江苏省江阴市长泾二中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末达标检测试题含解析.pdf

2022-2023 学年九上数学期末模拟试卷 考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题 4 分，共 48 分）1若ABCABC，相似比为 1:2，则ABC与ABC 的面积的比为（）A1:2 B2:1 C1:4 D4:1 2如图，在Rt ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有（）A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 3如图，ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sin A的值为（）A32 B34 C45 D35 4某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，则平均每次降价的百分率为（）.A20%；B40%；C18%；D36%.5如图，在 66 的正方形网格中，ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，则 tanBAC 的值是()A45 B43 C34 D35 6如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，从上面看得到的平面图形是（）A B C D 7如图，在 ABCD中，DAB10，AB8，AD1O分别切边 AB，AD于点 E，F，且圆心 O好落在 DE上现将O沿 AB方向滚动到与 BC边相切（点 O在 ABCD的内部），则圆心 O移动的路径长为（）A2 B4 C53 D823 8一元二次方程22350 xx的根的情况是（）A有两个不相等实数根 B有两个相等实数根 C没有实数根 D无法确定 9 九章算术中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是（）A6步 B7步 C8步 D9步 10方程x 1 x20的两根分别为（）A1x1，2x2 B1x1，2x2 C1xl，2x2 D1x1，2x2 11由于受猪瘟的影响，今年 9 月份猪肉的价格两次大幅上涨，瘦肉价格由原来每千克23元，连续两次上涨%a后，售价上升到每千克60元，则下列方程中正确的是（）A223 1%60a B223 1%60a C223 12%60a D2223 1%60a 12矩形 ABCD 中，AB10，4 2BC，点 P 在边 AB 上，且 BP:AP=4:1，如果P 是以点 P 为圆心，PD 长为半径的圆，那么下列结论正确的是（）A点 B、C 均在P 外 B点 B 在P 外，点 C在P 内 C点 B 在P 内，点 C在P 外 D点 B、C 均在P 内 二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13如图，点 A、B 分别在 y 轴和 x 轴正半轴上滑动，且保持线段 AB4，点 D 坐标为（4，3），点 A 关于点 D 的对称点为点 C，连接 BC，则 BC 的最小值为_ 14已知抛物线 yax2bx3 在坐标系中的位置如图所示，它与 x 轴、y 轴的交点分别为 A，B，点 P 是其对称轴 x1 上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：2ab0；x3 是 ax2bx30 的一个根；PAB 周长的最小值是1032.其中正确的是_.15如图，在ABC 中，BAC=90，B=60，ADBC 于点 D，则ABD 与ADC 的面积比为_.16如图，正方形的顶点,A C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，若反比例函数12yx的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为_ 17一张直角三角形纸片ABC，90ACB，10AB，6AC，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当BDE是直角三角形时，则CD的长为_ 18如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为 100，扇形的圆心角为 120，这个扇形的面积为 三、解答题（共 78 分）19（8 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为 A(2，6)，B(0，4)，C(3，3)（正方形网格的每个小正方形的边长都是 1 个单位长度）（1）ABC平移后，点 A的对应点 A1的坐标为(6，6)，画出平移后的111A B C；（2）画出111A B C绕点 C 1旋转 180得到的221A B C；（3）ABC绕点 P(_)旋转 180可以得到221A B C，请连接 AP、A2P，并求 AP在旋转过程中所扫过的面积 20（8 分）通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标数y随时间x(min)变化的函数图象如图所示(y越大表示注意力越集中)当010 x时，图象是抛物线的一部分，当1020 x 和2040 x时，图象是线段 （1）当010 x时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式（2）一道数学综合题，需要讲解 24min，问老师能否安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于 1 21（8 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2420yaxaxa a的顶点为 P，且与 y轴交于点 A，与直线ya 交于点 B，C（点 B在点 C的左侧）.