2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》专题提升训练(附答案)188.pdf

2022-2023 学年九年级数学中考复习二次函数综合压轴题专题提升训练（附答案）1如图 a，抛物线 yax22axb（a0）与 x 轴的一个交点为 B（1，0），与 y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D若以 AD 为直径的圆经过点 C（1）求抛物线的解析式；（2）如图b，点E是y轴负半轴上的一点，连接BE，将OBE绕平面内某一点旋转180，得到PMN（点 P、M、N 分别和点 O、B、E 对应），并且点 M、N 都在抛物线上，作MFx 轴于点 F，若线段 MF：BF1：2，求点 M、N 的坐标 2如图 1，抛物线 yax2+bx4 经过点 A（2，0）、B（4，0），与 y 轴交于点 C，点 P 为线段 AB 上一动点（不与点 B 重合），连接 PC、AC、BC，将BPC 沿直线 BC 翻折得到BPC，PC 交抛物线的另一点为 Q，连接 QB（1）求抛物线的表达式；（2）求四边形 QCOB 面积的最大值；（3）当 CQ：QP1：2 时，点 N 为抛物线上一点，直线 NQ 交 y 轴于点 M；若NQP的面积为MQC 面积的 8 倍，求出点 N 的坐标；在的条件下，点 D 在直线 NQ 上，点 E 在 x 轴负半轴上，当ADEABC 时，求点 E 的横坐标（直接写出答案）3如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 的坐标分别为（2，0），（0，3），抛物线 yx2+bx+c经过 B，C 两点，抛物线的顶点为 D（1）求抛物线的表达式和点 D 的坐标；（2）点 P 是抛物线对称轴上一动点，当CPA 为等腰三角形时，求所有符合条件的点 P的坐标 4已知抛物线：yax26ax16a（a0）与 x 轴交点为 A，B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 G 是 AC 的中点（1）求点 A，B 的坐标及抛物线的对称轴（2）直线 yx 与抛物线交于点 M，N 且 MONO，求抛物线解析式（3）已知点 P 是（2）中抛物线上第四象限内的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交 BC 于点 E，交 x 轴于点 F若以点 C，P，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点 P 的坐标 5 已知如图，二次函数 yx2+bx+3 的图象与 x 轴相交于点 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，连接 AC、BC，tanABC1，抛物线的顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点 E，当 AE+CE 取得最小值时，E 点坐标为 ；此时 AE 与 BC 的位置关系是 ，tanACE ；（3）抛物线对称轴右侧的函数图象上是否存在点 M，满足ACBBAM，若存在求 M点的横坐标；若不存在，请说明理由；（4）若抛物线上一动点 Q，当BAQACO 时，直接写出 Q 点坐标 6如图（1），已知点 P 是抛物线 yx2+1 的顶点，矩形 ABCD 中，顶点 A、B 在该抛物线上（其中点 A 在第一象限），顶点 C、D 在 x 轴上，连接线段 BD、PD、BP，DP、AB交于点 E（1）若 D 点坐标为（m，0），则点 A、B、P 坐标分别为 A（，）、B（，）、P（，）（可用含 m 的代数式表示）（2）如图（1），求证：BPD90；连接 PA求证：PA2PDPE（3）解决完以上问题后，小明不禁自问：是不是只有抛物线 yx2+1 才有（2）中的结论呢？善于思考的小明将 yx2+1 作一般化处理，为研究方便，不妨设 a0，请解决小明提出的如下两个问题：如图（1），抛物线 yax2+c 中字母 a、c 满足什么条件才能使BPD90并说明理由；如图（2），抛物线 yax2+bx+c 中字母 a、b、c 满足什么条件才能使BPD90请直接写出结论 7如图 1，在平面直角坐标系中，P 是AOC 的内切圆，点 D，E，F 为切点，连接 CD交P 于点 G，P 的半径为 2，EGx 轴，ABAC，抛物线经过 A，B，C 三点（1）求证：ADPCOD；（2）求抛物线的解析式；（3）如图 2，点 M 在抛物线上，且在直线 AC 的上方，MNy 轴交 AC 于点 N，过点 N作 NKBC，垂足为 K设 tMN+NK，求 t 的最大值及此时点 M 的坐标 8如图 1，抛物线 y+bx+c，点 A（4，3）对称轴是直线 x2顶点为 B抛物线与 y 轴交于点 C，连接 AC，过点 A 作 ADx 轴于点 D，点 E 是线段 AC 上的动点（点 E不与 A、C 两点重合）（1）求抛物线的函数解析式和顶点 B 的坐标；（2）若直线 BE 将四边形 ACOD 分成面积比为 1：3 的两个四边形，求点 E 的坐标；（3）如图 2，连接 DE，作矩形 DEFG，在点 E 的运动过程中，是否存在点 G 落在 y 轴上的同时点 F 也恰好落在抛物线上？