立体几何中的向量方法：平行与垂直.pdf

立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系 【基础知识在线】知识点一 空间的方向向量与平面的法向量 考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量 利用方向向量与法向量表示空间角 利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系 知识点二 线线、线面、面面平行的向量表示 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系 知识点三 线线、线面、面面垂直的向量表示 考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系 【解密重点难点疑点】问题一：空间的方向向量与平面的法向量 1.空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向，这个向量a叫做直线的方向向量.2.直线l，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量.(1)平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量.(2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行.3.平面的法向量的求法（1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可.(2)已知平面内两不共线向量321321,bbbbaaaa时，常用待定系数法:设法向量,zyxu 由,00nbna得,00321321zbybxbzayaxa在此方程组中，对zyx,中的任一个赋值，求出另两个，所得u即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量.4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系:设直线ml,的方向向量分别为ba,，平面,的法向量分别为vu,，则 线线平行：;,/Rkbkabaml 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线 线线垂直：;0babaml 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直 线面平行：;0/uaual 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 线面垂直：;,/Rkukaual 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直 面面平行：;,/Rkvkuvu 即：两平面平行两平面的法向量共线 面面垂直：.0vuvu 即：两平面垂直两平面的法向量垂直 问题二：空间中线线、线面、面面平行的向量坐标表示 1.设直线ml,的方向向量分别为321321,bbbbaaaa，则 线线平行：.,/212121Rkkcckbbkaabkabaml 2.设直线l的方向向量分别为,321aaaa 平面的法向量分别为321,bbbu，线面平行：.00/212121ccbbaauaual 3.平面,的法向量分别为321321,bbbvaaau，面面平行：.,/212121Rkkcckbbkaavkuvu 问题三：空间中线线、线面、面面垂直的向量表示 1.设直线ml,的方向向量分别为321321,bbbbaaaa，则 线线垂直：.00212121ccbbaababaml 2.设直线l的方向向量分别为,321aaaa 平面的法向量分别为321,bbbu，线面垂直：.,/212121Rkkcckbbkaaukaual 3.平面,的法向量分别为321321,bbbvaaau，面面垂直：.00212121ccbbaavuvu 【点拨思维方法技巧】一求平面的法向量 例 1 已知平面经过三点 0,2,3,1,0,2,3,2,1CBA，试求平面的一个法向量【思维分析】先求出,ACAB，设出平面的法向量为zyxu,，结合向量垂直时数量积为零的性质，联立方程组解题.解析 0,2,3,1,0,2,3,2,1CBA，,3,4,2,4,2,1ACAB，设平面的法向量为zyxu,，依题意，00ACuABu，即0342042zyxzyx，解得02zyx.令2,1xy则.平面的一个法向量为0,1,2u【评析】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，设出平面的法向量,列出方程组，求出的三个坐标不是具体的值，而是比例关系，取其中一组解(非零向量)即可 变式训练在正方体1111DCBAABCD 中，FE,分别是DCBB,1的中点，求证：AE是平面FDA11的法向量.