黑龙江省大兴安岭市漠河县一中2020学年高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何的向量方法学案新人教.pdf
2。5.1 平面几何的向量方法 一、三维目标：知识与技能：能用向量方法解决某些简单的平面几何问题了解向量是一种处理几何问的工具.过程与方法：通过具体例子，体会利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题的方法的步骤。情感态度与价值观:培养学生自主学习，合作探究，勇于创新,多方位审视问题的方法和技巧。二、学习重、难点:重点：能用向量方法解决某些简单的平面几何问题。难点：建立平面几何与向量的联系，灵活利用向量的线性运算及数量积运算求解。三、学法指导：向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接化为向量，对这些向量借助它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果。四、知识链接:1 向量求和的法则：三角形法则 平行四边形法则 2 向量减法的法则：3 向量共线定理：A B C O A B C D 五、学习过程：问 题1。平 行 四 边 形 是 表 示 向 量 加 法 与 减 法 的 几 何 模 型。如 图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长 度之间的关系吗?例1、证明：平行四边形四边平方和等于两对角线平方和.规律总结：（1）合理地选择基底是解决好问题的第一步，虽然任意两个不共线的向量都可以作基底，但选择恰当与否直接关系到解题过程的简单与复杂（2）几何问题用向量法解决体现出了较强的优势，有关线段的长度、平行、夹角等问题都可以考虑向量法 练习：用向量法证明直径所对的圆周角是直角 如图所示，已知O，AB 为直径，C 为O 上任意一点。求证ACB=90 ,DBABADACABADF A B C D E R T 问题 2。你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？用向量方法解决平面几何问题的“三步曲：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算,研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。简述：形到向量-向量的运算-向量和数到形 例 2。如图，ABCD 中，点 E、F 分别是 AD、DC 边的中点,BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点,你能发现 AR、RT、TC 之间的关系吗？六、达标检测：1.平行四边形ABCD中，已知AD1,AB2,对角线BD2,求对角线AC的长 2.以ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，M为BC的中点,求证：AMEF。3。如右图,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点，点N在BD上，且BN1/3 BD，求证:M、N、C三点共线 七、学习小结：八、课后反思：2。5。1 平面几何的向量方法的答案 例 1、已知:平行四边形 ABCD，求证：222222ABBCCDDAACBD.分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设,ABa ADb其它线段对应向量用它们表示。解：设,ABa ADb，,;BCb DAa ACab DBab 2222222()ABBCCDDAab 2222ACBDabab 222222222222aabbaabbabab 222222ABBCCDDAACBD 练习:分析：要证ACB=90,只须证向量ACCB,即0AC CB.解：设,AOa OCb则,ACab CBab,由此可得：AC CBabab2222abab220rr 即0AC CB，ACB=90。例 2、解：设,ABa ADb ARr则ACab 由于AR与AC共线，故设(),rn abnR 又因为EREB与共线，所以设12()ERmEBm ab 因为ARAEER所以1122()rbm ab 1122()()n abbm ab因此 102()()mnm anb即,a b由于向量不共线，1解得：n=m=3,111333,ARACTCACRTAC所以同理于是 故 AT=RT=TC。达标检测：1、解:设错误!a，错误!b,则错误!ab，错误!ab。而|错误!2，即ab|2，（ab)24，a22abb24。又a21，b24，2ab1。又错误!2|ab2a22abb26,错误!|错误!，即AC错误!。2、解：如下图,设错误!a,错误!b，错误!c，错误!d。则错误!错误!（ab）。错误!cd，因为 ac0，bd0，a|c,|b|d。错误!错误!错误!(ab)(cd）错误!(bcad）而adad|cosEAB，bcb|c|cosFAC，EABFAC。错误!错误!0，即错误!错误!，AMEF。3、分析：本题主要考查向量的线性运算及用向量法证明多点共线问题，欲证 M、N、C 三点共线，只需证明错误!错误!即可 证明：错误!错误!错误!，错误!错误!错误!,错误!错误!错误!错误!（错误!错误!），错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!，错误!错误!错误!错误!错误!错误!，由、可知错误!3错误!，即错误!错误!，又MC、MN有公共点M，M、N、C三点共线 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.