若存在，求出此时 AE 的长；若不存在，请说明理由 9如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）抛物线的解析式为 yax2+bx （1）如图一，若抛物线经过 A，D 两点，抛物线的对称轴为直线 ；（2）如图二：若抛物线经过 A、C 两点，求抛物线的表达式；若点 P 为线段 AB 上一动点，过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E，过点 E 作 EFAD 于点F 交抛物线于点 G当线段 EG 最长时，求点 E 的坐标；（3）若 a1，且抛物线与矩形 ABCD 没有公共点，直接写出 b 的取值范围 10如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+2x3 交 y 轴于点 C，交 x 轴于点 A（a，0）和点 B（b，0），P 是第三象限抛物线上一点，直线 ykx+c 经过 P、B 两点，交 y 轴于点D（1）a ，b （2）若直线 ykx+c 上存在一点 Q，以 Q 为圆心，QA 为半径的圆恰好同时经过 B、C两点，请直接写出点 Q 的坐标，并求 k、c 的值（3）聪明的小颖发现，若设 P 点的横坐标为 m，则可直接得到方程 x2+2x3kx+c 的解为 x11，x2m，再根与系数关系可得：，从而可得到直线 PB 的解析式为 y（m+3）（x1）利用小颖发现的结论，当点 P 在抛物线的对称轴上时，直线 PB 的函数表达式 若直线 AP 与 y 轴相交于点 E，是否存在常数，使 OD+OE 为定值？如果存在，请求出这个定值，如果不存在，说明理由 11如图 1，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A（1，0）、B（3，0）两点，与 y轴交于 C（0，3），过点 E（0，1）的直线与抛物线交于 A、D 两点，点 P 是直线 AD下方抛物线上一点（不与 A、D 重合）（1）求抛物线的解析式与直线 AD 的解析式；（2）如图 1，过点 P 作 PNy 轴且交直线 AD 于点 N，求线段 PN 的最大值；（3）如图 2，连接 AP，DP，是否存在点 P，使得三角形 APD 的面积等于 3，若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 12已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴的交点为 C（0，3），其对称轴是直线 x1，点 P 是抛物线上第一象限内的点，过点 P 作 PQx 轴，垂足为 Q，交 BC 于点 D，且点 P 的横坐标为 m（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）如图 1，PEBC，垂足为 E，当 DEBD 时，求 m 的值；（3）如图 2，连接 AP，交 BC 于点 H，则的最大值是 13已知抛物线 yax2+5x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，点 A，C 的坐标分别为（1，0），（0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，直线 l 为抛物线的对称轴，请在直线 l 上找一点 M，使得 AM+CM 最小，求出点 M 的坐标；连接 AC，求ACM 的面积（3）如图 2，P 是 x 轴上方抛物线上的一动点，连接 BC，BP，当PBAPBC 时，请直接写出点 P 的坐标 14如图，直线 yx+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 yax2+x+c 经过B、C 两点，且与 x 轴的另一个交点为 A（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当BEC 面积最大时，请求出点 E的坐标和BEC 