证明 设正方体的棱长为 1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 21,1,0,21,1,1,0,0,1AEEA,01,1,0,21,0,01,011AFD 0,0,1,1,21,0111DAFD 0,02121111DAAEFDAE，111,DAAEFDAE,又1111DDAFD，图 3-2-1 AE平面FDA11，AE是平面FDA11的法向量.二.证明平行问题 例 2 在正方体1111DCBAABCD 中，O是11DB的中点，求证：CB1平面1ODC.【思维分析】在平面内找与向量CB1平行的向量DA1，由向量的相等，得线线平行，从尔的线面平行.也可建立空间直角坐标系，求CB1的方向向量和平面1ODC的法向量，利用向量的垂直，可得线面平行.证明 方法一 1B C=1A D，又DAB11,DACB11/,又DA1平面1ODC，CB1平面1ODC.方法二 建系如图，设正方体的棱长为 1，则可得 1,1,0,1,21,21,0,1,0,1,1,111COCB，图 3-2-2 0,21,21,1,21,21,1,0,111OCODCB.设平面1ODC的法向量为zyxn,，则001OCnODn，得0212102121yxzyx，令1x，得1,1zy，1,1,1 n 01110111nCB，nCB1，CB1平面1ODC.【评析】向量法证明几何中的平行问题，可以有两个途径，一是在平面内找一向量与已知直线的方向向量共线；二是通过建立空间直角坐标系，依托直线的方向向量和平面的法向量的垂直，来证明平行 变 式 训 练 2 已 知 正 方 体1111DCBAABCD 中，FE,分 别 在CDDB1,上，且aFDDE321，其中a为正方体棱长 求证：EF平面CCBB11.证明 图 3-2-3 如图所示，建立空间直角坐标系xyzD，则,32,3,0,0,3,3aaFaaE 故3,0,32aaEF，又0,0 aAB 显然为平面CCBB11的一个法向量，而03,0,320,0aaaEFAB，AEEF.又E平面CCBB11，因此EF平面CCBB11.三.证明垂直问题 例 3.已知正方体1111DCBAABCD 中，E为棱1CC上的动点（1）求证：BDEA1；（2）若平面BDA1平面EBD，试确定点E的位置 【思维分析】正方体为建立空间直角坐标系提供了有利条件，对于（1），110AE BDAEBD；对于（2），利用已知条件平面BDA1平面EBD，通过垂直条件下的向量数量积等于0，求得点E的位置；取BD的中点O，易证OEA1是二面角EBDA1的平面角，利用向量数量积证明10AO EO 即可 图 3-2-4 解析以1,DDDCDA所在直线为zyx,轴，建立空间直角坐标系，设棱长为a（1）aaCaaAaCaaBaA,0,0,0,0,0,0,0,11，设maE,0，则0,1aaBDamaaEA，22100AE BDaa，所以BDEA1，即BDEA1（2）法一：设BD的中点为O，连接OE，1OA,则0,2,2aaO，所以0,2,2aaBDmaaOE，因为BCEDCE,所以EBED，所以BDOE,又aaaOA,2,21，所以10OA BD,所以BDOA 1,所以OEA1是二面角EBDA1的平面角，因为平面BDA1平面EBD，所以21 OEA，所以10OA OE，即2,04422amamaa 故当E为1CC的中点时，能使平面BDA1平面EBD 法二：E为1CC的中点，证明如下：由E为1CC的中点得2,0aaE，设BD的中点为O，连接OE，1OA,则0,2,2aaO，所以0,2,2,2aaBDaaaOE，则0OE BD，BDOE，即BDOE 又aaaOA,2,21，所以10OA BD,所以BDOA 1,所以OEA1是二面角EBDA1的平面角，因为22210442aaaOA OE ，所以OEOA 1，故OEOA 1,即21 OEA，所以平面BDA1平面EBD 所以当E为1CC的中点时，能使平面BDA1平面EBD【评析】利用向量解决立体几何中的线线，线面，面面的位置关系问题一般经过以下几个步骤：恰当建系，求相关点的坐标，求相关向量坐标，向量运算，将向量运算结果还原成立体几何问题或结论 变式训练 3 在正棱锥ABCP中，三条侧棱两两互相垂直，G是PAB的重心，FE,分别为PBBC,上的点，且2:1:FBPFECBE.求证：平面GEF平面PBC.证明(1)方法一 如图 3-2-5 所示，以三棱锥的顶点P为原点，建立空间直角坐标系 令3PCPBPA，则 1,2,0,3,0,0,0,3,0,0,0,3ECBA,0,0,0,0,1,1,0,1,0PGF 0,0,1,0,0,3FGPA，FGPAFGPA/,3.图 3-2-5 而PA平面PBC，FG平面PBC，又FG平面GEF，平面GEF平面PBC.方法二:同方法一，建立空间直角坐标系，则 0,1,1,0,1,0,1,2,0GFE,1,1,1,1,1,0EGEF 设平面GEF的法向量为zyxn,，则00EGnEFn，得0,0,yzxyz，令1y，得0,1xz，1,1,0 n 而显然0,0,3PA是平面PBC的一个法向量.又PAnPAn,0，即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量互相垂直，平面GEF平面PBC.