2017年新课标全国卷3高考理科数学试题及答案.pdf

.绝密启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=22(,)1x yxy，B=(,)x yyx，则 AB 中元素的个数为 A3 B2 C1 D0 2设复数 z 满足(1+i)z=2i，则z=A12 B22 C2 D2 3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图 根据该折线图，下列结论错误的是 A月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳.4(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为 A-80 B-40 C40 D80 5已知双曲线 C：22221xyab(a0,b0)的一条渐近线方程为52yx,且与椭圆221123xy有公共焦点，则 C 的方程为 A221810 xy B22145xy C22154xy D22143xy 6设函数 f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是 Af(x)的一个周期为2 By=f(x)的图像关于直线 x=83对称 Cf(x+)的一个零点为 x=6 Df(x)在(2,)单调递减 7执行下面的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为 A5 B4 C3 D2 8已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A B34 C2 D4 9等差数列 na的首项为 1，公差不为 0若 a2，a3，a6成等比数列，则 na前 6 项的和为 A-24 B-3 C3 D8.10已知椭圆 C：22221xyab，（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则 C 的离心率为 A63 B33 C23 D13 11已知函数211()2()xxf xxxa ee 有唯一零点，则 a=A12 B13 C12 D1 12 在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上 若AP=AB+AD，则+的最大值为 A3 B22 C5 D2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若x，y满足约束条件y0200 xxyy，则z34xy的最小值为_ 14设等比数列 na满足 a1+a2=1,a1 a3=3，则 a4=_ 15设函数10()20 xxxf xx，则满足1()()12f xf x的 x 的取值范围是_。16a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60；其中正确的是_。（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+3cosA=0，a=27,b=2（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且AD AC,求ABD 的面积 18（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19（12 分）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD （1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值 20（12 分）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2,0）的直线 l 交 C 与 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P（4，-2），求直线 l 与圆 M 的方程 21（12 分）已知函数()f x=x1alnx（1）若()0f x ，求 a 的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，21111+1+)222n()(1)(m，求 m 的最小值（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为2+,xtykt（t 为参数），直线 l2的参数方程为2,xmmmyk （为参数）设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：(cos+sin)-2=0，M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径 23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数 f（x）=x+1x2（1）求不等式 f（x）1 的解集；（2）若不等式 f（x）x2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围 .绝密启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题正式答案 一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A 二、填空题 13.-1 14.-8 15.1（-，+）4 16.三、解答题 17.解：（1）由已知得 tanA=23，所以 A=3 在 ABC 中，由余弦定理得 .2222844 cos+2-24=03c6ccccc，即解得（舍去），=4（2）有题设可得=，所以26CADBADBACCAD 故ABD 面积与ACD 面积的比值为1sin26112AB ADAC AD 又ABC 的面积为142 sin23，所以的面积为3.2BACABD 18.解：（1）由题意知，X所有的可能取值为 200,300,500，由表格数据知 2162000.290P X 363000.490P X 25745000.490P X.因此X的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n 当300500n时，若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n 若最高气温位于区间20，,25，则Y=6300+2（n-300）-4n=1200-2n;若最高气温低于20，则Y=6200+2（n-200）-4n=800-2n;因此EY=2n0.4+（1200-2n）0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n 当200300n 时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20，则Y=6200+2（n-200）-4n=800-2n;因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n 所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。19.解：.（1）由题设可得，,ABDCBDADDC 从而 又ACD是直角三角形，所以0=90ACD 取AC的中点O，连接DO,BO,则DOAC,DO=AO 又由于ABCBOAC是正三角形，故 所以DOBDACB为二面角的平面角 2222222220,Rt AOBBOAOABABBDBODOBOAOABBDACDABC在中，又所以，故 DOB=90所以平面平面（2）由题设及（1）知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，则(1，0，0),(0，3，0),(1，0，0),(0，0，1)ABCD 由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的12，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的12，即 E 为 DB 的中点，得 E310，22.故 311，0，1，2，0，0，1，22ADACAE 设=x,y,zn是平面 DAE 的法向量，则00，即3100，22xzADxyzAE nn 可取3113=,n.设m是平面 AEC 的法向量，则0，0，ACAEmm同理可得0 1 3,m 则77cos,n mn mn m 所以二面角 D-AE-C 的余弦值为77 20.解（1）设11222A x,y,B x,y,l:xmy 由222xmyyx可得21 224 0 则4ymy,y y 又2221 212121 2=故=224y yyyx,x,x x=4 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为1212-4=-14yyxx 所以 OAOB 故坐标原点 O 在圆 M 上.（2）由（1）可得2121212+=2+=+4=24yym,xxm yym 故圆心 M 的坐标为2+2，mm，圆 M 的半径2222rmm 由于圆 M 过点 P（4，-2），因此0AP BP,故 121244220 xxyy 即1 2121 2124+2200 x xx xy yyy 由（1）可得1 21 2=-4，=4y yx x，所以221 0mm，解得11 或2mm.当 m=1 时，直线 l 的方程为 x-y-2=0，圆心 M 的坐标为（3,1），圆 M 的半径为10，圆 M的方程为223110 xy 当12m 时，直线 l 的方程为24 0 xy，圆心 M 的坐标为9 1，-4 2，圆 M 的半径为.854，圆 M 的方程为229185+4216xy 21.解：（1）fx的定义域为0，+.若0a，因为11=-+2 022faln，所以不满足题意；若0a，由 1axaf xxx 知，当0 x,a时，0f x；当，+xa时，0f x，所以 fx在0,a单调递减，在，+a 单调递增，故 x=a 是 fx在0，+x的唯一最小值点.由于 1 0f，所以当且仅当 a=1 时，0f x.故 a=1（2）由（1）知当1，+x时，10 xlnx 令1=1+2nx得111+22nnln，从而 221111 1111+1+1+=1-12222 222nnnlnlnln 故21111+1+1+222ne 而231111+1+1+2222，所以 m 的最小值为 3.22.解：（1）消去参数 t 得 l1的普通方程12l:yk x；消去参数 m 得 l2的普通方程212l:yxk 设 P（x,y）,由题设得212yk xyxk，消去 k 得2240 xyy.所以 C 的普通方程为2240 xyy.（2）C 的极坐标方程为22240 2cossin,联立2224+-2=0cossincossin得=2+cossincossin.故13tan，从而2291=，=1010cossin 代入222-=4cossin得2=5，所以交点 M 的极径为5.23.解：（1）3 1211232,xf xx,x,x 当 1x时，1f x 无解；当12x 时，由 1f x 得，2 1 1x，解得12x 当2x时，由 1f x 解得2x.所以 1f x 的解集为1x x.（2）由 2f xxxm得212mxxxx，而 22212+1+235=-+2454xxxxxxxxx 且当32x 时，2512=4xxxx.故 m 的取值范围为5-，4 .