（1）求抛物线2420yaxaxa a的顶点 P的坐标（用含 a的代数式表示）；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段 AC围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”.当2a 时，请直接写出“W区域”内的整点个数；当“W区域”内恰有 2 个整点时，结合函数图象，直接写出 a的取值范围.22（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，A（2，0），B（0，3），C（4，1）以原点 O为旋转中心，将ABC顺时针旋转 90得到ABC，其中点 A，B，C旋转后的对应点分别为点 A，B，C（1）画出ABC，并写出点 A，B，C的坐标；（2）求经过点 B，B，A三点的抛物线对应的函数解析式 23（10 分）如图，有四张背面相同的纸牌 A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的图形，小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张，放回后洗匀再随机摸出一张 （1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用 A、B、C、D 表示）；（2）求两次摸出的牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率 24（10 分）如图为一机器零件的三视图（1）请写出符合这个机器零件形状的几何体的名称；（2）若俯视图中三角形为正三角形，那么请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积（单位：cm2）25（12 分）已知ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）分别写出图中点 A和点 C 的坐标；（2）画出ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90后的ABC；（3）求点 A 旋转到点 A所经过的路线长（结果保留）.26如图 1，在Rt ABC中，90,ABCAB是O的直径，O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点,PAPDB （1）求证：PD是O的切线；（2）若6,ABDADP，试求BD的长；（3）如图 2，点M是弧AB的中点，连结DM，交AB于点N，若2tan3A，求NDMN的值 参考答案 一、选择题（每题 4 分，共 48 分）1、C【解析】试题分析：直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质.得出结论：ABCABC，相似比为 1:2，ABC与ABC 的面积的比为 1:4.故选 C.考点：相似三角形的性质.2、C【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形【详解】ACB90，CDAB ABCACD，ACDCBD，ABCCBD 所以有三对相似三角形，故选：C【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似 3、D【分析】把A 置于直角三角形中，进而求得对边与斜边之比即可【详解】解：如图所示，在 RtACD中，AD=4,CD=3,AC=22CDAD=2234=5 sin A=CDAC=35.故选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义；合理构造直角三角形是解题关键 4、A【分析】可设降价的百分率为x，第一次降价后的价格为25 1x，第一次降价后的价格为225 1x，根据题意列方程求解即可.【详解】解：设降价的百分率为x 根据题意可列方程为225 116x 解方程得115x，295x（舍）每次降价得百分率为20%故选 A【点睛】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键.5、C【分析】过点 B 作 BDAC，交 AC 延长线于点 D，利用正切函数的定义求解可得【详解】如图，过点 B作 BDAC，交 AC 延长线于点 D，则 tanBACBDAD34，故选 C【点睛】本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角 A的对边 a 与邻边 b 的比叫做A 的正切 6、B【分析】根据俯视图是从上面看到的图形可得俯视图为正方形以及右下角一个三角形【详解】从上面看，是正方形右边有一条斜线，如图：故选 B【点睛】考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键 7、B【分析】如图所示，O滚过的路程即线段 EN 的长度.EN=AB-AE-BN，所以只需求 AE、BN 的长度即可.分别根据AE 和 BN 所在的直角三角形利用三角函数进行计算即可.【详解】解：连接 OE，OA、BO AB，AD分别与O相切于点 E、F，OEAB，OFAD，OAEOAD30，在 RtADE中，AD1，ADE30，AE12AD3，OE33AE3，ADBC，DAB10，ABC120 设当运动停止时，O与 BC，AB分别相切于点 M，N，连接 ON，OM 同理可得，BON为 30，且 ON为3，BNONtan301cm，ENABAEBN8312 O滚过的路程为 2 故选：B【点睛】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质及解直角三角形等知识.