上海市杨浦区2021届高三上学期一模(期末)数学试题.docx

杨浦区 2020 学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.一 填空题(本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分)考生应在答题纸的相应位置填写结果.1. 已知全集 = R ，集合 = (-¥,2) ，则集合_UAAU2，+ ¥)直接利用补集的定义求解即可= (-¥,2)解：因为全集 = ，集合R，UA所以，A 2，+ ¥)U故答案为： 2，+ ¥)此题考查集合的补集运算，属于基础题2. 设复数 z =1- 2i，( 是虚数单位)，则| |=_.zi5由复数的模的计算公式即可求出1- 2i，解：因为复数 =z所以| | 1 ( 2) 5 z = + - =22故答案为： 5 2x + y = 4ìí3x - ay = 8î3. 若关于 x, y 的方程组无解，则实数 =_.a3-22x + y - 4 = 0由题意可得直线值和直线3 - -8 = 0 平行，再利用两条直线平行的性质，求出 的x ay a2x + y = 4ìí3x - ay = 8î详解】若关于 x ， y 的方程组无解，2x + y - 4 = 0则直线和直线3 - -8 = 0 平行，x ay1 33 -a -8故有，求得 = - ，a=¹221-43故答案为： -24. 已知球的半径是2 ，则球体积为_.323根据球的体积公式直接计算得结果.432由于球的半径为2 ，故体积为 ´23 =.33本小题主要考查球的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题.: 2x + my +1= 0l y:2= 3 -1垂直，则实数m= _.5. 若直线l与x16.根据两直线垂直的充要条件，即 x ， y 项对应系数之积的和等于 0，解方程求得 m 的值: 2x + my +1= 0与l y = x - 垂直，l 可化为 - -1 = 0 ，:3 1x y3直线l1222´3+ m´(-1) = 0故答案为：6，解得 = ，6m本题考查两直线垂直的充要条件，考查方程思想和运算求解能力，属于基础题p p,p5æö÷øæö÷øasin a6. 已知 asin = -， Î -，则+= _.çç2 225èè2 55利用同角三角函数基本关系求cosa ，再利用诱导公式即可求解p p,5æö÷øa因为sina = -， Î -，ç2 25èpæöa,0 ，可得cos> 0所以 Î -aç÷2èøæçèö252 55所以cosa = 1-sin a = 1- -，=ç÷2÷5øp2 55æö÷øsin a += cosa =，ç2è2 5故答案为：.52 2æçèön7. 已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为，则展开式中的常数项为256x +÷x ø_（结果用数值表示）.11202æön由 +的二项展开式的所有二项式系数的和为 2 256 可求得 的值，进而可写出该二项=xnçè÷nx ø展开式的通项，令 的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可求得结果.x2æön由于 +的二项展开式的所有二项式系数的和为 2 256 ，解得 = 8.=nxçè÷nx ø22æ öæçèö8k+的展开式通项为T = C × x ×= C ×2 × x ，x8-k ç ÷8-2k÷k8k8kx øk+1è x ø令8- 2k = 0k = 4.，解得2æö÷ø8的展开式中的常数项为 = ×T C2 = 70´16 =1120 .因此， +x484çè5x故答案为：1120.结论点睛：在求解有关二项展开式中二项式系数和与各项系数和，可利用以下结论求解：( )（1）各二项系数之和： + 的展开式中各项的二项式系数之和为 2a bn，且二项展开式中奇数n项和偶数项的二项式系数之和相等，都为 2 ；n-1（2）各项系数和：在二项展开式中令变量均为 ，得到二项式的值为二项展开式各项系数之和.18.是偶函数，当 ³ 0时， f (x) = 2 -1 ，则不等式 ( ) >1的解集为_.x x f xf (x)(-¥,-1)È (1,+ ¥)根据条件可得出，当 ³ 时，由0( ) 1> 得出 > ，然后根据 f (x) 是偶函数即可得出不等式x1xf xf (x) >1的解集解：当 ³ 时，由0( ) 1> ，得 2 2 ，解得 >1.xf x>xx( )因为 f x 为偶函数，所以 ( ) >1的解集为f x(-¥,-1)È (1,+ ¥) .故答案为：(-¥,-1)È (1,+ ¥)( )9. 