北京六十六中学2022-2023学年九年级数学第一学期期末检测试题含解析.pdf

2022-2023 学年九上数学期末模拟试卷 注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)1如图是二次函数 yax2+bx+c的图象，对于下列说法：其中正确的有（）ac0，2a+b0，4acb2，a+b+c0，当 x0 时，y随 x的增大而减小，A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 2如图，Rt AOB中，90AOB，顶点A，B分别在反比例函数2yx（0 x）与8yx（0 x）的图象上.则下列等式成立的是（）A5sin5BAO B5cos2BAO Ctan2BAO D1sin4ABO 3在一个不透明的盒子里有 2 个红球和 n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是15，则 n 的值为（）A3 B5 C8 D10 4如图所示，图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B C D 5等腰三角形底边长为 10cm，周长为 36cm，则底角的余弦值等于（）A513 B213 C1013 D512 6已知二次函数2(1)2ya x的图象经过点1,4，当自变量x的值为3时，函数y的值为（）A3.5 B4 C4 D3.5 7用配方法解方程246xx，下列配方正确的是()A2210 x B226x C224x D242x 8如图，在ABC中，点 G为ABC的重心，过点 G作 DEBC，分别交 AB、AC于点 D、E，则ADE与四边形DBCE的面积比为（）A45 B23 C34 D49 9在同一时刻，身高 1.6m 的小强在阳光下的影长为 0.8m，一棵大树的影长为 4.8m，则树的高度为（）A4.8m B6.4m C9.6m D10m 10如图，下列条件不能判定 ADBABC 的是（）AABD=ACB BADB=ABC CAB2=ADAC D ADABABBC 二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)11若点 A（-2，a），B（1，b），C（4，c）都在反比例函数8yx 的图象上，则 a、b、c 大小关系是_ 12如图，在山坡上种树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 6m测得斜坡的斜面坡度为 i1：3（斜面坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比），则斜坡相邻两树间的坡面距离为_ 13如图，RtABC中，ACB90，ACBC，在以 AB的中点 O为坐标原点，AB所在直线为 x轴建立的平面直角坐标系中，将ABC绕点 B顺时针旋转，使点 A旋转至 y轴的正半轴上的点 A处，若 AOOB2，则图中阴影部分面积为_ 14平面直角坐标系 xOy中，若点 P在曲线 y18x上，连接 OP，则 OP的最小值为_ 15某物体对地面的压强 P（Pa）与物体和地面的接触面积 S（m2）成反比例函数关系（如图），当该物体与地面的接触面积为 0.25m2时，该物体对地面的压强是_Pa 16如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（20，0），点 B 的坐标是（16，0），点 C、D 在以 OA 为直径的半圆 M上，且四边形 OCDB 是平行四边形，则点 C 的坐标为_ 17如图，在四边形 ABCD中，ADBC，AD=2，AB=2 2，以点 A为圆心，AD为半径的圆与 BC相切于点 E，交AB于点 F，则弧 DF的长为_ 18函数224yxx沿直线1y 翻折所得函数解析式为_.三、解答题(共 66 分)19（10 分）已知关于 x 的方程 x2+mx+m-2=0.(1)若此方程的一个根为 1,求 m的值；(2)求证：不论 m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.20（6 分）如图，将ABC绕点 C顺时针旋转得到DEC，使点 A的对应点 D恰好落在边 AB上，点 B的对应点为E，连接 BE（）求证：AEBC；（）若已知旋转角为 50，ACE130，求CED和BDE的度数 21（6 分）为了“城市更美好、人民更幸福”，我市开展“三城联创”活动，环卫部门要求垃圾按ABC，三类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲、乙两人各投放一袋垃圾（1）甲投放的垃圾恰好是C类的概率是 ；（2）用树状图或表格求甲、乙两人投放的垃圾是不同类别的概率 