高数AB第二学期期末试卷含答案.pdf
考 试 卷（A 卷）（共 4 页第 1 页）课程名称 高等数学 A、B 期末 考试学期 06-07-2 得分 适用专业 工科类 考试形式 闭卷 考试时间长度 150 分钟 题号 一 二 三 四 五 六 得分 一.填空题（本题共9 小题，每小题4 分，满分 36 分）1200e dlim(cos1)xtxxtxx ；2 曲 线231xtyt 在2t 对 应 的 点 处 的 切 线 方 程为 ；3函数()ln(1)f xxx在区间 内严格单调递减；4设()yy x是由方程ln1xyy所确定的隐函数，则(0)y ；5 512224111d1xxxxxxx ；6 设)(xf连 续，且201(2)darctan2xtfxttx，已 知1)1(f,则21()df xx ；7已知)(xyy 在任意点x处的增量21xxyy，当0 x时，是x的 高阶无穷小，已知)0(y，则_)1(y；8曲线1ln eyxx的斜渐近线方程是 ；9若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解312e,exxyy，则该方程为.二.计算题（本题共 4 小题，每小题 7 分，满分 28 分）1计算不定积分 2arccosdxxxx 2计算定积分 20sindxx x 3计算反常积分 211d1xx x 4设 31()d1xtG xtt，求 10()dG xx 三（本题满分 7 分）求曲线lncos1sin2xtyt自0t 到4t一段弧的长度。四（本题共 2 小题，第 1 小题 7 分，第 2 小题 9 分，满分 16 分）1求微分方程2sincotyyxyx 的通解。2求微分方程sinyyxx的特解，使得该特解在原点处与直线32yx相切。五（本题满分 7 分）设1a，求积分121()e dxI axax的最大值。六（本题满分 6 分）设函数)(xf在4,2上存在二阶连续导数，且0)3(f，证明：至少存在一点4,2，使得 42()3()dff xx。高 数 A、B 期 末 参 考 答 案 及 评 分 标 准 一.填空题（本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分）1200e d2lim(cos1)3xtxxtxx；2曲线231xtyt 在2t 对应的点处的切线方程为37yx；3函数()ln(1)f xxx在区间(1,0)内严格单调递减；4设()yy x是由方程ln1xyy所确定的隐函数，则2(0)ey；5 512224111d12xxxxxxx；6 设)(xf连 续，且201(2)darctan2xtfxttx，已 知1)1(f,则213()d4f xx；7 已知)(xyy 在任意点x处的增量21xxyy，当0 x时，是x的 高阶无穷小，已知)0(y，则4(1)ey；8曲线1ln eyxx的斜渐近线方程是1eyx；9若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解312e,exxyy，则该方程为 430yyy 二.计算题（本题共 4 小题，每小题 7 分，满分 28 分）1计算不定积分 2arccosdxxxx 解：2arccosarccosd2d2 arccosdarccos1xxxxxxxxx 2arccosxC 2计算定积分 20sindxx x 解：200sind()sin d2sin d4xx xxttttt t 3计算反常积分 211d1xx x 解：22122221111111dd()lnln2221211xxxxx xxx 4设 31()d1xtG xtt，求 10()dG xx 解：21111030002()d()()dd2131xG xxxG xxG xxxx 三（本题满分 7 分）求曲线lncos1sin2xtyt自0t 到4t一段弧的长度。解：22401tancosd4Stt t24012cosd2costtt44001sec dcos d2t tt t 4012ln(sectan)sinln 1224ttt 四（本题共 2 小题，第 1 小题 7 分，第 2 小题 9 分，满分 16 分）1求微分方程2sincotyyxyx 的通解。解：222cot2cosyx yx 2 cot d2 cot d222e2 cos edcscsin3x xx xyxxCCxx 2求微分方程sinyyxx的特解，使得该特解在原点处与直线32yx相切。解：12cossincos2xyCxCxxx，由题设条件得 3(0)0,(0)2yy，求得120,1CC，于是sincos2xyxxx 五（本题满分 7 分）设1a，求积分121()e dxI axax的最大值。解：1122211()e d()e d()e daxxxaI axaxaxxxax 11222211e de de de daaxxxxaaaxxxxxax 令112222222211()e deeee dee de daaxaaaxaxxaaI axaaaxaxx 22221eeeech202aa，得lnch2a 为 唯 一 驻 点，2()2e0aIa，lnchIa为 I a在 1,1上的最小值，而最大值只能在端点1,1xx 取得。22311ee44I，22151ee44I，所以 22max311ee44II（分）六（本题满分 6 分）设函数)(xf在4,2上存在二阶连续导数，且0)3(f，证明：至少存在一点4,2，使得 42()3()dff xx。证：0)3(f，2()()(3)(3)(3)2ff xfxx，(2,4)，由于()fx在4,2上连续，()fx在4,2上存在最大值M和最小值m，故 222()(3)(3)(3)222mfMxxx，44422221()d(3)(3)d()(3)d323mMf xxfxxfxx，即 423()dmf xxM，由介值定理知至少存在一点4,2，使得 42()3()dff xx