方程1+ log = logx-3 的解为_.x222x = 33 根据对数的运算及性质可得：3 2 ，结合真数位置大于 即可求解.x - = x02( )( )2( )1+ log x = log x -3log 2x = log x -3由可得，22222( )( )-3 x +1 = 0所以3 2 ，即 xx - = x，2解得： = 或3= -1，xx因为 > 0且3 0 ，所以 = ，3x2 - >xx( )1+ log x = log x -3x= 3所以方程的解为：222故答案为： =3.x10. 平面直角坐标系中，满足到 (-1,0) 的距离比到 (1,0) 的距离大 的点的轨迹为曲线F1F2T ，1点 P (n, y ) (其中 y > ，0)是曲线 上的点，原点 到直线OP F 的距离为 ，则dnÎN*T2nnnnnlim d = _.nn®¥32分析】由双曲线定义可知 的轨迹方程，求得渐近线方程，得到直线P F 的方程，再由点到直线的距Tn2离公式求解设曲线 上的点为 ，由题意，| PF | - | PF |=1<| F F |，TP1212(-1,0) F (1,0)则曲线 为双曲线的右支，焦点坐标为 F，T1211 32a =1， = ， =1， = - = 1- = ，acb2c2a224 44双曲线方程为4x - y =1(x ³ 0)223所以渐近线方程为 = ± 3 ，yx而点 P (n, y ) （其中 y > ， Î * 是曲线 上的点，0)n NTnnn®+¥P Fn当 n时，直线的斜率趋近于 3 ，即=3 k2P Fn2则，即 3x - y - 3 = 0 P F : y = 3(x -1)n23 limd =n=2( 3) + (-1)2n®¥24 3故答案为：2方法点睛：求动点的轨迹方程常用的方法有：（1）定义法（根据已知分析得到动点的轨迹是某一种圆锥曲线再求解）；（2）直接法；（3）相关点代入法.11. 如图所示矩形 ABCD中，= 2 ，=1，分别将边 BC 与等分成8 份，并将等分点DCAB自下而上依次记作 、 、 、 ，自左到右依次记作F 、F 、 、 ，满足 ×AE AFAD£ 2EEF7E27121ij( )1£ i, j £ 7（其中 、 Î ，j N）的有序数对 , 共有_对.i ji*18以点 为坐标原点，A、所在直线分别为 x 、 y 轴建立平面直角坐标系，易得ABADj()()æö÷øæöiE 2,iÎ N ,1£ i £ 7 ， F,1 j Î N ,1£ j £ 7 ，由 AE× AF £ 2 可得出 +i4 j £16，然后ç*çè÷*84èøijij( )列举出符合条件的有序实数对 , 即可得解.i jy所在直线分别为 x 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，以点 为坐标原点，A、AB AD()，()æçèö÷øæçèöij2,iÎ N ,1£ i £ 7F,1 j Î N ,1£ j £ 7，易知点 E*÷*84øijæöæçèö÷øijj ii + 4 j £16= + £ ，可得 ，则 AE = 2, ， AF =,1，所以， ×AE AF2ç÷842 8èøijij5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1,11,21,32,12,22,33,1、 、 3,2 、所以符合条件的有序数对 , 有：i j、( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,34,14,25,15,26,16,27,17,2、 ，、 4,3 、18 .共 对故答案为：18.方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用112. 已知函数 = ( ) 在定义域 上是单调函数，值域为(-¥,0) ，满足 (-1) = - ，且对于任y f xfR3意 , Î ，都有 ( + ) = - ( ) ( ) . =(x)的反函数为 =x( ) ，若将 = ( ) 其中常数(x y R f x yf x f y y fy f -1y kf xk > 0)的反函数的图像向上平移 1 个单位，将得到函数 y = f x( ) 的图像，则实数 k 的值为-1_.3由题意设1根据 (-1) = - ，解得 ，在求解 = ( )的反函数，向上平移 1 个单位，f (x) = -axfay kf x3可得 =y f xk( ) ，即可求解实数 的值；-1解：由题意，设，f (x) = y = -ax1根据，解得= 3，f(-1) = -a3， f (x) = y = -3x(y < 0)那么 x = log (-y) ，3yx 与 互换，可得( < 0)， x，f-1(x) = log (-x)3则，y = kf (x) = -k ×3xy那么 x = log ( ) ，-k3xxyx 与 互换，可得1y = log -( ) ，向上平移 个单位，可得( ) 1，y = log - +3k3k3x即log (-x) = log (- ) ，33k故得 = 3，k故答案为：3二 选择题 本题共有 题，满分 分，每题 分 每题有且只有一个正确选项，考生应在答题20(45 )6 纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 设 a > b > 0 ， ¹ 0 ，则下列不等式中，恒成立的是（）c1 1c cD. <a bA. >B.C.