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异面直线所成的角求法-总结加分析 异面直线所成的角 一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法 1在空间四边形 ABCD 中，ADBC2，E，F 分别为 AB、CD 的中点，EF3，求 AD、BC 所成角的大小 解：设 BD 的中点 G，连接 FG，EG。在EFG 中 EF3 FGEG1 EGF120 AD 与 BC 成 60的角。2正ABC 的边长为 a，S 为ABC 所在平面外的一点，SASBSCa，E，F 分别是SC 和 AB 的中点求异面直线 SA 和 EF 所成角 答案：45 3S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SASBSC，且ASBBSCCSA2，M、N 分别是 AB 和 SC 的中点求异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值 证明：连结 CM，设 Q 为 CM 的中点，连结 QN 则 QNSM QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角 连结 BQ，设 SCa，在BQN 中 BNa25 NQ21SM42a BQa414 COSQNB5102222NQBNBQNQBN 4如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M、N 分别是 A1B1和 A1C1的中点，若 BCCACC1，求 BM 与 AN 所成的角 解：连接 MN，作 NGBM 交 BC 于 G，连接 AG，易证GNA 就是 BM 与 AN 所成的角 设：BCCACC12，则 AGAN5，GNBM6，cosGNA1030562556。B M A N C S 中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：如图连结 B1C 交 BC1于 0，过 0 点作 OEDB1，则BOE 为所求的异面直线 DB1与 BC1所成的角。连结 EB，由已知有 B1D=34，BC1=5，BE=3 52，cosBOE=7 34170 BOE=cosarc7 34170 解法二：如图，连 DB、AC 交于 O 点，过 O 点作 OEDB1，过 E 点作 EFC1B，则OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过 O 点作 OMDC，连结 MF、OF。则 OF=732，cosOEF=7 34170，异面直线 B1D 与 BC1所成的角为cosarc7 34170。解法三：如图，连结 D1B 交 DB1于 O，连结 D1A，则四边形 ABC1D1为平行四边形。在平行四边形 ABC1D1中过点 O 作 EFBC1交 AB、D1C1于 E、F，则DOF 或其补角就是异面直线 DB1与 BC1所成的角。在ADF 中 DF=3 52，cosDOF=7 34170，DOF=cosarc7 34170。课堂练习 9.在正四面体 ABCD 中，已知 E 是棱 BC 的中点，求异面直线 AE 和 BD 所成角的余弦值。EDBCA 补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。解法一：如图，以四边形 ABCD 为上底补接一个高为 4 的长方体 ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则 DB1D2B，C1BD2或其补角就是异面直线 DB1与 BC1所成的角，连 C1D2，则C1D2C2为 Rt，cosC1BD2=7 34170，异面直线 DB1与 BC1所成的角是cosarc7 34170。课堂练习：10.求异面直线 A1C1与 BD1所成的角的余弦值。在长方体 ABCD-A1B1C1D1的面 BC1上补上一个同样大小的长方体，将 A1C1平移到 BE，则D1BE 或其补角就是异面直线A1C1与BD1所 成 的 角，在 BD1E中，BD1=3，二、利用模型求异面直线所成的角 模型 1 引理：已知平面 的一条斜线 a 与平面 所成的角为 1，平面 内的一条直线 b 与斜线 a 所成的角为，与它的射影 a所成的角为 2。求证：cos=cos1cos2。在平面的斜线 a 上取一点 P，过点 P 分别作直线 c、b 的垂线 PO、PB，垂足为 O、B 连接 OB，则 OBb.在直角AOP 中，APAO1cos.在直角ABC 中，AOAB2cos.在直角ABP 中，APABcos.所以 coscoscos21APABAOABAPAO 所以coscoscos21 21cbaPOAB 证明：设 PA 是 的斜线，OA 是 PA 在 上的射影，OB/b，如图所示。则PAO=1，PAB=，OAB=2，过点 O 在平面 内作 OBAB，垂足为 B，连结 PB。可知 PBAB。所以 cos1=PAOA，cos=PAAB，cos2=OAAB。所以 cos=cos1cos2。利用这个模型来求两条异面直线 a 和 b 所成的角，即引理中的角。需：过 a 的一个平面，以及该平面的一条斜线 b 以及 b 在 内的射影。11.如图，MA平面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，且 MA=AB=a，试求异面直线 MB与 AC 所成的角。解：由图可知，直线 MB 在平面 ABCD 内的射影为 AB，直线 MB 与平面 ABCD 所成的角为 45，直线 AC 与直线 MB 的射影 AB 所成的角为 45，所以直线 AC 与直 MB 所成的角为，满足 cos=cos45 cos45=21，所以直线 AC 与 MB 所成的角为 60。13.