面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M，连接 AM，点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 15已知抛物线与直线 yn（n0）只有一个交点 P，PBx 轴于点 B（1，0），点 B 关于点 P 的对称点为点 C，点 P 关于 y 轴的对称点为点 Q，直线 QC 交 y 轴于点 A（1）直接写出点 P，点 A 的坐标（用 n 表示）；（2）抛物线过点 A，与直线 QC 的另一个交点为点 D，连接 OC 交 PQ 于点 N若点 N为QBC 的内心，求QND 的面积 16如图所示，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA2，OB4，OC8，抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 M，与 x 轴交于点 N（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 是对称轴上的一个动点，是否存在以 P、C、M 为顶点的三角形与MNB 相似？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由（3）D 为 CO 的中点，一个动点 G 从 D 点出发，先到达 x 轴上的点 E，再走到抛物线对称轴上的点 F，最后返回到点 C要使动点 G 走过的路程最短，请找出点 E、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程 17如图，抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于点 A（3，0），B（4，0），与 y 轴交于点 C （1）直接写出抛物线的解析式；（2）已知点 P 是坐标平面内一点，若线段 OA 关于点 P 的对称线段 OA（点 O，A分别是点 O，A 的对称点）的两个端点恰好都落在该抛物线上，求点 P 的坐标；（3）若点 M 为 x 轴上一动点，将线段 MC 绕点 M 逆时针旋转 90得到线段 MD，试探究是否存在点 M，使点 D 恰好落在该抛物线上？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 18如图（1），二次函数 yx2+bx4 的图象与 x 轴交于 A（3，0）、B 两点，与 y 轴交于点 C若点 P，Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿线段 AB，AC运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式和点 C 的坐标；（2）如图（2），当点 P、Q 同时运动秒时，停止运动，这时在抛物线对称轴上是否存在点 E，使得以 A，E，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（3），当 P、Q 运动 t 秒时，把APQ 沿 PQ 翻折，点 A 恰好落在抛物线上点D 处，请判定此时四边形 APDQ 的形状，简要说明理由，并求出此时 t 的值 19如图所示，抛物线 yax2+bx3 与 x 轴相交于 A（1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴相交于点 C，点 M 为抛物线的顶点（1）求抛物线的函数关系式（2）若点 D 是抛物线对称轴上的动点，点 G 是抛物线上的动点，是否存在以点 B、C、D、G 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，试说明理由（3）直线 CM 交 x 轴于点 E，若点 P 是线段 EM 上的一个动点，是否存在以点 P、E、O为顶点的三角形与ABC 相似若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 20如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）的图象开口向上，对称轴为直线 x，与 x 轴交于 A、B 两点，其中 B 点的坐标为（2，0），与 y 轴交于点C，且 OBOC，连接 AC （1）求该抛物线的解析式；（2）如图 1，P 为直线 AC 下方抛物线上一点，过点 P 作 PEx 轴交直线 AC 于点 E，过点 A 作 AFAC 交直线 PE 于点 F，若 SAEF，求点 P 的坐标；（3）如图 2，点 D 是抛物线 