2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》常考题型专题训练(附答案).pdf

2022-2023 学年九年级数学中考复习二次函数综合压轴题常考题型专题训练（附答案）1如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx22x3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C，连接 BC，点 D 为抛物线的顶点，点 P 是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点 D 重合）（1）则OBC 的度数等于 （2）连接 CD、BD、DP，延长 DP 交 x 轴正半轴于点 E，且 SOCES四边形OCPB，求此时 P 点的坐标；（3）过点 P 作 PFx 轴交 BC 于点 F，求线段 PF 长度的最大值 2已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为 C（1，2），直线 ykx+m 的图象与该二次函数的图象交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为（3，0），B 点在 y 轴上点 P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与点 A、B 不重合），过点 P 且垂直于 x 轴的直线与这个二次函数的图象交于点 E（1）求这个二次函数的解析式；（2）设点 P 的横坐标为 x，求线段 PE 的长（用含 x 的代数式表示）；（3）点 D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点 P、E、D 为顶点的三角形与AOB 相似，请求出 P 点的坐标 3如图，抛物线 yax2+x+c（a0）与 x 轴交于 A（2，0），B（1，0）两点，与 y 轴负半轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，点 D 是抛物线上第三象限内的一点，连接 CD，若ACD 为锐角，且 tanACD，求点 D 的横坐标 xD的取值范围；（3）如图 2，经过定点 P作一次函数 ykx+与抛物线交于 M，N 两点 试探究是否为定值？请说明理由 4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+x+（m0）与 x 轴交于 A（1，0），B（m，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC（1）若 OC2OA，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点 P 位于直线 BC 上方的抛物线上，当PBC 面积最大时，求点 P 的坐标；（3）设直线 yx+b 与抛物线交于 B，G 两点，问是否存在点 E（在抛物线上），点 F（在抛物线的对称轴上），使得以 B，G，E，F 为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点 E，F 的坐标；若不存在，说明理由 5已知，如图，点 M 在 x 轴上，以点 M 为圆心，2.5 长为半径的圆交 y 轴于 A、B 两点，交 x 轴于 C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1x2），x1、x2是方程 x（2x+1）（x+2）2的两根（1）求点 C、D 及点 M 的坐标；（2）若直线 ykx+b 切M 于点 A，交 x 轴于 P，求 PA 的长；（3）M 上是否存在这样的点 Q，使点 Q、A、C 三点构成的三角形与AOC 相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过 A、C、Q 三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 6如图，抛物线 yax23ax2 交 x 轴于 A、B（A 左 B 右）两点，交 y 轴于点 C，过 C作 CDx 轴，交抛物线于点 D，E（2，3）在抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）P 为第一象限抛物线上一点，过点 P 作 PFCD，垂足为 F，连接 PE 交 y 轴于 G，求证：FGDE；（3）如图 2，在（2）的条件下，过点 F 作 FMPE 于 M若OFM45，求 P 点坐标 7 在直角坐标平面内，直线 yx+2 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、C 抛物线 yx2+bx+c经过点 A 与点 C，且与 x 轴的另一个交点为点 B，点 D 在该抛物线上，且位于直线 AC的上方（1）求抛物线的表达式；（2）连结 BC、BD，且 BD 交 AC 于点 E，如果ABE 的面积与ABC 的面积之比为 4：5，求DBA 的正切值；（3）过点 D 作 DFAC，垂足为点 F，连结 CD若CFD 与AOC 相似，求点 D 的坐标 8 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+2x3 交 x 轴于点 A、B，交 y 轴于点 C （1）如图 1，连接 BC，过点 A 