关键是计算出 AE 和 BN 的长度.8、A【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出490，由此即可得出方程有两个不相等的实数根【详解】解：在方程22350 xx中，2(3)42(5)49 0，方程22350 xx有两个不相等的实数根 故选：A【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键 9、A【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径，进而得出直径.【详解】根据勾股定理，得 斜边为2281517，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径8 15 1732r（步），即直径为 6 步，故答案为 A.【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，熟练掌握，即可解题.10、D【解析】（x1）（x1）=0，可化为：x1=0 或 x1=0，解得：x1=1，x1=1故选 D 11、A【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），先表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于 a%的方程【详解】解：当猪肉第一次提价%a时，其售价为2323a%23(1%)a；当猪肉第二次提价%a后，其售价为223 1%23 1%23 1%.（）（）（）aaaa 223 1%60.（）a 故选：A.【点睛】本题考查了求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）2=b 12、A【分析】根据 BP=4AP 和 AB 的长度求得 AP 的长度，然后利用勾股定理求得圆 P 的半径 PD 的长；根据点 B、C 到 P点的距离判断点 P 与圆的位置关系即可【详解】根据题意画出示意图，连接 PC，PD，如图所示 AB=10,点 P 在边 AB 上，BP:AP=4:1 AP=2,BP=8 又AD=4 2BC 圆的半径 PD=22(4 2)2=6 PC=22(4 2)8=32+64=4 6 PB=86,PC=4 66 点 B、C 均在P 外 故答案为：A【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的判定，根据点和圆心之间的距离和半径的大小关系作出判断即可 二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13、1【分析】取 AB 的中点 E，连接 OE，DE，OD，依据三角形中位线定理即可得到 BC=2DE，再根据 O，E，D 在同一直线上时，DE 的最小值等于 OD-OE=3，即可得到 BC 的最小值等于 1【详解】解：如图所示，取 AB 的中点 E，连接 OE，DE，OD，由题可得，D 是 AC 的中点，DE 是 ABC 的中位线，BC2DE，点 D 坐标为(4，3)，OD22345，Rt ABO 中，OE12AB1242，当 O，E，D 在同一直线上时，DE 的最小值等于 ODOE3，BC 的最小值等于 1，故答案为：1【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形三条边的关系，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理的运用，解决问题的关键是掌握直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理 14、【分析】根据对称轴方程求得ab、的数量关系；根据抛物线的对称性知抛物线与 x 轴的另一个交点的横坐标是 3；利用两点间线段最短来求PAB 周长的最小值 【详解】根据图象知，对称轴是直线12bxa，则2ba，即20ab，故正确；根据图象知，点 A的坐标是10，对称轴是1x，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是30，所以3x 是230axbx的一个根，故正确；如图所示，点A关于1x 对称的点是A，即抛物线与x轴的另一个交点 连接BA与直线 x=1 的交点即为点P，此时PAB的周长最小，则PAB周长的最小值是BAAB的长度 0330BA，22333 2BA，221310AB，PAB周长的最小值是3 210，故正确 综上所述，正确的结论是：故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间直线最短解答该题时，充分利用了抛物线的对称性 15、1:1【分析】根据BAC=90，可得BAD+CAD=90，再根据垂直的定义得到ADB=CDA=90，利用三角形的内角和定理可得B+BAD=90，根据同角的余角相等得到B=CAD，利用两对对应角相等两三角形相似得到ABDCAD，由 tanB=tan60=3ADBD，再根据相似三角形的面积比等于相似比（对应边的之比）的平方即可求出结果【详解】：BAC=90，BAD+CAD=90，又ADBC，ADB=CDA=90，B+BAD=90，B=CAD，又ADB=CDA=90，ABDCAD，2ABDCADSABSAC,B=60，33ABAC，213ABDCADSABSAC 故答案为 1：1【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似比即为对应边之比，周长比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解决问题的关键 16、6 2【分析】过点E作EGx轴于G，设点E的坐标为（12,xx），根据正方形的性质和“一线三等角”证出CEGFCO，可得 EG=CO=12x，CG=FO=OGOC=12xx，然后利用等角的余角相等，可得BAF=FCO，先求出 tanBAF，即可求出 tanFCO，即可求出 x 的值，从而求出 OF 和 OC，根据勾股定理和正方形的性质即可求出 CF、BF、AB、AF，从而求出 OA.