y 的顶点，将抛物线 y 沿着射线 AC 平移得到 y，D为抛物线 y的顶点，过 D作 DMx 轴于点 M在平移过程中，是否存在以 D、D、M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出 D的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案 1解：（1）把 B（1，0）代入得：b3a，yax22ax3aa（x1）24，点 C（0，3a），点 A（3，0），且ACD90；在 RtAOC 中，AC29a2+32，在 RtAHD 中，AD216a2+22，在 RtCMD 中，CD2a2+12，AD2AC2+CD2，16a2+22a2+12+9a2+32，a21，a0，a1，抛物线的解析式为 yx2+2x+3（2）设点 M（m，y1），则 BFm+1，MF：BF1：2，MF，即 y1，点 M（m，y1）在抛物线上，m2+2m+3，解得：m或 m1（舍去），点 M 的坐标为（，）；又MPBO，MPBO，点的坐标为 P（，），由，得点 N 的坐标为（，）综上，M（，）；N（，）2解：（1）抛物线 yax2+bx4 经过点 A（2，0）、B（4，0），解得：抛物线的表达式 yx4（2）过点 Q 作 QEOB 于点 E，QFOC 于点 F，连接 OQ，如图，设点 Q 的坐标为（m，m4），则 QFm，QE+m+4，令 x0，则 y4，C（0，4）OC4 B（4，0），OB4 S四边形QCOBSOQC+SOQB 4m+4（+m+4）m2+4m+8（m2）2+12，10，当 m2 时，四边形 QCOB 面积有最大值 12（3）当点 N 在 y 轴的右侧时，连接 CN，过点 Q 作 QEy 轴于点 E，过点 P作 PFy 轴于点 F，如图，OBOC4，BOC90，OBCOCB45 由翻折得：CBPOBC45，OBP90 BOCOFP90，四边形 BOFP为矩形 FPOB4 CEQCFP90，EQFP，CEQCFP CQ：QP1：2，EQFP4 当 x时，y，Q（，）过点 N 作 NGy 轴于点 G，CQ：QP1：2，SNCQ：SNQP1：2 SNQP2SNCQ NQP的面积为MQC 面积的 8 倍，SNCQ4SMQC SMNCSNCQ+SMQC，SMNC5SMQC NG5EQ5 当 x时，y4，N（，）当点 N 在 y 轴的左侧时，连接 CN，过点 Q 作 QEy 轴于点 E，过点 N 作 NGy 轴于点 G，如图，Q（，），QE CQ：QP1：2，SNCQ：SNQP1：2 SNQP2SNCQ NQP的面积为MQC 面积的 8 倍，SNCQ4SMQC SMNCSNCQSMQC，SMNC3SMQC OCNG3OCEQ NG3EQ34 当 x4 时，y（4）48，N（4，8）综上，点 N 的坐标为（4，8）或（，）点 E 的横坐标为理由：延长 AD 交 y 轴于点 K，如图，ADEABC，DAOCAO 在AKO 和ACO 中，AKOACO（AAS）OKOC4 K（0，4）设 AK 的解析式为 ykx+c，解得：AK 的解析式为 y2x+4 设 NQ 的解析式为 ymx+n，解得：NQ 的解析式为 yx 解得：D（，），过点 D 作 DFOA 于点 F，则 DF，OF AFAOOF AD ADEABC，AE OEOAAE 点 E 的横坐标为 3解：（1）四边形 ABCD 是矩形，A，C 的坐标分别为（2，0），（0，3），B（2，3），将点 B（2，3），C（0，3）代入 yx2+bx+c，yx2+2x+3，x1，D（1，4）；（2）对称轴为 x1，设 P（1，t），AP21+t2，AC213，PC21+（t3）2，当 APCP 时，1+t21+（t3）2，解得 t，P（1，），P 是 AC 的中点，P（1，）不符合题意；当 CPAC 时，1+（t3）213，解得 t2+3 或 t2+3，P（1，2+2）或 P（1，2+3）；当 ACAP 时，1+t213，解得 t2，P（1，2）或 P（1，2）；综上所述：P 点的坐标为（1，2+2）或（1，2+3）或（1，2）或（1，2）4解：（1）yax26ax16aa（x26x16），令 y0，则 x26x160，解得 x2 或 x8，A（2，0），B（8，0），ya（x3）225a，对称轴为直线 x3；（2）联立方程组，整理得，ax26ax+x16a0，xM+xN6，MONO，M 点与 N 点关于原点对称，xM+xN0，60，a，yx2x4；（3）由 yx2x4，则 C（0，4），设直线 BC 的解析式为 ykx+b，yx4，设 P（t，t2t4），则 E（t，t4），PEt2+2t，CE，CP，点 G 是 AC 