22（8 分）阅读理解：如图，在纸面上画出了直线 l与O，直线 l与O相离，P 为直线 l上一动点，过点 P 作O的切线 PM，切点为 M，连接 OM、OP，当OPM 的面积最小时，称OPM 为直线 l与O的“最美三角形”解决问题：（1）如图 1，A 的半径为 1，A(0，2)，分别过 x轴上 B、O、C 三点作A的切线 BM、OP、CQ，切点分别是 M、P、Q，下列三角形中，是 x 轴与A 的“最美三角形”的是 (填序号)ABM；AOP；ACQ（2）如图 2，A 的半径为 1，A(0，2)，直线 y=kx（k0）与A 的“最美三角形”的面积为12，求 k的值（3）点 B 在 x 轴上，以 B 为圆心，3为半径画B，若直线 y=3x+3 与B 的“最美三角形”的面积小于32，请直接写出圆心 B 的横坐标Bx的取值范围 23（8 分）如图，在ABC中，ABAC，以 AB为直径作半圆 O，交 BC于点 D，交 AC于点 E（1）求证：BDCD（2）若弧 DE50，求C的度数（3）过点 D作 DFAB于点 F，若 BC8，AF3BF，求弧 BD的长 24（8 分）如图，AB 和 DE 直立在地面上的两根立柱，已知 AB=5m,某一时刻 AB 在太阳光下的影子长 BC=3m （1）在图中画出此时 DE 在太阳光下的影子 EF；（2）在测量 AB 影子长时，同时测量出 EF=6m，计算 DE 的长 25（10 分）我们不妨约定：如图，若点 D在ABC 的边 AB 上，且满足ACD=B（或BCD=A），则称满足这样条件的点为ABC 边 AB 上的“理想点”（1）如图，若点 D 是ABC 的边 AB 的中点，AC=2 2，AB=4.试判断点 D 是不是ABC 边 AB 上的“理想点”，并说明理由（2）如图，在O中，AB 为直径，且 AB=5，AC=4.若点 D 是ABC 边 AB 上的“理想点”，求 CD 的长（3）如图，已知平面直角坐标系中，点 A(0,2),B(0,-3),C 为 x 轴正半轴上一点，且满足ACB=45，在 y 轴上是否存在一点 D，使点 A 是 B，C，D 三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 26（10 分）某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯如图所示，已知原阶梯式扶梯 AB 长为 10m，坡角ABD30；改造后斜坡式自动扶梯的坡角ACB9，请计算改造后的斜坡 AC 的长度，（结果精确到 0.01（sin90.156，cos90.988，tan90.158）参考答案 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)1、C【分析】根据二次函数的图象与性质，结合图象分别得出 a，c，以及 b24ac 的符号进而求出答案【详解】由图象可知：a0，c0，ac0，故错误；由于对称轴可知：2ba1，2a+b0，故正确；由于抛物线与 x轴有两个交点，b24ac0，故正确；由图象可知：x1 时，ya+b+c0，故正确；由图象可得，当 x2ba时，y随着 x的增大而增大，故错误；故正确的有 3 个 故选：C【点睛】此题考查二次函数的一般式 yax2+bx+c的性质，熟记各字母对函数图象的决定意义是解题的关键.2、C【解析】【分析】过 A作 AF 垂直 x 轴，过 B 点作 BE 垂直与 x 轴，垂足分别为 F，E，得出90AOBBEOAFO，可得出BEOOFA，再根据反比例函数的性质得出两个三角形的面积，继而得出两个三角形的相似比，再逐项判断即可 【详解】解：过 A 作 AF垂直 x 轴，过 B 点作 BE 垂直与 x 轴，垂足分别为 F，E，由题意可得出90AOBBEOAFO，继而可得出BEOOFA 顶点A，B分别在反比例函数2yx（0 x）与8yx （0 x）的图象上 4,1BEOAFOSS 21()4AFOBEOSAOSOB 12AOBO 5AB A.22 5sin55BOBAOAB，此选项错误，B.15cos55AOBAOAB，此选项错误；C.tan2BOBAOAO，此选项正确；D.5sin5AOABOAB，此选项错误；故选：C 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的性质以及解直角三角形，解此题的关键是利用反比例函数的性质求出两个三角形的相似比 3、C【解析】试题分析：在一个不透明的盒子里有 2 个红球和 n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是22n，而其概率为15，因此可得22n=15，解得 n=8.