公共基础(数理化)精讲班第一章高等数学(四)-.pdf
环球网校学员专用资料第1页/共8页 第 2 章 函数、极限、连续 第一节 函数 1函数的概念（1）定义：设,x y是两个变量，D是给定的实数集，如果有一个对应法则f，使得对于每一个实数xD，变量y都有惟一确定的数值与之对应，则称变量y是变量x的函数，记为 (),yf xxD 其中x称为自变量，y称为函数。集合D称为该函数的定义域。当xD时，对应的y取值称为函数值，函数值的全体构成的集合称为该函数的值域。（2）函数的定义域是使得该函数有意义的实数全体，如果函数有实际意义，定义域由实际意义确定。（3）一元函数还可表为隐函数(,)0F x y，和参数式()()xtyt。2.函数基本性质（1）单调性：如果函数()yf x对于区间I内的任意两点12xx，都有 12()()f xf x 或12()()f xf x 则称函数()yf x在区间,b（a）内单调增加（或单调减少）。（2）有界性：如果函数()yf x对于区间I内的一切x，都有 ()f xM 其中M是一个正常数，则称函数()yf x在区间I内有界。在整个定义域内有界的函数称为有界函数。（3）奇偶性：如果函数()yf x对于区间,a a（）内的一切x，都有 ()()fxf x 则称()yf x为偶函数；对于区间,a a（）内的一切x，都有 ()()fxf x 则称()yf x为奇函数。环球网校学员专用资料第2页/共8页 注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。（4）周期性：如果函数()yf x对于定义域内的一切x，都有 ()()f xTf x 则称函数()yf x为周期函数，T为函数的周期，实际中常指最小正周期。【例题 2-1】设221()1xxef xe，则：(A)()f x为偶函数，值域为 1,1（）(B)()f x为奇函数，值域为,0（）(C)()f x为奇函数，值域为 1,1（）(D)()f x为奇函数，值域为,（0）解：222222111()()111xxxxxxeeefxf xeee ，()f x为奇函数。又221()1xxef xe的定义域为,（），在 定 义 域 内，2222214()01(1)xxxxeefxee，故()f x是 单 增 调 的，又lim()1xf x,lim()1xf x，所以值域为 1,1（），应选(C)【例题 2-2】函数1sinyx是定义域内的：(A)有界函数 (B)无界函数 (C)单调函数 (D)周期函数 解：sinyx是有界函数，与1yx复合后仍是有界的。其余选项都不对，应选 A。3.基本初等函数（1）基本初等函数：幂函数 yx （为实数）指数函数 xya （0,1aa）对数函数 logayx （0,1aa），lnyx（ae）环球网校学员专用资料第3页/共8页 三角函数 sin,cos,tan,cotyx yx yx yx 反三角函数 arcsin,arccos,arctan,arccotyx yx yx yx （2）常用结论 对数运算法则：logloglog,logloglogaaaaaaxxyxyxyy 三角函数公式：222sin22sincos,cos2cossin2cos1 2211sin(1cos2),cos(1cos2)22 4.初等函数（1）函数的复合：设y是u的函数()yf u，而u又是x的函数()ux，如果对于()x的定义域中的某些x值所对应的u值，函数()yf u有定义，则y通过u的联系也是x的函数，称为由()yf u及()ux复合而成的函数，记为()yfx，其中u称为中间变量。例如：是由21,sin,yuuv vx这三个简单函数复合而成。（2）初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算、有限次复合步骤所构成，且可用一个式子表示的函数称为初等函数。第二节：极限 1.数列的极限（1）定义：对于数列 nu，如果当n无限增大时，通项nu无限趋近于某个确定的常数a，则称常数a为数列 nu的极限。记为 limnnua（2）结论：1）单调有界数列必有极限。2）收敛数列的任一子列都是收敛的。2.函数极限概念 定义 1：如果当x无限增大时，函数()f x无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数()f x 环球网校学员专用资料第4页/共8页 当x 时的极限，记为 lim()xf xA 同理可定义当x 时，函数()f x的极限，且有 lim()lim()xxf xAf xA且lim()xf xA 定义 2：设函数()f x在0 x的某去心邻域内有定义，当自变量x趋近0 x时，函数()f x无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数()f x当0 xx 时的极限，记为 0lim()xxf xA 同理可定义当0 xx和0 xx时，函数()f x的极限，称为()f x在该点的左、右极限，且有 Axfxx)(lim000(0)lim()xxf xf xA且0(0)f x Axfxx)(lim0【例题 2-3】函数,31,4,10,2)(xxxxxf在1x时,)(xf的极限是:(A)2 (B)3 (C)0 (D)不存在 解：由3)(lim1xfx,2)(lim1xfx，)(xf在1x 左右极限存在但不相等，故1x时,)(xf的极限不存在,应选(D).3.