【详解】解：过点 E 作 EGx 轴于 G，如下图所示 反比例函数12yx的图象过点E，设点 E 的坐标为（12,xx）OG=x，EG=12x 四边形 ABCD 是正方形，AB=BC=CD，ABC=BCD=90 点 E、F 分别是 CD、BC 的中点 EC=12CD=12BC=CF CEGECG=90，FCOECG=90，CEG=FCO 在CEG 和FCO 中 90CEGFCOCGEFOCECCF CEGFCO EG=CO=12x，CG=FO=OGOC=12xx BAFAFB=90，FCOCOF=90，AFB=COF BAF=FCO 在 RtBAF 中，tanBAF=1122BCBFABAB tanFCO=tanBAF=12 在 RtFCO中，tanFCO=121122xOFxOCx 解得：3 2x 则 OF=123 23 2=2，OC=122 23 2 根据勾股定理可得：CF=2210OFOC BF=CF=10，AB=BC=2 CF=2 10，根据勾股定理可得：AF=225 2ABBF OA=OFAF=6 2 故答案为：6 2.【点睛】此题考查的是反比例函数、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握利用反比例函数解析式设图象上点坐标、作辅助线构造全等三角形和等角的锐角三角函数相等是解决此题的关键.17、3或247【分析】依据沿过点 D 的直线折叠，使直角顶点 C落在斜边 AB 上的点 E 处，当BDE 是直角三角形时，分两种情况讨论：DEB=90或BDE=90，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到 CD 的长【详解】分两种情况：若90DEB，则90AEDC，CDED，连接AD，则()Rt ACDRt AEAD HL，6AEAC，1064BE，设CDDEx，则8BDx，Rt BDE中，222DEBEBD 2224(8)xx，解得3x，3CD；若90BDE，则90CDEDEFC ，CDDE，四边形CDEF是正方形，90AFEEDB，AEFB，AEFEBD，AFEFEDBD，设CDx，则EFDFx，6AFx，8BDx，68xxxx，解得247x，247CD，综上所述，CD的长为3或247，故答案为3或247【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形 18、300【解析】试题分析：首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可底面圆的面积为 100，底面圆的半径为 10，扇形的弧长等于圆的周长为 20，设扇形的母线长为 r，则120180r=20，解得：母线长为 30，扇形的面积为 rl=1030=300 考点：（1）、圆锥的计算；（2）、扇形面积的计算 三、解答题（共 78 分）19、（1）图见解析；（2）图见解析；（3）(5,3)P，AP 所扫过的面积为9【分析】（1）先根据点 A和1A的坐标得出平移方式，再根据点坐标的平移变换规律得出点11,B C的坐标，然后顺次连接点111,A B C即可得；（2）先根据旋转的性质得出点22,A B的坐标，再顺次连接点221,A B C即可得；（3）求出1CC的中点坐标即为点 P 的坐标，再利用两点之间的距离公式可得 AP的值，然后利用圆的面积公式即可得扫过的面积【详解】（1）)6(2,A平移后得到点1(6,6)A，ABC的平移方式是向右平移4个单位长度，(0,4),(3,3)BC，11(04,4),(34,3)BC，即11(4,4),(7,3)BC，如图，先在平面直角坐标系中，描出点111,A B C，再顺次连接即可得到111A B C；（2）设点2A的坐标为2(,)A a b，由题意得：点1C是12A A的中点，则672632ab，解得80ab，即2(8,0)A，同理可得：2(10,2)B，如图，先在平面直角坐标系中，描出点22,A B，再顺次连接点221,A B C即可得到221A B C；（3）设点 P 的坐标为(,)P m n，由题意得：点 P 是1CC的中点，则37523332mn，即(5,3)P，22(52)(36)3 2AP，ABC绕点(5,3)P旋转180得到221A B C，AP所扫过的图形是以点 P 为圆心、AP 长为半径的半圆，AP所扫过的面积为213 292 【点睛】本题考查了图形的平移与旋转、点坐标的平移变换规律、圆的面积公式等知识点，熟练掌握点坐标的变换规律是解题关键 20、（1）y=212455xx+20(0 x10)；（2）能，理由见解析【分析】（1）利用待定系数法假设函数的解析式，代入方程的点分别求出a、b、c 的值，即可求出当010 x时，注意力指标数y与时间x的函数关系式（2）根据函数解析式，我们可以求出学生在这这道题时，注意力的指标数都不低于 1 时 x 的值，然后和 24 进行比较，即可得到结论【详解】（1）设010 x 时的抛物线为2yaxbxc 由图象知抛物线过(0，20)，(5，39)，(10，48)三点，所以20255391001048cabcabc 解得1524520abc 所以212520 01054yxxx （2）由图象知，当2040 x 时，7765yx 当010 x 时，令36y，2125362055xx 解得：12420 xx，(舍去)当2040 x 时，令36y，得736765x ，解得：20042877x 因为44284242477，所以老师可以通过适当的安排，在学生的注意力指标数不低于 