故选 B 考点：概率的求法 4、C【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义（轴对称图形是沿某条直线对折，对折的两部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕着某一点旋转180后能与自身重合的图形）判断即可.【详解】解：A 选项是中心对称图形但不是轴对称图形，A 不符合题意；B 选项是轴对称图形但不是中心对称图形，B 不符合题意；C 选项既是轴对称图形又是中心对称图形，C 符合题意；D 选项既不是轴对称图形又不是中心对称图形.故选：C.【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的判断方法是解题的关键.5、A【分析】由题意得出等腰三角形的腰长为 13cm，作底边上的高，根据等腰三角形的性质得出底边一半的长度，最后由三角函数的定义即可得出答案【详解】解：如图，BC=10cm，AB=AC，可得 AC=（36-10）2=262=13（cm）又 AD 是底边 BC 上的高，CD=BD=5cm，cosC=135CDAC，即底角的余弦值为513，故选：A 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键 6、B【分析】把点1,4 代入2(1)2ya x，解得a的值，得出函数解析式，再把x=3 即可得到y的值.【详解】把1,4 代入2(1)2ya x，得24(1 1)2a ，解得a=12 21(1)22yx 把x=3，代入21(1)22yx=21(31)22=-4 故选 B.【点睛】本题考查了二次函数的解析式，直接将坐标代入法是解题的关键.7、A【分析】通过配方法可将方程246xx化为2()xab的形式【详解】解：配方，得：24464xx，由此可得：2210 x，故选 A【点睛】本题重点考查解一元二次方程中的配方法，熟练掌握配方法的过程是解题的关键；注意当方程中二次项系数不为 1 时，要先将系数化为 1 后再进行移项和配方 8、A【分析】连接 AG并延长交 BC 于 H，如图，利用三角形重心的性质得到 AG=2GH，再证明ADEABC，根据相似三角形的性质得到ADEABCSS=2()DEBC=49，然后根据比例的性质得到ADE 与四边形 DBCE 的面积比.【详解】解：连接 AG并延长交 BC于 H，如图，点 G为ABC的重心，AG2GH，AGAH23，DEBC，ADEABC，ADEABCSS2()DEBC（23）249，ADE 与四边形 DBCE的面积比45 故选：A【点睛】本题考查了三角形的重心与相似三角形的性质与判定.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 21.9、C【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似【详解】设树高为 x米，所以1.60.84.8x，24.8x x=4.82=9.6.这棵树的高度为 9.6 米 故选 C.【点睛】考查相似三角形的应用，掌握同一时刻物高和影长成正比是解题的关键.10、D【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可【详解】解：A、ABD=ACB，A=A，ABCADB，故此选项不合题意；B、ADB=ABC，A=A，ABCADB，故此选项不合题意；C、AB2=ADAC，ACABABAD，A=A，ABCADB，故此选项不合题意；D、ADAB=ABBC不能判定 ADBABC，故此选项符合题意 故选 D【点睛】点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)11、acb【分析】根据题意，分别求出 a、b、c 的值，然后进行判断，即可得到答案【详解】解：点 A、B、C 都在反比例函数8yx 的图象上，则 当2x 时，则842a ；当1x 时，则881b ；当4x 时，则824c ；acb；故答案为：acb【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 12、43米【分析】首先根据斜面坡度为 i1：3求出株距（相邻两树间的水平距离）为 6m时的铅直高度，再利用勾股定理计算出斜坡相邻两树间的坡面距离【详解】由题意水平距离为 6 米，铅垂高度 23米，斜坡上相邻两树间的坡面距离226+2 3=36+12=48=4 3（m），故答案为：43米【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键是掌握计算法则 13、43【分析】根据等腰三角形的性质求出 AB，再根据旋转的性质可得 BAAB，然后求出OAB30，再根据直角三角形两锐角互余求出ABA60，即旋转角为 60，再根据 