已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为（D）（A）34 （B）54 （C）74 (D)34 解：设BC的中点为 D，连结1AD，AD，易知1A AB 即为异面直线AB与1CC所成的角,由三角余弦定理，易知113cocs4oscosADADA ADDABA A AB.故选 D 14.如图，在立体图形 P-ABCD 中，底面 ABCD 是一个直角梯形，BAD=90，AD/BC，AB=BC=a，AD=2a，且 PA底面 ABCD，PD 与底面成 30角，AEPD 于 D。求异面直线AE 与 CD 所成的角的大小。解：过 E 作 AD 的平行线 EF 交 AD 于 F，由 PA底面 ABCD 可知，直线 AE 在平面 ABCD 内的射影为 AF，直线 AE 与平面 ABCD 所成的角为DAE，其大小为 60，射影 AF 与直线 CD 所成的角为CDA，其大小为 45，所以直线与直线所成的角满足cos=cos60 cos45=42，所以其大小为arccos42。P b A B O P E D F A B C BCBCA111ADA B C D M 模型 2 定理：四面体 ADBCD 两相对棱 AC、BD 间的夹角为，则有 证明：CADACAABCADAABCADBDAABDBCOSDBDBCADB而 2222222222222CDABBCADCDACADBCACAB 所以有：15.长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线 A1C1与 BD1所成的角。解：连结 BC1、A1B 在四面体为，易求得 由定理得：所以 二、向量法求异面直线所成的角 16.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是相邻两侧面 BCC1B1及 CDD1C1的中心。求 A1E 和 B1F 所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。作法：连结 B1E，取 B1E 中点 G 及 A1B1中点 H，连结 GH，有 GH/A1E。过 F 作 CD 的平行线 RS，分别交 CC1、DD1于点 R、S，连结 SH，连结 GS。由 B1H/C1D1/FS，B1H=FS，可得 B1F/SH。在GHS 中，设正方体边长为 a。B A C D F E B A D C G H S R Q GH=46a（作直线 GQ/BC 交 BB1于点 Q，连 QH，可知GQH 为直角三角形），HS=26a（连 A1S，可知HA1S 为直角三角形），GS=426a（作直线 GP 交 BC 于点 P，连PD，可知四边形 GPDS 为直角梯形）。CosGHS=61。所以直线 A1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为61。解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BB1为 z 轴，设 BC 长度为 2。则点 A1的坐标为（0，2，2），点 E 的坐标为（1，0，1），点 B1的坐标为（0，0，2），点 F 的坐标为（2，1，1）；所以向量1EA的坐标为（-1，2，1），向量FB1的坐标为（2，1，-1），所以这两个向量的夹角 满足 cos=|1111FBEAFBEA=222222)1()1()2()1()2()1()1(1122)1(=-61。所以直线 A1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为61 17.已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N 分别为 BC 和 AD 的中点，设 AM 和 CN 所成的角为，求 cos 的值。（平移法也可）解：由已知得，空间向量AB，AC，AD不共面，且两两之间的夹角均为 60。由向量的加法可以得到 AM=21（AB+AC），NC=21AD+AC 所以向量AM与向量NC的夹角（即角 或者 的补角）满足 cos=|NCAMNCAM，其中 AMNC=21（AB+AC）（21AD+AC）=21（21ABAD+ABAC+（21AD）AC+ACAC）=21a2（41+2141+1）=21a2；B A C D F E BADCA B C D M N|AM|2=21（AB+AC）21（AB+AC）=41（1+1+1）a2=43 a2；|NC|2=（21AD+AC）（21AD+AC）=41+121 a2=43 a2。所以 cos=|cos|=32。18.已知空间四边形 ABCD 中，AB=CD=3，E、F 分别是 BC、AD 上的点，且 BE：EC=AF：FD=1：2，EF=7，求 AB 和 CD 所成的角的大小。解：取 AC 上点 G，使 AG：GC=1：2。连结 EG、FG，可知 EG/AB，FG/CD，3EG=2AB，3FG=CD。由向量的知识可知EF=EG+GF=BA32+CD31，设向量BA和CD的夹角为。则由|EF|2=（BA32+CD31）（BA32+CD31）=4+1+4cos=7，得 cos=21，所以 AB 和 CD 所成的角为 60。19.（思考题）如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 AA1长为 b,且 AA1与 AB、AD 的夹角都是 120.求：(1)AC1的长；(2)直线 BD1与 AC 所成的角的余弦值.