1 时，讲授完这道数学综合题【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解函数解析式是解题的关键 21、（1）顶点 P的坐标为2,2a；（2）6个；112a，112a 【分析】（1）由抛物线解析式直接可求；（2）由已知可知 A（0，2），C（2+2，-2），画出函数图象，观察图象可得；分两种情况求：当 a0 时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，抛物线定点经过（2，-1）时，a=12，则12a1；当 a0 时，抛物线定点经过（2，2）时，a=-1，抛物线定点经过（2，1）时，a=-12，则-1a-12【详解】解：（1）y=ax2-4ax+2a=a（x-2）2-2a，顶点为（2，-2a）；（2）如图，a=2，y=2x2-8x+2，y=-2，A（0，2），C（2+2，-2），有 6 个整数点；当 a0 时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，抛物线定点经过（2，-1）时，12a；112a 当0a 时，抛物线顶点经过点（2，2）时，1a；抛物线顶点经过点（2，1）时，12a ；112a 综上所述：112a，112a 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键 22、（1）见解析；（2）抛物线的解析式为 y12x2+12x+1【分析】（1）分别作出 A，B，C的对应点 A，B，C即可（2）设抛物线的解析式为 ya（x+2）（x1），把 B（0，1）代入求出 a即可【详解】解：（1）如图ABC即为所求A（0，2），B（1，0），C（1，4）（2）设抛物线的解析式为 ya（x+2）（x1），把 B（0，1）代入得到 a12，抛物线的解析式为 y12x2+12x+1【点睛】本题考查的知识点是求抛物线解析式以及图形的旋转变换，根据旋转的性质得出 A，B，C的坐标是解此题的关键 23、（1）见解析；（2）916【分析】（1）用列表法或画出树状图分析数据、列出可能的情况即可（2）A、B、D 既是轴对称图形，也是中心对称图形，C 是轴对称图形，不是中心对称图形列举出所有情况，让两次摸牌的牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】（1）列表如下：A B C D A（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）（2）从表中可以得到，两次摸牌所有可能出现的结果共有 16 种，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 9 种 故所求概率是916 考点：1列表法与树状图法；2轴对称图形；3中心对称图形 24、（1）直三棱柱；（2）248 3 【解析】试题分析：（1）有 2 个视图的轮廓是长方形，那么这个几何体为棱柱，另一个视图是三角形，那么该几何体为三棱柱；（2）根据正三角形一边上的高可得正三角形的边长，表面积=侧面积+2 个底面积=底面周长高+2 个底面积 试题解析：（1）符合这个零件的几何体是直三棱柱；（2）如图，ABC 是正三角形，CDAB，CD=23，12ADAC，在 RtADC中，222ACADCD，22212 32ACAC（）（），解得 AC=4，S表面积=423+212423=(24+83)（cm2）.25、（1）0 4A，、31C，（2）见解析（3）3 22【解析】试题分析：（1）根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；（2）根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；（3）点 A 所经过的路程是以点 C 为圆心，AC 长为半径的扇形的弧长 试题解析：（1）A（0,4）C（3,1）（2）如图所示：（3）根据勾股定理可得：AC=32，则903 23 21801802n rl 考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式 26、（1）证明见解析（2）（3）1213【分析】（1）连接半径OD，根据已知条件结合圆的基本性质可推出90PDBBDO，即90PDO，即可得证结论；（2）设Ax，根据已知条件列出关于x的方程、解方程即可得到圆心角60DOB，再求得半径，然后利用弧长公式即可得解；（3）由2tan3A，设2BDx，然后根据已知条件利用圆的一些性质、勾股定理以及三角形的不同求法分别表示出132OMx、6 1313DFx，再利用平行线的判定以及相似三角形的判定和性质即可求得结论【详解】解：（1）连结OD，如图：AB是O的直径 90ADB 90 AABD OAOBOD BDOABD APDB 90PDBBDO 90PDO D在圆上 PD是O的切线（2）设Ax DADP APx 2DBAPBDPxxx 在ABD中，90AABD 290 xx 30 x 60DOB 6AB 132OAOBAB 603180BDl 3连结OM，过D作 DFAB于点F，如图：点M是AB的中点 OMAB 设2BDx 3ADx 132ABxOM 132OMx 在Rt ABD中，32132222ABDAD BDAB DFxxx DFS 6 1313DFx OMAB，DFAB/OM DF OMNFDN 6 13121313132xDNDFMNMOx 故答案是：（1）证明见解析（2）（3）1213【点睛】本题考查了圆的相关性质、切线的判定、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形的相关性质、锐角三角函数、三角形的外角性质以及弧长的计算公式等，综合性较强，但难度不大属中档题型