S阴影S扇形ABA+SABCSABCS扇形CBCS扇形ABAS扇形CBC，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解【详解】解：ACB90，ACBC，ABC 是等腰直角三角形，AB2OA2OB4，BC22，ABC 绕点 B顺时针旋转点 A在 A处，BAAB，BA2OB，OAB30，ABA60，即旋转角为 60，S阴影S扇形ABA+SABCSABCS扇形CBC S扇形ABAS扇形CBC 2260460(2 2)360360 43 故答案为：43【点睛】本题考查了阴影部分面积的问题，掌握等腰直角三角形的性质、旋转的性质、扇形面积公式是解题的关键 14、1【分析】设点 P（a，b），根据反比例函数图象上点的坐标特征可得ab18，根据22ab2op，且22ab2ab，可求 OP 的最小值【详解】解：设点 P（a，b）点 P 在曲线 y18x上，ab18 2ab（）0，22ab2ab，22ab2op，且22ab2ab，2op2ab31，OP 最小值为 1【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用22ab2ab 是本题的关键 15、1【分析】直接利用函数图象得出函数解析式，进而求出答案【详解】设 Pks，把（0.5，2000）代入得：k1000，故 P1000s，当 S0.25 时，P10000.251（Pa）故答案为：1【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析会死是解题关键 16、（2，6）【分析】此题涉及的知识点是平面直角坐标系图像性质的综合应用过点 M作 MFCD 于 F，过 C 作 CEOA 于 E，在 Rt CMF 中，根据勾股定理即可求得 MF 与 EM，进而就可求得 OE，CE 的长，从而求得 C 的坐标【详解】四边形 OCDB是平行四边形,点 B的坐标为(16,0)，CDOA，CD=OB=16，过点 M作 MFCD于 F,则182CFCD，过 C作 CEOA于 E，A(20,0)，OA=20，OM=10，OE=OMME=OMCF=108=2，连接 MC,110,2MCOA 在 Rt CMF中，22221086.MFMCCF 点 C的坐标为(2,6).故答案为(2,6).【点睛】此题重点考察学生对坐标与图形性质的实际应用，勾股定理，注意数形结合思想在解题的关键 17、32【解析】分析：连接 AE，根据圆的切线的性质可得 ADBC，解 Rt ABE 可求出ABE，进而得到DAB，然后运用弧长的计算公式即可得出答案 详解：连接 AE，BC 为圆 A 的切线，AEBC，ABE 为直角三角形，AD=2，AB=22，AE=2，ABE 为等腰直角三角形，BAE=45，ADBC，DAE=AEB=90，BAD=45+90=135，弧 FED 的长=32 点睛：本题主要考查的是圆的切线的性质以及弧长的计算公式，属于中等难度题型 得出BAD 的度数是解题的关键 18、2(1)1yx 【解析】函数224yxx沿直线1y 翻折所得函数图像开口向下，只要根据轴对称的性质求出对称后的顶点坐标即可.【详解】224yxx=(x-1)2+3，其顶点坐标是（1,3），（1,3）关于直线1y 的点的坐标是（1，-1），所得函数解析式为y (x-1)2-1.故答案为：211yx.【点睛】本题考查了二次函数的轴对称变换，其形状不变，但开口方向相反，因此 a值为原来的相反数，顶点位置改变，只要根据轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式.三、解答题(共 66 分)19、（1）12；（2）证明见解析.【解析】试题分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根（1）直接把 x=1 代入方程 x2+mx+m2=0 求出 m 的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可 解：（1）根据题意，将 x=1 代入方程 x2+mx+m2=0，得：1+m+m2=0，解得：m=12；（2）=m241（m2）=m24m+8=（m2）2+40，不论 m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 考点：根的判别式；一元二次方程的解 20、（）证明见解析；（）BDE=50,CED=35【分析】（）由旋转的性质可得 ACCD，CBCE，ACDBCE，由等腰三角形的性质可求解（）由旋转的性质可得 ACCD，ABCDEC，ACDBCE50，EDCA，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求解【详解】证明：（）将ABC 绕点 C 