>ac bcac bc>22a bB利用不等式的基本性质可判断各选项的正误.1 1， 选项错误；> > 0 Ab aab对于 A 选项，所以， >> ，所以，0a > b > 0ab ab对于 B 选项， ¹ 0，则 > 0 ，由不等式的基本性质可得，B 选项正确；ac bc2c22>c对于 C 选项，若 < 0 ，由不等式的基本性质可得 < ，C 选项错误；ac bcc1 1c c对于 D 选项，若 < 0 ，由 A 选项可知， > > 0，由不等式的基本性质可得 > ，D 选项cb aa b错误.故选：D.14. 下列函数中，值域为(0 , +¥)的是（）2A. y x2B. =C. y = 2xD. =log xyy2xC由题意利用基本初等函数的值域，得出结论解： 函数 的值域为0 ， +¥) ，故排除 ；y x2A2函数 = 的值域为y | y ¹ 0，故排除 ；Byx函数 = 2 的值域为(0, +¥)，故 满足条件；Cyx函数 y =| log x |的值域为0 ， +¥) ，故排除 ，D2故选： C15. 从正方体的 8 个顶点中选取 4 个作为顶点，可得到四面体的个数为（）A.-12B.C.D.CC 48-8- 6- 448C48C48A从正方体的 8 个顶点中选取 4 个顶点有 种，去掉四点共面的情况即可求解.C48从正方体的 8 个顶点中选取 4 个顶点有 种，C48正方体表面四点共面不能构成四面体有 种，67 .正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有 种，6所以可得到的四面体的个数为 - 6 - 6 =-12 种，C48C48故选：A关键点点睛：本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键.16. 设集合(其中常数> 0, a ¹1)，(其中常数 Î Q )，则= | = , Î y y x x A kA =y | y = a , x > 0Baxk“ < ”是“0= Æ”的（A B）kA 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件A讨论 的取值范围，求出集合 ，进而求出集合 ，再根据充分条件、必要条件即可求解.aAB( )当时， = | = , > 0= 1,+¥ ，y y a xa >1Ax( )若 < ，则 = | = , Î = 0,1 ，0kBy y x x Ak此时= Æ，A B( )当0 < a <1时，A = y | y = a , x > 0= 0,1x( )若 < ，则 = | = , Î = 1,+¥ ，0kBy y x x Ak此时= Æ，A B故“ < ”是“0= Æ”的充分条件；= Æ，kA B当a >1时，若A BB =y | y = x , xÎ A，可得 k£ 0 ，k( )= 0,1，若当0 < a <1时， A= Æ ，A B，可得 £ 0 ，B =y | y = x , xÎ Akk所以“ < ”不是“0= Æ ”的必要条件，kA B= Æ”的充分非必要条件.A B所以“ < ”是“0k故选：A三 解答题(本大题共有 5 题，满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.8 17. 如图所示，在直三棱柱 ABC - A B C 中，底面是等腰直角三角形，ÐACB = 90，111CA = CB = CC = 2 .点D，D分别是棱AC，AC 的中点.1111（1）求证： D、B、B、D 四点共面；11（2）求直线BC与平面DBB D1所成角的大小.1110（1）证明见解析；（2）arcsin.10（1）由已知证明DD /BB1可得答案；1（2）作C F B D，证明直线C F 平面DBB D1，ÐC BF即为直线BC与平面DBB D1所成11111111C BF中可求得答案.的角，在直角（1）证明： 点CC /BB DD /BB1D，DAC，ACDD / CC1分别是棱的中点，11111111 D、B、B、D 四点共面.11（2）作C F B D，垂足为 F1119 BB 平面 A B C ，C F Ì 平面 A B C ，11111111直线 直线BBC F11C F 直线 B D 且 BB 与 B D 相交于B1111111直线 平面DBB DC F111 ÐC BF与平面 DBB D 所成的角.即为直线BC1111=1，C B = 2= 5，在直角 C D B 中，C D1，所以B D111111 112 5×C B = D B ×C F由面积C D1可得，C F =111111512 510在直角 C BF 中，= 2 2 ，sinÐBC1=C F1C BF1151010直线 BC 与平面 DBB D 所成的角为.arcsin11110对于线面角的求法的步骤作：作（或找）出斜线在平面上的射影，证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算.18. 