【课后习题答案】练习（第104页）1.(1)答案：平行.提示：ab32,1,236,3,6.（2）答案：垂直.提示：02232212,3,22,2,1ba,ba.（3）答案：平行.提示：ab31,0,033,0,0.2.提示：（1）.,0vuvu（2）./,/vu（3）u与v不垂直，也不平行，与相交.【自主探究提升】夯实基础 1.已知,5,6,2,3,8bnam若mn，则ba的值为()B.25 C.221 答案:C.提示：mn,5,6,2,3,8bka 即kakbk5,63,28，21 k 故8,25ba,221825 ba.2.已知,2,2,2,5,1aanm若mn，则a的值为()D.6 答案:B.提示：mn,022251mm,6m.3平面的一个法向量为0,2,1，平面的一个法向量为0,1,2，则平面与平面的位置关系是()A平行 B相交但不垂直 C垂直 D不能确定 答案:C.提示：00,1,20,2,1，两法向量垂直，从而两平面也垂直 4已知yxba,3,5,4,2分别是直线21,ll的方向向量，若1l2l，则()A15,6yx B215,3yx C15,3yx D215,6yx 答案:D 提示：1l2l，ba/，则有yx5432，解方程得215,6yx.5.在正三棱柱111CBAABC 中，BACB11.求证：BAAC11.证明:建立空间直角坐标系xyzC 1，设bCCaAB1,，则,0,0,0,0,2,23,2,2311aBbaBaaAbaaA0,0,0,0,01CbC，baaACbaCBbaaBA,2,23,0,2,23111.BACB11，022211baBACB,而022211baBAAC,BAAC11,即BAAC11.拓展延伸 6下列各组向量中不平行的是（）A)4,4,2(),2,2,1(ba B)0,0,3(),0,0,1(dc C)0,0,0(),0,3,2(fe D)40,24,16(),5,3,2(hg 答案：D.提示：2/;3/;baab dcdc 而零向量与任何向量都平行.图 3-2-6 7若直线l的方向向量为2,0,1a，平面的法向量为4,0,2u，则()Al Bl Cl Dl与斜交 答案：B.提示：au22,0,124,0,2，au/，l.8已知 1,3,2,1,1,1BA，则直线AB的模为1 的方向向量是_ 答案:32,32,31,32,32,31.提示：3,2,2,1ABAB,直线AB的模为 1 的方向向量是2,2,131ABAB.9已知平面经过点0,0,0O，且1,1,1u是的法向量，zyxN,是平面内任意一点，则zyx,满足的关系式是_ 答案:0zyx.提示：由题意 0,1,1,1zyxONu，即0zyx.10若直线ba,是两条异面直线，它们的方向向量分别是1,1,1和2,3,2，则直线ba,的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是_ 答案:5,4,1(答案不唯一).提示：设直线ba,的公垂线的一个方向向量为zyxu,，ba,的方向向量分别为ba,，由题意得00buau,即02320zyxzyx,令1x，得5,4zy，5,4,1u.11若19(0,2,)8A，5(1,1,)8B，5(2,1,)8C 是平面内的三点，设平面的法向量),(zyxa，则zyx:_.答案:2:3:(4).提示：77(1,3,),(2,1,),0,0,44ABACABAC 2243,:()2:3:(4)4333xyx y zy yyzy 12.若非零向量,222111zyxbzyxa则212121zzyyxx是a与b同向或反向的()A.充分不必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件 答案:A.提示：若212121zzyyxx，则a与b同向或反向，反之不成立.13.如图 3-2-7(a)所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF，090CEFBCF，2,3EFAD.求证：AE平面DCF.（a）(b 证明:如图 3-2-7（b）所示，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系xyzC.设cCFbBEaAB,，则 0,0,3,0,3,0,0,0BaAC，0,0,0,3cFbE,0,0,0,0,3,0bBECBabAE 0,0BECBAECB，BECBAECB,.CB平面ABE，又CB平面DCF，平面ABE平面DCF，故AE平面DCF.14.在正方体1111DCBAABCD 中，FE,分别是棱BCAB,的中点，试在棱1BB上找一点M，使得MD1平面1EFB.图 3-2-7 解析：建 立 空 间 直 角 坐 标 系xyzD，设 正 方 体 的 棱 长 为2，则 2,2,2,2,0,0,0,2,1,0,1,211BDFE 设mM,2,2，则2,2,2,2,1,0,0,1,111mMDEBEF,MD1平面1EFB 1D MEF，1D MEB1，,0,0111EBMDEFMD 于是-2+2=0,-2-2(m-2)=0,1,2,2,1Mm,即M为棱1BB的中点.图 3-2-8