的中点，G（1，2），AG，GO，AOG 是等腰三角形，OA2，OC4，tanOAC2，OB8，tanOCB2，CAOOCB，PEOC，FEBOCB，DEPCAO，当 CPPE 时，AOGCEP，PEPC，t2+2t，解得 t3，P（3，）；当 PCCE 时，AOGPEC，解得 t4 或 t8（舍），P（4，6）；综上所述，P 点坐标为（4，6）或（3，）5解：（1）二次函数 yx2+bx+3，令 x0，则 y3，点 C 的坐标为（0，3），即 OC1，tanABC1，即1，OCOB1，点 B 的坐标为（3，0），把 B（3，0）代 yx2+bx+3 得 32+3b+30，解得：b4，抛物线的解析式为 yx24x+3；（2）yx24x+3（x2）21，抛物线的顶点 D 的坐标为（2，1）对称轴为 x2，解方程（x2）210，得：x11，x23，点 A 的坐标为（1，0），连接 BC 交对称轴于点 E，此时，AEBE，AE+CE 取得最小值，AE+CEBE+CEBC，AE+CE 的最小值为 BC，设直线 BC 的解析式为 ykx+3，把 B（3，0）代入 ykx+3，得：03k+3，解得：k1，直线 BC 的解析式为 yx+3，当 x2 时，y1，点 E 坐标为（2，1）；AE，BE，AB312，AE2+BE2AB2，AEBE，AEB 为等腰直角三角形，AE 与 BC 的位置关系是：AEBC，CE2，故答案为：（2，1）；AEBC；（3）设对称轴与 x 轴交于点 F，交 AM 于点 G，ACBBAM，tanACBtanBAM，由（2）得 tanACE，tanBAM，AFOFOA1，GF，G 点坐标为（2，），A（1，0），设直线 AG 的解析式为 ynx+m，解得，直线 AG 的解析式为 yx，由 x24x+3x得，x11，x2，M 点的横坐标为；同理得直线 AG的解析式为 yx+，由 x24x+3x+得，x11，x2，M点的横坐标为；综上，M 点的横坐标为或；（4）OA1，OC3，tanACO，同（3）得 H 点的坐标为（2，），直线 AQ 的解析式为 yx，由 x24x+3x得，x11，x2，Q 点的横坐标为（，）；同理得直线 AQ的解析式为 yx+，由 x24x+3x+得，x11，x2，Q点的横坐标为（，）；综上，Q 点的横坐标为（，）或（，）故答案为：（，）或（，）6解：（1）D 点坐标为（m，0），四边形 ABCD 是矩形，A 点横坐标是 m，点 A 在该抛物线上，A（m，m2+1），B 点与 A 点关于 y 轴对称，B（m，m2+1），抛物线的对称轴为 y 轴，顶点 P（0，1），故答案为：m，m2+1，m，m2+1，0，1；（2）D（m，0），B（m，m2+1），P（0，1），PB2m2+m4，PD2m2+1，BD24m2+（m2+1）2，BD24m2+（m2+1）2m4+2m2+1PB2+PD2，BPD 是直角三角形，BPD90；BPD90，EAD90，PEBAED，PBAPDE，PBPA，PBAPAB，PADPAE+90PBA+90，PEA90+PDA，PADPEA，PEAPAD，PA2PDPE；（3）yax2+c，P（0，c），B（m，am2+c），D（m，0），PB2m2+a2m4，PD2m2+c2，BD24m2+（am2+c）2，BPD90；BD2PB2+PD2，4m2+（am2+c）2a2m4+2acm2+c2m2+a2m4+m2+c2，2ac+42，ac1；设 ya（xh）2+k，P（h，k），设 D（h+m，0），则 A（h+m，am2+k），B（hm，am2+k），PB2m2+a2m4，PD2m2+k2，BD24m2+（am2+k）2，BPD90；BD2PB2+PD2，4m2+（am2+k）2m2+a2m4+m2+k2，ak+10，k，4acb24 7（1）证明：如图 1，连接 PE、PF，P 是AOC 的内切圆，点 D，E，F 为切点，PDOA，PEAC，PFOC，ADPAEPPDOPFO90，PDPEPF，DOF90，DOFPFOPDO90，四边形 DOFP 是矩形，DOPF2，OFPD2，AD、AE 是P 的切线，APDAPEDPE，DGEDPE，EGx 轴，CDODGE，APDCDO，在APD 和CDO 中，APDCDO（ASA）；（2）解：由（1）知：APDCDO，ODPD2，ADOCAE，P 是AOC 的内切圆，CECF，设 CECFn，则 AEADOCn+2，OAn+4，AC2n+2，在 RtACO 中，OA2+OC2AC2，（n+4）2+（n+2）2（2n+2）2，解得：n14，n22（舍去），OA4+48，OC4+26，AC42+210，ABAC，AB10，OBABOA1082，A（8，0），B（2，0），C（0，6），设抛物线的解析式为 