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 E，求线段 BE 的长；（2）如图 1，点 P 为第三象限内抛物线上一点，连接 AP 交 BC 于点 D，连接 BP，记BDP 的面积为 S1，ABD 的面积为 S2，当的值最大时，求出这个最大值和点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线 yx2+2x3 沿射线 BC 方向平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点 G，点 M 为平移后的抛物线对称轴上一点，N 为平面内一点，是否存在以点 D、G、M、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点 N 的坐标，若不存在，则请说明理由 9如图所示，抛物线 yax2+2x+8（a0）交 x 轴负半轴于 A 点、交 x 轴正半轴于 B 点，与 y 轴交于 C 点，且 2OBOC，抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 M，与 x 轴交于点 N（1）请写出 B 点坐标及 a 的值；（2）若点 P 是对称轴上的一个动点，是否存在以 P、C、M 为顶点的三角形与MNB 相似？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）D 为 CO 的中点，一个动点 G 从 D 点出发，先到达 x 轴上的点 E，再走到抛物线对称轴上的点 F，最后返回到点 C要使动点 G 走过的路程最短，请找出点 E、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程；（4）若点 Q（x，y）是抛物线上位于 x 轴上方的一点，点 R 在 x 轴上，是否存在以点 Q为直角顶点的等腰 RtCQR？若存在，求出点 Q 的横坐标 x 的值，若不存在，请说明理由 10如图，抛物线 yax2+bx，交 y 轴于点 A，交 x 轴于 B（1，0），C（5，0）两点，抛物线的顶点为 D，连接 AC，CD（1）求直线 AC 的函数表达式；（2）求抛物线的函数表达式及顶点 D 的坐标；（3）过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于点 G，点 H 为线段 CD 上一动点，连接 GH，将DGH沿 GH 翻折到GHR（点 R，点 G 分别位于直线 CD 的两侧），GR 交 CD 于点 K，当GHK 为直角三角形时 请直接写出线段 HK 的长为 ；将此 RtGHK 绕点 H 逆时针旋转，旋转角为（0180），得到MHN，若直线 MN 分别与直线 CD，直线 DG 交于点 P，Q，当DPQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，请直接写出点 P 的纵坐标为 11如图，抛物线 yx2+bx+c，经过矩形 OABC 的 A（3，0），C（0，2），连接 OBD为横轴上一个动点，连接 CD，以 CD 为直径作M，与线段 OB 有一个异于点 O 的公共点 E，连接 DE过 D 作 DFDE，交M 于 F（1）求抛物线的解析式；（2）tanFDC 的值；（3）当点 D 在移动过程中恰使 F 点落在抛物线上，求此时点 D 的坐标；连接 BF，求点 D 在线段 OA 上移动时，BF 扫过的面积 12已知抛物线的顶点 A（1，4），经过点 B（2，3），与 x 轴分别交于 C，D 两点 （1）求该抛物线的解析式；（2）如图 1，点 M 是抛物线上的一个动点，且在直线 OB 的下方，过点 M 作 x 轴的平行线与直线 OB 交于点 N，当 MN 取最大值时，求点 M 的坐标；（3）如图 2，AEy 轴交 x 轴于点 E，点 P 是抛物线上 A，D 之间的一个动点，直线 PC，PD 与 AE 分别交于 F，G，当点 P 运动时，直接写出 EF+EG 的值；直接写出 tanECF+tanEDG 的值 13如图 1，抛物线 C：yax2+bx 经过点 A（4，0）、B（1，3）两点，G 是其顶点，将抛物线 C 绕点 O 旋转 180，得到新的抛物线 C（1）求抛物线 C 的函数解析式及顶点 G 的坐标；（2）如图 2，直线 l：ykx经过点 A，D 是抛物线 C 上的一点，设 D 点的横坐标为 m（m2），连接 DO 并延长，交抛物线 C于点 E，交直线 l 于点 M，若 DE2EM，求 m 的值；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 AG、AB，在直线 DE 下方的抛物线 C 上是否存在点 P，使得DEPGAB？