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.221122211111212211111122122211111222221112221111111212222|)(|)(,2|,)2(.22|,22|,0,21120cos,21120cos90,120,|,|:|222|)()(|)1(:baABAAADABADAAABADAAABADAAABADAABDBDBDabADABABADADABAAADAAABABADAAADABBDACABADAABAADBDADABACaACabbaACabbaACADABababADAAababABAAADABADAAABAAaADABbAAADABADAAABAAADABAAADABAAADABAAACAAACAAACACAC依题意得由已知得解 2212|baBD 2211124|,cosbabACBDACBDACBD BD1与 AC 所成角的余弦值为2224bab.A B C D E F G 判断是非：(1)(3)(8)(10)正确，其余错；选择：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)5(2)相交，(5)平行，其余异面；（6）：(D)，取 AB中点 M，CC1中点 N，连 B1E 和 B1F；（7）答案：(A)，延长 B1A1至 M，使 A1MA1D1，连MA，取 AB 中点 N8(D)；9(E)；10(D)；11(C)；三34，取 AD 中点 E，则MEN90；四57，取 AC 中点 F，连 EF、BF，求得 BE21AD5，BF21AC32；五552，分别取 AC、B1C1的中点 P、Q，则 PMQN 是矩形，设 CC1MQa，则 MP21a；六61，取 AC 中点 F，连 EF、BF，则 EF4，BEBF3 异面直线所成的角-作业 班级：姓名：学号：一、判断是非(下列命题中，正确的打“”，错误的打“”)(1)梯形的四个顶点在同一平面内；(2)对边相等的四边形是平行四边形；(3)平行于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一直线的两直线平行；(5)两条直线确定一个平面；(6)经过三点可以确定一个平面；(7)无公共点的两直线异面；(8)两异面直线无公共点；(9)两异面直线可以同时平行于一直线；(10)两异面直线可以同时垂直于一直线；(11)不同在一个已知平面内的两直线异面；(12)互相垂直的两条直线必可确定一平面 二、选择题 1.没有公共点的两条直线的位置关系是()(A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定 2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是()(A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交 3.两条异面直线指的是()(A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线 4.a、b 是异面直线，b、c 也是异面直线，那么 a、c 的位置是()(A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面 5.说出正方体中各对线段的位置关系：(1)AB 和 CC1；(2)A1C 和 BD1；(3)A1A 和 CB1；(4)A1C1和 CB1；(5)A1B1和 DC；(6)BD1和 DC.6.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 和 N 分别为 A1B1和 BB1的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是()31032()()()()21055ABCD 7.如图，A1B1C1ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，BCA=90，点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1的中点若 BC=CA=CC1，则 BD1与 AF1所成角的余弦值是()3013015()()()()1021510ABCD 8.正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 BC1与 AC (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 9.设 a、b、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：如果 ab、bc，则 ac；如果 a 和 b 相交，b 和 c 相交，则 a 和 c 也相交；如果 a、b 是异面直线，c、b 是异面直线，则 a、c 也是异面直线；如果 a 和 b 共面，b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面，在上述四个命题中，真命题的个数是()(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 10.如果直线 l 和 n 是异面直线，那么和直线 l、n 都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条 11.如图，四面体 SABC 的各棱长都相等，如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于(A)90 (B)60 (C)45 (D)30 三如图，四面体 ABCD 中，ACBD,且 AC4，BD3，M、N 分别是 AB、CD 的中点，求 MN 和 BD 所成角的正切值 F A B C E S(第11A B D M N 4 3 四如图，四面体 ABCD 中，ABBC，ABBD，BCCD，且 ABBC6，BD8，E是 AD 中点，求 BE 与 CD 所成角的余弦值 五如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N 分别是 BC 和 A1C1的中点。求 MN 与 CC1所成角的余弦值。六如图，四面体 ABCD 中，E 为 AD 中点，若 ACCDDA8，ABBD5，BC7，求 BE 与 CD 所成角的余弦值。A B C D(第E 6 6 8(第五M A B C N C1 A1 B1 8 A B C D E(第7 8 5 4 4 5