ya（x+8）（x2），把 C（0，6）代入得：6a（0+8）（02），解得：a，y（x+8）（x2）x2x+6，抛物线的解析式为 yx2x+6；（3）解：如图 2，在 RtBCO 中，BC2，设直线 AC 的解析式为 ykx+b，则，解得：，直线 AC 的解析式为 yx+6，设 M（m，m2m+6），MNy 轴交 AC 于 N，N（m，m+6），MNm2m+6（m+6）m23m，CNm，ABAC，CBONCK，NKBC，垂足为 K，NKCCOB90，NCKCBO，NKm，tMN+NKm23m+（m）m2m（m+6）2+，当 m6 时，t 取得最大值，此时点 M 的坐标为（6，6）t 的最大值为，此时点 M 的坐标为（6，6）8解：（1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（4，3），对称轴是直线 x2，解得，抛物线的函数表达式为：yx2+x+3 yx2+x+3（x2）2+4，顶点 B 的坐标为（2，4）；（2）（i）yx2+x+3，x0 时，y3 则 C 点的坐标为（0，3）A（4，3），ACOD，ADx，四边形 ACOD 是矩形 设点 E 的坐标为（m，3），直线 BE 的函数表达式为：ykx+n，直线 BE 交 x 轴于点 M，如图 1 所示：则，解得，直线 BE 的函数表达式为：yx+令 yx+0，则 x4m6，点 M 的坐标为（4m6，0）直线 BE 将四边形 ACOD 分成面积比为 1：3 的两部分，点 M 在线段 OD 上，点 M 不与点 O 重合 C（0，3），A（4，3），M（4m6，0），E（m，3），OC3，AC4，OM4m6，CEm S矩形ACODOCAC3412，S梯形ECOM（OM+EC）OC（4m6+m）3 分两种情况：，即，解得 m 点 E 的坐标为：（，3）；，即，解得 m 点 E 的坐标为：（，3）；综上所述，点 E 的坐标为：（，3）或（，3）；（ii）存在点 G 落在 y 轴上的同时点 F 恰好落在抛物线上，理由如下：由题意得：满足条件的矩形 DEFG 在直线 AC 的下方，过点 F 作 FNAC 于 N，则 NFCG，如图 2 所示：设点 F 的坐标为（a，a2+a+3），则 NF3（a2+a+3）a2a，NCa 四边形 DEFG 与四边形 ACOD 都是矩形，DAEDEFN90，EFDG，EFDG，ACOD NEFODG，EMCDGO NFCG，EMCEFN EFNDGO 在EFN 和DGO 中，EFNDGO（ASA）NEODAC4 ACCENECE，即 AENCa DAEDEFN90，NEF+EFN90，NEF+DEA90 EFNDEA ENFDAE，即，整理，得a2+a0，解得 a或 0 当 a0 时，点 E 与点 A 重合，a0 舍去，AENCa 当点 G 落在 y 轴上的同时点 F 恰好落在抛物线上，此时 AE 的长为 9解：（1）B（4，0）、C（8，0）、D（8，8），四边形 ABCD 是矩形，A（4，8），将 A、D 代入 yax2+bx，yx2+3x（x6）2+9，对称轴为直线 x6，故答案为：x6；（2）将 A、C 两点的坐标代入 yax2+bx，得，解得：，抛物线的表达式为；设直线 AC 的解析式为 ykx+c，将 A、C 两点的坐标代入，得，解得：，直线 AC 的解析式为 y2x+16，设点 E 的坐标为（x，2x+16），EGAD，ADx 轴，点 E 和点 G 的横坐标相等，点 G 在抛物线上，点 G 的坐标为，EG ，当 x6 时，EG 有最大值，且最大值为 2，点 E 坐标为（6，4）；（3）a1，yx2+bx，函数经过定点（0，0），如图：当抛物线经过点 B（4，0）时，刚好与矩形有一个交点，此时 b4，当抛物线经过点 D（8，8）时，刚好与矩形有一个交点，此时 b9，b4 或 b9 时，抛物线与矩形 ABCD 无交点 10解：（1）令 y0，得 x2+2x30，（x+3）（x1）0，解得：x13，x21，A（3，0），B（1，0），a3，b1，故答案为：3，1（2）已知 Q 为圆心的圆过 A、B、C 三点，A（3，0），B（1，0），C（0，3），抛物线对称轴为直线 x1，QAQBQC，Q 在线段 AB 的垂直平分线，即抛物线对称轴上，设 Q（1，y），则 QA2QC2，即（1+3）2+（y0）2（10）2+（3y）2，解得：y1，Q（1，1），将 Q（1，1）、B（1，0）代入 ykx+c 中，得：，解得：，k，c（3）P 在抛物线的对称轴上，m1，将 m1 代入 y（m+3）（x1）有 y2x2，直线 PB 的函数表达式为：y2x2 A（3，0），P（m，0），设直线 