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 14 抛物线 yx22ax+1（a1）与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D（1）若 a2，求 A，B，C 三点的坐标；（2）如图 1，若ACB45，求 a 的值；（3）如图 2，过点 C 作 CEAB 交抛物线于另一点 E，以 CE 为直径作P，求证：直线AD 与P 相切 15如图，抛物线 y4x+6 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左边），与 y 轴交于点C，连接 AC，BC，点 D 在抛物线上一点（1）求证：OBC 是等腰直角三角形（2）连接 DC，如图 1，若 BC 平分ACD，求点 D 的坐标（3）如图 2，若点 D 在线段 BC 的下方抛物线上一点，画 DEBC 于点 E 求 DE 的最大值 在线段 CE 上取点 F，连 OF，DF，若EDFACB，且点 C 关于直线 OF 的对称点恰好落在抛物线上，求点 D 的坐标（直接写出答案）16如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左边），与 y 轴交于点C，直线 yx2 经过 B、C 两点，点 P 是抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式；（2）当抛物线上的点 P 的在 BC 下方运动时，求BCP 面积的最大值；（3）连接 OP，把OCP 沿着 y 轴翻折，使点 P 落在 P的位置，四边形 CPOP能否构成菱形，若能，求出点 P 的坐标，如不能，请说明理由 17如图，直线与 x 轴，y 轴分别交于点 A，C，抛物线经过 A，C两点，与 x 轴的另一交点为 B（1）求的函数表达式；（2）点 D 为抛物线上一动点，直线 BD 交直线 AC 于点 E；当点 D 在直线 AC 上方运动时，连接 BC，CD，设直线 BD 交线段 AC 于点 E，CDE，BCE 的面积分别为 S1，S2，求的最大值；若直线 CD 交抛物线对称轴于点 F，当 EFBC 时，直接写出点 D 的横坐标 18如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A，B；与 y 轴交于点 C，且 OCOB2OA，对称轴为直线 x1（1）求抛物线的解析式（2）若点 M，N 分别是线段 AC，BC 上的点，且 MNAB，当 MN2 时，求点 M，N的坐标（3）D 是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在不与点 D 重合的点 E，使得BCE 与BCD 的面积相等？若存在，请求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 19 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为 C（3，6），并与 y 轴交于点 B（0，3），点 A 是对称轴与 x 轴的交点（1）求直线 AB 和抛物线的解析式；（2）如图，P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，求点 P 到直线 AB 距离的最大值；（3）如图，在对称轴 AC 的右侧作ACD30交抛物线于点 D，在 y 轴上是否存在点 Q，使CQD60？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 20如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），B（3，0），与 y 轴交于点 C，连接 BC（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 D（m，0）为线段 OB 上一动点（不与 O，B 重合），过点 D 作平行于 y 轴的直线交 BC 于点 M，交抛物线于点 N，是否存在点 D 使点 M 为线段 DN 的三等分点，若存在求出点 D 坐标，若不存在请说明理由；（3）过点 O 作直线 lBC，点 P，Q 为第一象限内的点，且 Q 在直线 l 上，P 为 l 上方抛物线上的点，是否存在这样的点 P，Q，使PQBCOB，若存在直接写出 P，Q 坐标，若不存在请说明理由 参考答案 1解：（1）yx22x3（x3）（x+1），由题意得，A（1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4）在 RtOBC 中，OCOB3，OBC 为等腰直角三角形，OBC45（2）如图 1，过点 D 作 DHx 轴于 H，此时 S四边形OCDBS梯形OCDH+SHBD，OH1，OC3，HD4，HB2，S梯形OCDH（OC+HD）OH，SHBDHDHB4，S四边形OCDB SOCES四边形OCDB，OE5，E（5，0）设 lDE：ykx+b，D（1，4），E（5，0），解得，lDE：yx5 DE 交抛物线于 P，设 P（x，y），x22x3x5，解得 x2 或 x1（D 点，舍去），xP2，代入 lDE：yx5，P（2，3）（3）如图 2，设 lBC：yax+t（a0），B（3，0），C（0，3），解得，lBC：yx3 F 在 BC 上，yFxF3，P 在抛物线上，yPxP22xP3，线段 PF 长度yFyPxF3（xP22xP3），xPxF，线段 PF 长度xP2+3xP（xP）2+，（1xP3），当 xP时，线段 PF 长度最大为 2解：（1）设二次函数的解析式为 ya（x1）22，A（3，0）在抛物线上，0a（31）22 a，y（x1）22，（2）抛物线与 y 轴交点 B 的坐标为（0，），设直线 AB 的解析式为 ykx+m，直线 AB 的解析式为 yx P 为线段 AB 上的一个动点，P 点坐标为（x，x）（0 x3）由题意可知 PEy 轴，E 点坐标为（x，x2x），0 x3，PE（x）（x2x）x2+x，（3）由题意可知 D 点横坐标为 x1，又 D 点在直线 AB 上，D 点坐标（1，1）当EDP90时，AOBEDP，过点 D 作 DQPE 于 Q，xQxPx，yQ1，DQPAOBEDP，又 OA3，OB，AB，又 