顺时针旋转得到DEC，ACCD，CBCE，ACDBCE，A180ACD2，CBE180BCE2，AEBC；（）将ABC 绕点 C顺时针旋转得到DEC，ACCD，ABCDEC，ACDBCE50，EDCA，ACB=DCE AADC65，ACE130，ACDBCE50，ACBDCE=80，ABC180BACBCA35，EDCA65，BDE180ADCCDE50CED=180DCECDE=35【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角旋转前、后的图形全等 21、（1）13；（2）23【分析】（1）一共有 3 种等可能的结果，恰为C类的概率是13（2）根据题意列出所有等可能的结果数，然后根据概率公式求解.【详解】（1）13（2）甲 乙 A B C A（A,A）（A,B）（A,C）B（B,A）（B,B）（B,C）C（C,A）（C,B）（C,C）由表格可知，甲、乙两人投放的垃圾共有 9 种结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲、乙投放的垃圾恰是不同类别的有 6 种，即（A,B），（A,C），（B,A），（B,C），（C,A），（C,B）,P（甲、乙投放的垃圾是不同类别）23【点睛】本题考查了列表法或树状图以及概率的求法.22、（1）；（2）1；（3）23Bx33或7 33Bx23 【分析】（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题（2）本题根据 k的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解 EF，利用勾股定理求解 AF，进一步确定AOF度数，最后利用勾股定理确定点 F 的坐标，利用待定系数法求 k（3）本题根据B 在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定NDB 的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以BND，BMN 为媒介计算 BD 长度，最后与 OD 相减求解点 B 的横坐标范围【详解】（1）如下图所示：PM 是O的切线，PMO=90，当O的半径 OM 是定值时，22PMOPOM，1=2PMOSPMOM，要使PMO面积最小，则 PM最小，即 OP 最小即可，当 OPl时，OP 最小，符合最美三角形定义 故在图 1 三个三角形中，因为 AOx 轴，故AOP 为A 与 x 轴的最美三角形 故选：（2）当 k0 时，按题意要求作图并在此基础作 FMx 轴，如下所示：按题意可得：AEF 是直线 y=kx 与A 的最美三角形，故AEF 为直角三角形且 AFOF 则由已知可得：111=1222AEFSAEEFEF，故 EF=1 在AEF 中，根据勾股定理得：22AFAE A(0,2)，即 OA=2，在直角AFO 中，22=2OFOAAFAF，AOF=45，即FOM=45，故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故 F(-1,1)，将 F 点代入 y=kx 可得：1k 当 k0 时，同理可得 k=1 故综上：1k （3）记直线33yx与 x、y 轴的交点为点 D、C，则(3,0)D，(0,3)C，当B 在直线 CD 右侧时，如下图所示：在直角COD 中，有3OC，3OD，故tan3OCODCOD，即ODC=60 BMN 是直线33yx与B 的最美三角形，MNBM，BNCD，即BND=90，在直角BDN 中，sinBNBDNBD，故2 3=sinsin60?3BNBNBDBNBDN B 的半径为3，3BM 当直线 CD 与B 相切时，3BNBM，因为直线 CD 与B 相离，故 BN3，此时 BD2，所以 OB=BD-OD23 由已知得：113=3222BMNSMNBMMNMN32，故 MN1 在直角BMN 中，2223BNMNBMMN1+3=2，此时可利用勾股定理算得 BD4 33，OBBDOD 4 333=33，则23Bx33 当B 在直线 CD 左侧时，同理可得：7 33Bx23 故综上：23Bx33或7 33Bx23 【点睛】本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，求解几何线段时勾股定理极为常见 23、（1）详见解析；（2）65；（3）43【分析】（1）连接 AD，利用圆周角定理推知 ADBD，然后由等腰三角形的性质证得结论；（2）根据已知条件得到EOD50，结合圆周角定理求得DAC25，所以根据三角形内角和定理求得ABD的度数，则CABD，得解；（3）设半径 ODx则 AB2x由 AF3BF可得 