 的 各 项 均 为 正 数,且 a10a11+a9a12=2e5，则 ln a1+ln a2+ln a20=.解析：由an为等比数列，得 a10a11=a9a12=a1a20=e5，于是 ln a1+ln a2+ln a20=ln（a1a2a3a20)=ln（a1a20）10=ln(e5)10=ln e50=50.答案:50 11.三个正数成等差数列，它们的和等于 15,如果它们分别加上 1,3，9 就成为等比数列,则此三个数分别为.解析：设所求三个数为 ad，a,a+d。由题意得 解得或 又因为 ad，a,a+d 为正数，所以 a=5，d=2，故所求三个数分别为 3,5,7。答案:3，5，7 12。画一个边长为 2 厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第 2 个正方形,以第 2 个正方形的对角线为边画第 3 个正方形,这样一共画了 10 个正方形,则第 10 个正方形的面积等于 平方 厘米.解析:依题意这 10 个正方形的边长构成以 2 为首项,为公比的等比数列an（1n10,nN),则第 10 个正方形的面积 S=2（）92=429=2 048（平方厘米)。答案:2 048 13。已知数列an成等比数列.(1）若 a2=4,a5=-,求数列an的通项公式;（2）若 a3a4a5=8，求 a2a3a4a5a6的值.解:（1）由 a5=a2q3,得=4q3,所以 q=-,an=a2qn-2=4（)n2=(-）n4.(2)由 a3a5=，得 a3a4a5=8。解得 a4=2。又因为 a2a6=a3a5=,所以 a2a3a4a5a6=25=32.14。已知互不相等的三个数之积为-8,这三个数适当排列后可成为等比数列，也可成为等差数列,求这三个数排成的等差数列。解：设三数为，a，aq（q1）.由题意,得 a3=8，解得 a=-2。若-2 是与-2q 的等差中项,则+2q=4,即 q=1,与题设矛盾.若-2q 是-2 与的等差中项,则 2+=4q，即 2q2-q-1=0.因为 q1，所以 q=.所以三数为-2，1,4。若是2 与-2q 的等差中项，则 2+2q=，即 q2+q-2=0.因为 q1，所以 q=2.所以三数为-2,1，4.综上所述,由这三数排成的等差数列为2,1，4 或 4,1，2。15。若an是公差 d0 的等差数列,bn是公比 q1 的等比数列,已知 a1=b1=1，且 a2=b2，a6=b3.(1)求 d 和 q；（2)是否存在常数 a，b，使对一切 nN*都有 an=logabn+b 成立？若存在求出 a，b 的值，若不存在,请说明理由.解:（1）由题意得解得 d=3,q=4。（2)假设存在常数 a，b.由（1）易得 an=3n2,bn=4n-1，代入 an=logabn+b 得 3n2=loga4n1+b，即（3loga4)n+(loga4-b-2)=0 对 nN*都成立,所以所以 所以存在常数 a=,b=1，使对一切 nN*,都有 an=logabn+b 成立。16。在由正数组成的等比数列an中，若 a3a4a5=3,则 sin(log3a1+log3a2+log3a7）的值为（B）(A)（B)(C）1(D)-解析：因为 a3a4a5=3=，所以 a4=.log3a1+log3a2+log3a7=log3(a1a2a7)=log3=7log3=，所以 sin（log3a1+log3a2+log3a7)=.故选 B。17.已知数列an是首项 a1=4 的等比数列，且 4a1,a5，-2a3成等差数列,则其公比 q 等于(C）（A）1（B）1(C)1 或-1(D）解析:因为 4a1，a5,2a3成等差数列，所以2a5=4a1-2a3，即 2a1q4=4a1-2a1q2,又因为 a1=4，则有 q4+q2-2=0，解得 q2=1，所以 q=1，故选 C.18.在等比数列中,已知 a9+a10=a(a0),a19+a20=b,则 a99+a100=.解析：利用 a9+a10，a19+a20,，a99+a100成等比数列，得 a99+a100=.答案：19。数列an的首项为 a1=1，数列bn为等比数列且 bn=,若 b10b11=2 01，则a21=。解析:由 bn=，且 a1=1，得 b1=a2;b2=，a3=a2b2=b1b2；b3=，a4=a3b3=b1b2b3；bn-1=,an=b1b2bn-1,所以 a21=b1b2b20.因为数列bn为等比数列，所以 a21=(b1b20）(b2b19）(b10b11）=(b10b11）10=(2 01）10=2 018。答案:2 018 20.已知数列an满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an1(n2）.(1)求证:an+1+2an是等比数列;(2）求数列an的通项公式.（1）证明：因为 an+1=an+6an-1(n2）,所以 an+1+2an=3an+6an-1=3（an+2an1)(n2）。因为 a1=5，a2=5,所以 a2+2a1=15,所以 an+2an-10（n2)，所以=3(n2),所以数列an+1+2an是以 15 为首项，3 为公比的等比数列。（2）解：由(1)得 an+1+2an=153n-1=53n,则 an+1=2an+53n,所以 an+13n+1=-2(an3n)。又因为 a13=2,所以 an-3n0,所以an3n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。所以 an-3n=2（2）n-1，即 an=2(2）n-1+3n.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.