无穷小和无穷大（1)定义:无穷小：若0)(limxf，则称)(xf为对应极限过程下的无穷小量 无穷大：若)(limxf，则称)(xf为对应极限过程下的无穷大量（2）无穷大与无穷小互为倒数关系。（3）无穷小的性质 1）有限个无穷小的和（积）仍为无穷小；2）有界量与无穷小的乘积仍是无穷小。（讨论极限xxx1sinlim0）（4）无穷小比较 如果当)(0 xxx时，和都是无穷小，则 环球网校学员专用资料第5页/共8页 若0lim，是的高阶无穷小；若limC (0C 为常数)，和是同阶无穷小；若1lim，和是等价无穷小，记为。（5）等价无穷小代换 1）如果当)(0 xxx时，,则 limlim 2）当0 x时，常用的等价无穷小有 21sin,tan,1 cos,ln(1),12xxxxxxxxxex，sin,tan,(1)1,1lnxarcxxarcxxxxaxa【例题 2-4】设2()1cos,()2xxxx，则当0 x 时，下列结论中正确的是：（A）()x与()x是等价无穷小 （B）()x是()x的高阶无穷小 （C）()x是()x低阶无穷小 （D）()x与()x是同阶无穷小但不是等价无穷小 解：因2001cossin1limlim244xxxxxx，故()x与()x是同阶无穷小但不是等价无穷小，应选(D).4求极限的几个重要结论（1）两个重要极限 11sinlim,1sinlim0 xxxxxx exxx)11(lim，（ennn)11(lim）exxx10)1(lim 环球网校学员专用资料第6页/共8页 【例题 2-5】下列极限计算中，错误的是：（A）2limsin12nnnxx （B）sinlim1xxx （C）110lim(1)xxxe （D）22)11(limexxx 解:因为 1lim0 xx，而sin x是有界量，根据无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量，知sinlim0 xxx，故sinlim1xxx错误，应选(B)。由于sin22limsinlim122nnnnnnxxxx利，知（A)选项是正确的。又 111100lim(1)lim(1(),xxxxxxe 222)11(lim)11(limexxxxxx，知（C)和(D)选项都是正确的。（2）有理式的极限 设110P()mmmmmxa xaxa，110()nnnnnQxb xbxb，1）当x 时，如果0()0nQx，则 000()()lim()()mmxxnnPxPxQxQx 若0()0nQx且0()0mPx，则0()lim()mxxnP xQ x；若0()0nQx且0()0mPx，则为未定式，可用罗比达法则或通过去零因子来求极限。2）当x 时，有以下结论 0,()lim,(),mxnmnmnP xmnQ xamnb【例题 2-6】若223lim(2)1xaxbxx，则a与b的值是：环球网校学员专用资料第7页/共8页 (A)0,ba为任意实数 (B)0,0ab；(C)1,8ab；(D)0,0ab 解：由232223(2)1lim(2)lim11xxaxbxaxbxbxxx，分子的幂次必须高于分母的幂次，故有0,ba为任意实数，应选(A)。（3）罗必达法则 当)(0 xxx时，()0(),()0()f xF x；1）在点0 x某去心邻域内（或当Nx 时）)(xf 及)(xF都存在且0)(xF；2）)()(limxFxf存在（或为无穷大），则 )()(lim)()(limxFxfxFxf【例题 2-7】求极限201sinlimsinxxxx时，下列各种解法中正确的是：（A）用罗比达法则后，求得极限为 0 （B）因为0sinlimxxx不存在，所以上述极限不存在 （C）原式=01lim sin0sinxxxxx （D）因为不能用罗比达法则，故极限不存在 解:因为 01lim sin0 xxx（无穷小与有界量的乘积），而0lim1sinxxx，01lim sin0 10sinxxxxx，故应选（C）。由于2111(sin)2 sincosxxxxx，当 0 x 时极限不存在，故不能用罗比达法则，但求导后极限不存在不能得出原极限不存在，所以选项（A）和（D）都不对；又0sinlim1xxx，（B）选项错。【例题 2-8】下列极限式中，能够使用洛必达法则求极限的是：A.01 coslim1xxxe B.0sinlimsinxxxx C.201sinlimsinxxxx D.sinlimsinxxxxx 环球网校学员专用资料第8页/共8页 解析:利用洛必达法则,00sin1 coslimlim0sincosxxxxxxx,故应选 B.而01 coslim1xxxe不是未定式；201sinlimsinxxxx是00型未定式，但分子分母分别求导后极限不存在；sinlimsinxxxxx是型未定式，分子分母分别求导后仍是型未定式，再次使用洛必达法则又回到原式。所以答案 B.