AF34AB32x，BF14AB12x，根据射影定理知：BD2BFAB，据此列出方程求得 x的值，最后代入弧长公式求解【详解】（1）证明：如图，连接 AD AB是圆 O的直径，ADBD 又ABAC，BDCD（2）解：弧 DE50，EOD50 DAE12DOE25 由（1）知，ADBD，则ADB90，ABD902565 ABAC，CABD65（3）BC8，BDCD，BD1 设半径 ODx则 AB2x 由 AF3BF可得 AF34AB32x，BF14AB12x，ADBD，DFAB，BD2BFAB，即 1212x2x 解得 x1 OBODBD1，OBD 是等边三角形，BOD60 弧 BD 的长是：60418043 【点睛】此题主要考查圆的综合，解题的关键是熟知圆周角定理、三角形内角和及射影定理的运用.24、（1）详见解析；（2）10m【分析】（1）连接 AC，过点 D 作 DFAC，交直线 BC 于点 F，线段 EF 即为 DE 的投影；（2）易证 ABCDEF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答即可.【详解】（1）连接 AC，过点 D 作 DFAC，交直线 BC 于点 F，线段 EF 即为 DE 的投影 （2）ACDF，ACB=DFE，ABC=DEF=90，ABCDEF，AB：DE=BC：EF，AB=5m，BC=3m，EF=6m，5：DE=3：6，DE=10m【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解此题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质.25、（1）是，理由见解析；（2）125；（3）D（0,42）或 D（0,6）【分析】（1）依据边长 AC=2 2，AB=4，D 是边 AB 的中点，得到 AC2=AD AB，可得到两个三角形相似，从而得到ACD=B；(2)由点 D 是ABC 的“理想点”，得到ACD=B 或BCD=A，分两种情况证明均得到 CDAB，再根据面积法求出 CD 的长；(3)使点 A 是 B，C，D 三点围成的三角形的“理想点”，应分两种情况讨论，利用三角形相似分别求出点 D 的坐标即可.【详解】（1）D 是ABC 边 AB 上的“理想点”，理由：AB=4，点 D 是 ABC的边 AB 的中点，AD=2，AC2=8，8ADAB，AC2=AD AB，又A=A，ADCACB，ACD=B，D 是ABC 边 AB 上的“理想点”.（2）如图，点 D 是ABC 的“理想点”，ACD=B 或BCD=A,当ACD=B 时，ACD+BCD=90，BCD+B=90，CDB=90，当BCD=A 时，同理可得 CDAB，在 RtABC 中，ACB=90,AB=5，AC=4，BC=222254ABAC=3，1122AB CDAC BC,1153 422CD,125CD.（3）如图，存在.过点 A 作 MAAC 交 CB 的延长线于点 M，MAC=AOC=90,ACM=45，AMC=ACM=45，AM=AC,MAH+CAO=90,CAO+ACO=90,MAH=ACO,AHMCOA MH=OA,OC=AH,设 C（a，0），A(0，2),B(0，-3),OA=MH=2，OB=3，AB=5，OC=AH=a，BH=a-5，MHOC,MHBHOCOB，253aa，解得 a=6 或 a=-1（舍去），经检验 a=6 是原分式方程的解，C（6,0），OC=6.当D1CA=ABC 时，点 A 是BCD1的“理想点”，设 D1(0，m)，D1CA=ABC,CD1A=CD1B,D1ACD1CB,2111CDD A D B,226(2)(3)mmm，解得 m=42，D1(0，42)；当BCA=CD2B 时，点 A 是BCD2“理想点”，可知：CD2O=45，OD2=OC=6，D2（0,6）.综上，满足条件的点 D 的坐标为 D（0,42）或 D（0,6）.【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，通过证明三角形相似得到点是三角形某条边上的“理想点”，通过点是三角形的“理想点”，从而证明出三角形相似，由此得到点的坐标，相互反推的思想的利用，注意后者需分情况进行讨论.26、32.05 米【分析】先在 RtABD 中，用三角函数求出 AD，最后在 RtACD 中用三角函数即可得出结论【详解】解：在 RtABD 中，ABD30，AB10m，ADABsinABD10sin305（m），在 RtACD 中，ACD9，sin9ADAC，AC5sin950.15632.05（m），答：改造后的斜坡 AC 的长度为 32.05 米【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用锐角三角函数关系得出是解题关键