用向量方法解立体几何题.pdf
精品 精品 用向量方法求空间角和距离 前言：在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角（）求异面直线所成的角 设a、b分别为异面直线 a、b 的方向向量,则两异面直线所成的角=arccos|a ba b （）求线面角 设l是斜线 l 的方向向量，n是平面的法向量，则斜线 l 与平面所成的角=arcsin|l nln （）求二面角 方法一：在内al，在内bl，其方向如图，则二面精品 精品 角l 的平面角=arccos|a ba b 方法二：设12,n n是二面角l 的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l 的平面角=1212arccos|n nnn 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求（）求点面距离 方法一：设n是平面的法向量，在内取一点 B,则 A 到的距离|cos|AB ndABn 方法二：设AO于 O,利用AO和点 O 在内 的向量表示，可确定点 O 的位置，从而求出|AO（）求异面直线的距离 方法一：找平面使b且a，则异面直线 a、b 的距离就转化为直线 a 到平面的距离，又转化为点 A 到平面的距离 a、b分别为异面直线 a、b 的方向法二：在 a 上取一点 A,在 b 上取一点 B,设向量,求n（na，nb），则异面 直 线a、b的 距 离精品 精品|cos|AB ndABn（此方法移植于点面距离的求法）例如图，在棱长为的正方体1111ABCDABC D中，E、F 分别是棱1111,AD AB的中点 （）求异面直线1DEFC与所成的角；（II）求1BC和面 EFBD 所成的角；（III）求1B到面 EFBD 的距离 解：（）记异面直线1DEFC与所成的角为，则等于向量1DEFC与的夹角或其补角，（II）如图建立空间坐标系Dxyz，(1,0,2)DE，(2,2,0)DB 则EFBD的 法 向 量 为(,1)nx y 由设面00DE nDB n 得(2,2,1)n 又1(2,0,2)BC 记1BC和面 EFBD 所成的角为 则 1112sin|cos,|2|BCnBC nBCn 1BC和面 EFBD 所成的角为4 （III）点1B到面 EFBD 的距离等于 11|111111cos|()()|222|,arccos555 5DE FCDEFCDDD EFBBCDEFC精品 精品 向量1BB在面 EFBD 的法向量上的投影的绝对值，1|BB ndn23 点评：1.作为本专题的例，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解 2.解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）3.完成这道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧 例 2如图，三棱柱中，已知 A BCD 是边长为 1 的正方形，四边形 BBAA 是矩形，。平面平面ABCDBBAA（）若AA，求直线 AB 到面DAC的距离（II）试问：当AA 的长度为多少时，二面角 ACAD的大小为？60 解：（）如图建立空间坐标系Axyz，则(1,0,)DAa (0,1,0)DC 设面DAC的法向量为1(,1)nx y 则1100DA nDC n 得1(,0,1)na 精品 精品 直线 AB 到面DAC的距离就等于点到面DAC的距离，也等于向量AD在面DAC的法向量上的投影的绝对值，11|22|AD ndn （II）易得面AAC的法向量2(1,1,0)n 向量12,n n的夹角为60 由12122121cos,2|12n nan nnna 得 1a 当AA 时，二面角ACAD的大小为60 点评：通过（），复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法 通过（II），复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况 例 3正三棱柱111ABCABC的所有棱长均为，是侧棱1AA上任意一点（）求证：直线1B P不可能与平面11ACC A垂直；（II）当11BCB P时，求二面角11CB PC的大小 证明：（）如图建立空间坐标系Oxyz，设APa 则1,A C B P的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0,1,)a 1(0,2,0),(3,1,2)ACB Pa 120AC B P ，1B P不垂直AC 直线1B P不可能与平面11ACC A垂直 精品 精品（II）1(3,1,2)BC ，由11BCB P，得110BC B P 即22(2)0a 1a 又11BCBC 11BCCB P 面 1(3,1,2)BC 是面1CB P的法向量 设面11C B P的法向量为(1,)ny z，由11100B P nBCn 得(1,3,2 3)n,设二面角11CB PC的大小为 则116cos4|BC nBCn 二面角11CB PC的大小为6arccos4 点评：前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题、轴需要自己添加（也可不这样建立）第（）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直线与这个面的法向量不平行 例 4（安徽卷）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为 1 的菱形，4ABC,OAABCD 底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点（）证明：直线MNOCD平面；（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；（）求点 B 到平面 OCD 的距离。