AP 的函数表达式为：ypx+q，x2+2x3px+q 的解为：x13，x2m，由根与系数的关系有：x1+x2p23+m，x1x23q3m，pm1，q3m3，直线 AP 的函数表达式为：y（m1）x+3m3，令 x0，则 y3m3，OE|3m3|，点 P 在第三象限的抛物线上，3m0，3m30，OE33m，直线 PB 的解析式为 y（m+3）（x1），D（0，m3），OD|m3|m+3|，m+30，ODm+3，OD+OE（m+3）+33m（3）m+3+3，令 3，得：OD+OE（3）m+3+312，故当 3 时，OD+OE 为定值 12 11解：（1）把 A（1，0），B（3，0），C（0，3）分别代入 yax2+bx+c（a0）中，得，解得：，抛物线的解析式为 yx22x3，设直线 AD 的解析式为 ykx+m，把 A（1，0），E（0，1）分别代入 ykx+m 中，得，解得：，直线 AD 的解析式为 yx1；（2）联立方程组，解得：或，D（2，2），直线 AD 下方抛物线的自变量 x 的取值范围1x2，设 P（x，x22x3），则 N（x，x1），PN（x1）（x22x3）x2+x+2（x）2+，10，当 x时，PN 有最大值；（3）存在点 P，使得三角形 APD 的面积等于 3，理由如下：由（2）可知：PNx2+x+2，SAPDSAPN+SDPN，SAPD3，解得：x0，x1，P（0，3）或 P（1，4）12解：（1）将 C（0，3）代入 yx2+bx+c 可得 c3，对称轴是直线 x1，即，解得 b2，二次函数解析式为 yx2+2x+3；（2）令x2+2x+30 解得 x11，x23，A（1，0），B（3，0），OB3，OC3，OBC 是等腰直角三角形，OBC45，BC，PQOB，PEBC，PQBPED90，QDBPDEOBC45，DQB 和PED 是等腰直角三角形，BQDQ，BD，DE，P 点横坐标是 m，且在抛物线上，PQm2+2m+3，OQm，BQDQ3m，BD，PDPQDQm2+3m，DE，DEBD，解得：m12，m23（舍去），m2；（3）过点 A 作 AKx 轴交直线 BC 于点 K，PQx 轴，AKPQ，设直线 BC 的解析式为 ykx+b，yx+3，P（m，m2+2m+3），D（m，m+3），PDm2+3m，A（1，0），K（1，4），AK4，（m）2+，当 m时，有最大值，故答案为：13解：（1）将（1，0），（0，4）代入 yax2+5x+c 得：，解得，抛物线的解析式为 yx2+5x4；（2）连接 BC 交 l 于 M，如图 1：直线 l 为抛物线 yx2+5x4 的对称轴，AMBM，直线 l 为 x，AM+CMBM+CM，而此时 B、M、C 共线，此时 AM+CM 最小，在 yx2+5x4 中，令 y0 得 x1 或 x4，B（4，0），设直线 BC 的解析式为 ykx+b，直线 BC 的解析式为 yx4，在 yx4 中令 x得 y，M（，）；A（1，0），B（4，0），AB3，C（0，4），SABCAB|yC|346，M（，），SABMAB|yM|3，SACMSABCSABM；（3）过 P 作 PHAB 于 H，如图 2：PBAPBC，PBAABC，B（4，0），C（0，4），OBOC，PBAABC45，PHBH，设 PHBHt，则 OH4t，P（4t，t），把 P（4t，t）代入 yx2+5x4 得：t（4t）2+5（4t）4，解得 t0（此时与 B 重合，舍去）或 t2，P（2，2）14解：（1）令 y0，则 x4，C（4，0），令 x0，则 y3，B（0，3），将点 B、点 C 代入 yax2+x+c，yx2+x+3；（2）令 x0，则 y3，B（0，3），令 y0，则 x4，C（4，0），令 y0，则x2+x+30，x4 或 x2，A（2，0），如图：过点 E 作 EFx 轴交 BC 于点 F，设 E（t，t2+t+3），则 F（t，t+3），EFt2+t，SBCE4（t2+t）（t2）2+3，当 t2 时，BCE 面积的最大值为 3，此时 E（2，3）；（3）存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：E（2，3），M（2，），设 Q（1，n），P（m，m2+m+3），当 AM 为平行四边形的对角线时，1+m0，m1，P（1，）；当 AQ 为平行四边形的对角线时，2+m1，m3，P（3，）；当 AP 为平行四边形的对角线时，1+22+m，m5，P（5，）；综上所述：P 点坐标为（1，）或（3，）或（5，）15解：（1）PBx 轴于点 B（1，0），P 是抛物线的顶点，抛物线与直线 yn（n0）只有一个交点 P，P（1，n），点 P 关于 y 