设常数 Î ，k R， Î .f x k x( ) = cos2 + 3 sin cos x Rxx（1）若 ( ) 是奇函数，求实数 的值；f xk（2）设 = ，1 ABC中，内角 A B C 的对边分别为, , , .a b c( ) = 1若 f A，7 ，b = 3，求ABCk=a的面积 .S3 3 3 3（1） = 0；（2）或.k42（1）由 f (0) = 0，知= 0，再对 = 0进行检验，即可；kkp（2）结合二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，可推出 = ，再由余弦定理A31求出 的值，最后根据 = bcsin A，即可得解cS2( )0 = k = 0（1）解：由题意 f检验： ( )f x =x x3sin cos对任意 Î 都有x R( ) ( )f (-x) = 3sin -x cos -x = - 3sin xcos x= - f (x) ( )f x是奇函数10 = 0.k1+ cos 2A31æp ö（2）解： f (A) = cos2 A + 3sin Acos A =+sin 2A = sin 2A + =1，整理得ç÷2262èø12æö÷øsin 2A+=，ç6è是三角形的内角A 5所以 2 + =A6 6A =3b + c - a1 9 + c2 - 7，即 =222由余弦定理cos A =2bc26cc1 c = 2整理得2 - + =c3 2 0 ，解得 = 或c13 33 32sin A =，或.S = bc24 19. 某校运会上无人机飞行表演，在水平距离 Î10,24 (单位：米)内的飞行轨迹如图所示，yx Î 10,20表示飞行高度(单位：米).其中当 x时，轨迹为开口向上的抛物线的一段(端点为M Q、 )， ( )M 10,24( )N 24,24( )P 14,8 .，最低点Î 20,24QN当 x时，轨迹为线段，经测量，起点，终点（1）求 关于 的函数解析式；yx( )0,24（2）在 A到0.1°)处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角 的最小值.(精确q11 ( ) xï -14 +8, Î 10, 20ì2x（1） y =；（2）最小为94.4°.í-5x +144, xÎ(20, 24ïî Î 10,20( )Q 20,44+ ，代入可求，从而求出 ，求出直线( )（1） x时，设解析式为 =y a x-1482的斜率即可求解.bb（2）根据题意，连接 A ，仰角为 ，俯角为 ，求出 、 的最小值即可求解, Naa. Î 10,20解：（1） x时( )( )(10,24代入可得 24 = 10 -14 +8a)设： =y a x-142+8 ， M2( )， = -14 +8y x解得2a =1 ( ) ( )xÎ 20,24 时， Q 20,44 ， N 24,24 ，44 - 245x +144所以k= -5 ， = -y20 - 24QN( ) xï -14 +8, Î 10, 20ì2x y =í-5x +144, xÎ(20, 24ïîba（2）如图，设仰角为 ，俯角为( ) ( )Q 20,44 , A 0,24a45仰角 最小为 °， Î 10,2024 -ytan b =，又 xx12 ()24 - x2 - 28x + 204=x180æö= 28 - x +£ 28 -12 5ç÷èx ø( )arctan -12 5 + 28 » 49.4°俯角 b 最小为最小为94.4°qx2220. 设 , 分别是椭圆A A2的左 右顶点，点 为椭圆的上顶点.+ =1( >1)BG:ya12a（1）若，求椭圆G 的方程；®®A B× A B = -412（2）设a = 2 ，F 是椭圆的右焦点，点 是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点MQF Q22y.在 轴上，求F BQ 的面积2（3）设 = 3，点 是直线 = 上的动点，点 和 是椭圆上异于左右顶点的两点，且 ，6axCCDDP分别在直线和PA PA2上，求证：直线CD恒过一定点.12x2（1） + y =1；（2）1-；（3）证明见解析.254（1）计算得，代入解方程即可得 ，故可得椭圆G 的方程；®®®A B1× A B = -4®aA B = (a,1) A B = (-a,1)122（2）设另一焦点为 F ，则 x 轴，计算出点 坐标，计算即可；FQ1Q= S+ SS1F BQBF MBQM22x2m（3）设点 的坐标为(6, ) ，直线：y = (x + 3) ，与椭圆方程 + y =1联立，由韦达定理PmPA2919æ -3m2 + 27 6mö÷øæ 3m2 - 3 -2 öm计算得出,，同理可得,，分 = x ，两种情况表示¹ xxCC çDç÷xC9 + m29 + m21+ m21+ m2èèøDD出直线CD方程，从而确定出定点.13 （1）(-a,0), A (a,0)， (0,1)A1B2，1= -4，解得®®®®a2 = 5A B = (a,1)A B = (-a,1)× A B = -a +A B12122x2即椭圆 的方程为 + =1.Gy25( )F -1,0，x2（2）椭圆的方程为，由题意F(1,0)2，设另一焦点为+ y =1212设 ( , ) ，由线段的中点在 轴上，得y x 轴，所以 x = -1，F Q2FQ1Q x yQQQæçè2 ö2代入椭圆方程得，即 -1,Qçy =Q÷÷22ø1 æ2 ö2÷ × 2 =1-；S= S+ S= ç1-ç÷244F BQBF MBQMèø22（3）证明：由题意(-3,0), A (3,0)，设点 的坐标为(6, ) ，A1Pm2x2m直线：，与椭圆方程 + =1联立PA= ( + 3)yxy2919消去 y 得：(9 + m )x + 6m x + 9m -81= 022223m + 27æ -3m2 + 27 6mö÷ø-2由韦达定理得即C ç,；x =C9 + m29 + m29 + m2èæ 3m2 - 3 -2 öm同理,；Dç÷1+ m21+ m2èø27 - 3m2 3m - 32当 x = x ，即即3 时，m2 =9 + m2m +12CD3直线CD的方程为 = ；x2-2m4mæç xè3m - 3ö2当 x ¹ x 时，直线CD： -=-y÷1+ m2 3(3- m )1+ m22øCD4m33ææçèöö化简得 =x- ，恒过点 , 0 ；y÷ç÷3(3- m2)22èøø3æö综上所述，直线CD恒过点 , 0 .ç÷2èø关键点睛：解决第（3）的关键是能够运用韦达定理表示出C, D 点的坐标，从而表示出直线，CD并能通过运算整理成关于 的方程，从而确定出定点，考查学生的运算求解能力，有一定的难m度.14 21. 设数列 与 满足： 的各项均为正数，.abnaa n N= cos , Îbn*nnn3（1）设 a = , a = ，若b 是无穷等比数列，求数列b 的通项公式；4323nn（2）设0 < a £ .求证：不存在递减的数列a ，使得b 是无穷等比数列；21nn（3）当1£ n £ 2m +1时，b 为公差不为 0 的等差数列且其前m2 +1的和为 0；若对任意满足条n件0 < £ 6 (1£ £ 2 +1)的数列a ，其前m2 +1项的和 S 均不超过100 ，求正整数 的anmmnn2m+1最大值.æön-12（1）b = -；（2）证明见解析；（3）最大值为 8.ç÷ç÷2nèø（1）运用等比数列的中项性质，解方程可得公比q ，所求通项公式；（2）运用反证法证明，结合数列的单调性和余弦函数的值域，可得矛盾，即可得证；（3）运用等差数列的等差中项的性质和求和公式，解不等式可得所求最大值 1232（1）解：，b = cos = ，公比为 = -b = cos= -q2423 223由 = × 解得b =1，b bb22113æön-12数列b 的通项公式为b = -.ç÷ç÷2nnèø（2）证明：反证法，设存在则，此时cosa > cosa > 00 < a < a <22121cosa公比 =>1q2cosa1，考虑不等式cosa = cosa ×(q)n-1cosa ×q >1n-1n11当 >1- log (cos ) 时，即 ³1+ 1- log (cos ) 时，na1na1qq有cosa >1(其中 表示不超过 的最大整数)，xxn(x) = cos x的值域为-1,1矛盾这与 f假设不成立，得证(b + b )(2m +1)（3）解：12m+1= 0，b + b= 0212m+1由等差数列性质b + bi= b + b= 0 (1£ i £ m +1, iÎN )*2m+2-i12m+115 即cosa + cosa= 0 ，特别地，b = 0 ，i2m+2-im+1现考虑 S 的最大值2m+1 为使 S 取最大值，应有 Î 5, 6 ，an2m+1否则在 S 中将 替换为 ，且¢¢acosa = cosa ， ¢aÎ 5, 6an2m+1nnnn将得到一个更大的 S2m+11111由cosa + cosa= 0 可知，特别地，；a + a= 2×=11a =m+1222m+2-i2m+2-iii11 (2m +1)×11( )于S= m×(11) +=£100p222m+1max189解得，所以 的最大值为 8.mm £22是本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，以及反证法的应用1621. 设数列 与 满足： 的各项均为正数，.abnaa n N= cos , Îbn*nnn3（1）设 a = , a = ，若b 是无穷等比数列，求数列b 的通项公式；4323nn（2）设0 < a £ .求证：不存在递减的数列a ，使得b 是无穷等比数列；21nn