解：作APCD于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为,x y z轴建立坐标系 22222(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,0)22244ABPDOMN,精品 精品 xyzNMABDCOP(1)22222(1,1),(0,2),(,2)44222MNOPOD 设平面 OCD 的法向量为(,)nx y z,则0,0n OPn OD 即 2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)n 22(1,1)(0,4,2)044MN n MNOCD平面(2)设AB与MD所成的角为,22(1,0,0),(,1)22ABMD 1cos,23AB MDABMD,AB与MD所成角的大小为3(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为d,则d为OB在向量(0,4,2)n 上的投影的绝对值,由(1,0,2)OB,得23OB ndn.所以点 B 到平面 OCD 的距离为23 例 5（福建理18 题）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CC1中点。（）求证：AB1面 A1BD；（）求二面角 AA1DB 的大小；（）求点 C 到平面 A1BD 的距离；解：（）取BC中点O，连结AOABC为正三角形，AOBC 在正三棱柱111ABCABC中，平面ABC 平面11BCC B，AD平面11BCC B 取11BC中点1O，以O为原点，OB，1OO，OA的方向为xyz，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(10 0)B，(110)D ，1(0 23)A，(0 03)A，1(12 0)B，1(123)AB，(210)BD ，1(123)BA ，12200AB BD ，111 430AB BA ，x z A B C D 1A 1C 1BO F y 精品 精品 1ABBD，11ABBA1AB平面1ABD（）设平面1A AD的法向量为()xyz，n(113)AD ，1(0 2 0)AA，ADn，1AAn，100ADAA，nn3020 xyzy，03yxz，令1z 得(3 01)，n为平面1A AD的一个法向量 由（）知1AB 平面1ABD，1AB为平面1ABD的法向量 cos n，11133642 2 2ABABAB nn 二面角1AADB的大小为6arccos4（）由（），1AB为平面1ABD法向量，1(2 0 0)(123)BCAB，点C到平面1ABD的距离112222 2BC ABdAB 总结：通过上面的例子，我们看到向量方法（更确切地讲，是用公式：|cosa ba b）解决空间角和距离的作用，当然，以上所举例子，用传统方法去做，也是可行的，甚至有的（例）还较为简单，用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问题带来的高度的技巧性和随机性向量法可操作性强运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体几何教学和学习中的难点，是解决立体几何问题的重要工具充分体现出新教材新思想、新方法的优越性这是继解析几何后用又一次用代数的方法研究几何形体的一块好内容，数形结合，在这里得到淋漓尽致地体现 1.计算异面直线所成角的关键是平移（补形）转化为两直线的夹角计算 精品 精品 2.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法(直线上向量与平面法向量夹角的余角)，三余弦公式(最小角定理，12coscoscos)，或先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解.注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等斜线在平面上射影为角的平分线.3.计算二面角的大小主要有：定义法(先作其平面角后计算大小)、公式法(cosSS影原)、向量法(两平面法向量的夹角)、等价转换法等等.二面角平面角的主要作法有：定义法(取点、作垂、构角)、三垂线法(两垂一连，关键是第一垂(过二面角一个面内一点，作另一个面的垂线)、垂面法.4.计算空间距离的主要方法有：定义法(先作垂线段后计算)、等积法、转换(平行换点、换面)等.5.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，模式是：线线关系线面关系面面关系，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理及其逆定理)的桥梁作用.注意：书写证明过程需规范.特别声明：证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化.在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化(构造)为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等)中问题，并获得去解决.如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.6.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等.练习：在正四面体SABC中，棱长为a，E,分别为 SA 和 BC 的中点，求异面直线 BE 和 SF所成的角（2arccos3）在边长为的菱形 ABCD 中，60ABC，将菱形沿对角线AC 折DACBP精品 精品 起，使 折起后 BD，求二面角BACD的余弦值（13）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD 底面，且PDADa，问平面PBA与平面PBC能否垂直？试说明理由（不垂直）在直三棱柱111ABCABC中，90A，1,O O G 分别为111,BC BC AA的中点，且12ABACAA（）求1O到面11ACB的距离；（22）（）求BC到面11GBC的距离（2 63）.如图，在几何体ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC 900，BE和CD都垂直于平面ABC，且BEAB2，CD1，点F是AE的中点.（）求证：DF平面ABC；（）求AB与平面BDF所成角的大小.（arcsin23）A C D B E F