轴的对称点为点 Q，Q（1，n），点 B 关于点 P 的对称点为点 C，C（1，2n），设直线 QC 的解析式为 ykx+b，ynx+n，A（0，n）；（2）当 n0 时，P（1，n）是抛物线的顶点，设抛物线的解析式为 ya（x1）2+n，抛物线过点 A，a+nn，an，yn（x1）2+n，联立方程组，解得 x0 或 x3，D（3，3n），设直线 OC 的解析式为 ykx，k2n，y2nx，OC 交 PQ 于点 N，N（，n），QN，SQNDQN（3nn）2nn，N 为内心，如图，过点 N 作 NHQC 于点 H，PNHN，在 RtQHN 中，QH，HQNPQB，QHNQPB90，QNHQBP，n，SQNDn；当 n0 时，同理可得 SQND；综上所述：SQND 16解：（1）OA2，OB4，OC8，A（2，0），B（4，0），C（0，8），设二次函数的解析式为 ya（x+2）（x4），将点 C 的坐标代入，8a8，a1，二次函数的解析式为 yx2+2x+8；（2）存在以点 P、C、M 为顶点的三角形与MNB 相似，理由如下：yx2+2x+8（x1）2+9，对称轴为直线 x1，设直线 BC 的解析式为 ykx+b，代入点 B、C 坐标可得：，解得：，直线 BC 的解析式为 y2x+8，点 M（1，6），N（1，0），由两点距离公式可得 BN3，MN6，BM3，CM，若使以点 P、C、M 为顶点的三角形与MNB 相似，则有BMNCMP，如图 1：当CPMMNB90时，则有 CPx 轴，点 P（1，8）；如图 2：当PCMMNB90时，PM，P（1，）；综上所述：P 点的坐标为（1，8）或（1，）；（3）如图 3：作点 D 关于 x 轴的对称点 H，作点 C 关于抛物线的对称轴的对称点 I，连接 HI，分别与 x 轴、抛物线的对称轴交于点 E、F，此时的点 E、F 即为所求，HI 即为动点 G 所走过的最短路程，OC8，点 D 为 CO 的中点，OD4，D（0，4），抛物线的对称轴为直线 x1，I（2，8），H（0，4），设直线 HI 的解析式为 ykx+b，把点 H、I 坐标代入得：，解得：，直线 HI 的解析式为 y6x4，当 y0 时，x，当 x1 时，y2，E（，0），F（1，2），点 G 走过的最短路程为 HI2 17解：（1）将点 A（3，0），B（4，0）代入 yax2+bx2，yx2x2；（2）根据中心对称的性质可知，OAx 轴，OAOA3，点 A在点 O的右边，设点 O 的横坐标为 m，则点 A的横坐标为 m+3，它们的纵坐标相等，O，A在该抛物线上，m2m2（m+3）2（m+3）2，解方程得 m1，点 O（1，），如图 1，过点 P 作 PQx 轴于点 Q，过点 O作 OGx 轴于点 G，则 PQ 为OOG 的中位线，OQ，PQ，P（，）；（3）存在点 M，使点 D 恰好落在该抛物线上，理由如下：如图 2，当点 D 在 x 轴下方时，过点 D 作 DFAM 于点 F，FMD+MDF90，OMC+FMD90，OMCMDF，COMMFD90，CMMD，RtCOMRtMFD（AAS），MFOC2，OMDF，设 OMDFa（a0），OFOM+MFa+2，D（a+2，a），点 D 在抛物线上，（a+2）2（a+2）2a，解得 a1 或 a10（舍去）D（3，1）；如图 3，当点 D 在 x 轴上方时，设 OFa（a0），过点 D 作 DFAM 于点 F，同理可证 RtCOMRtMFD（AAS），COMF2，DFOMa+2，D（a，a+2），点 D 在抛物线上，（a）2（a）2a+2，解得 a8 或 a3（舍去），D（8，10）；综上所述：D 点坐标为（3，1）或（8，10）18解：（1）将 A（3，0）代入 yx2+bx4，12+3b40，b，yx2x4，令 x0，则 y4，C（0，4）；（2）存在点 E，使得以 A，E，Q 为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下：A（3，0），C（0，4），AC5，t，Q 点是 AC 的中点，Q（，2），yx2x4，x1，抛物线的对称轴为直线 x1，设 E（1，m），AE，AQ，EQ，当 AEAQ 时，m或 m，E（1，）或 E（1，）；当 AQQE 时，m2 或 m2，E（1，2）或 E（1，2）；当 AEQE 时，m，E（1，）；综上所述：E 点的坐标为（1，）或（1，）或（1，2）或（1，2）或（1，）；（3）由折叠的性质，APDP，AQDQ，APAQ，APDPDQAQ，四边形 APDQ 是菱形，过点 Q 作 QFx 轴交于 F 点，OC4，AC5，sinOAC，FQt，FAt，Q（3t，t），OADQ，D（3t，t），D 点在抛物