DQx1，DP（x1），解得：x1（负值舍去）P（1，）（如图中的 P1点）；当DEP90时，AOBDEP，由（2）PEx2+x，DEx1，解得：x1，（负值舍去）P（1+，1）（如图中的 P2点）；综上所述，P 点坐标为（1，）或（1+，1）3解：（1）抛物线 yax2+x+c（a0）与 x 轴交于 A（2，0），B（1，0）两点，解得：，该抛物线的解析式为 yx2+x2；（2）如图 1，过点 A 作 AE1AC，使 AE1AC，连接 AE1交抛物线于点 D1，过点 E1作 E1F1x 轴于点 F1，yx2+x2，令 x0，得 y2，C（0，2），又 A（2，0），OAOC2，OAC 是等腰直角三角形，AC2，OAC45，AE1AC，CAE190，E1AF145，AF1E190，AE1F1是等腰直角三角形，AF1E1F1AE1，OF1OAAF12，E1（，），设直线 CE1解析式为 ykx+b，则，解得：，直线 CE1解析式为 yx2，联立方程组得，解得：（舍去），D1（，），同理可得：D（，），ACD 为锐角，且 tanACD，xD，又点 D 是抛物线上第三象限内的一点，2xD；（3）+是定值理由如下：设 M（x1，y1），N（x2，y2），由，得 x2+（1k）x0，x1+x2k1，x1x2，y1kx1+2，y2kx2+2，y1y2k（x1x2），MN 1+k2，点 P 是直线 ykx+2 上一定点，P（，2），PM ，PN ，PMPN（1+k2）（1+k2）（1+k2）（1+k2）MN，+4，故+是定值 4解：（1）A 的坐标为（1，0），OA1，OC2OA，OC2，C 的坐标为（0，2），将点 C 代入抛物线 yx2+x+（m0），得2，即 m4，抛物线对应的函数表达式为 yx2+x+2；（2）如图，过 P 作 PHy 轴，交 BC 于 H，由（1）知，抛物线对应的函数表达式为 yx2+x+2，m4，B、C 坐标分别为 B（4，0）、C（0，2），设直线 BC 解析式为 ykx+n，则，解得，直线 BC 的解析式为 yx+2，设点 P 的坐标为（m，m2+m+2）（0m4），则 H（m，m+2），PHm2+m+2（m+2）m2+2m（m24m）（m2）2+2，SPBCSCPH+SBPH，SPBCPH|xBxC|（m2）2+24（m2）2+4，当 m2 时，PBC 的面积最大，此时点 P（2，3）；（3）存在，理由如下：直线 yx+b 与抛物线交于 B（m，0），直线 BG 的解析式为 yxm，抛物线的表达式为 yx2+x+，联立解得，或，G 的坐标为（2，m1），抛物线 yx2+x+的对称轴为直线 x，点 F 的横坐标为，若 BG 为边，不妨设 E 在 x 轴上方，如图，过点 E 作 EHx 轴于 H，设 E 的坐标为（t，t2+t+），GBE90，OBGBEH，tanOBGtanBEH，解得：t3 或 m（舍），E 的坐标为（3，2m6），由平移性质，得：B 的横坐标向左平移 m+2 个单位得到 G 的横坐标，EFBG 且 EFBG，E 横坐标向左平移 m+2 个单位，得：到 F 的横坐标为 3（m+2）m+1，m+1，解得 m1，E（3，4），F（0，），这说明 E 不在 x 轴上方，而在 x 轴下方；若 BG 为对角线，设 BG 的中点为 M，由中点坐标公式得，M 的坐标为（，），矩形对角线 BG、EF 互相平分，M 也是 EF 的中点，E 的横坐标为，E 的坐标为（，），BEG90，EM，整理得：16+（m2+4m+1）220（m+2）2，变形得：16+（m+2）23220（m+2）2，换元，令 t（m+2）2，得：t226t+250，解得：t1 或 25，（m+2）21 或 25，m0，m3，即 E 的坐标为（0，），F 的坐标为（1，4），综上，即 E 的坐标为（0，），F 的坐标为（1，4）或 E（3，4），F（0，）5解：（1）x（2x+1）（x+2）2整理得，x23x40，解得 x11，x24，点 C、D 的坐标是 C（1，0），D（4，0），1.5，点 M 的坐标是（1.5，0），故答案为：C（1，0），D（4，0），（1.5，0）；（2）如图，连接 AM，则 AM2.5，在 RtAOM 中，AO2，点 A 的坐标是（0，2），PA 与M 相切，AMPA，MAO+PAO90，又AMO+MAO，AMOPAO，在AOM 与POA 中，AOMPOA，即，解得 PA；（3）存在 如图，连接 AC、AD，CAD90，在ACO 与DCA 中，ACODCA，存在点 Q，与点 D 重合时，点 Q、A、C 三点构成的三角形与AOC 相似，此时，设过点 A、C、Q 的抛物线是 yax2+bx+c，则，解得，过 A、C、Q 三点的抛物线的解析式为：yx2+x+2 如图，连接 AM 并延长交M 于 Q，连接 CQ，AQCADC，ADCCAO，AD是M 直径，ACQ90AOC，AOCQCA，A（0，2），M（1.5，0），Q（3，2），同上的方法，过 A、C、Q 三点的抛物线的解析式为：yx2+x+2 6解：（1）E（2，3）在抛物线 yax23ax2 上，4a+6a23，解得：a，抛物线解析式为 yx2x2 （2）证明：yx2x20 时，解得：x11，x24，A（1，0），B（4，0），x0 时，yx2x22，C（0，2），点 D 在抛物线上，且 CDx 轴，D（3，2），设直线 DE 解析式为 ykx+b 解得：，直线 DE：yx+1，点 P 为第一象限抛物线上一点，设点 P 坐标为（t，t2t2）（t4），设直线 PE 解析式为 ycx+d，解得：，直线 PE：yx+t2，直线 PE 与 y 轴交点 G（0，t2），PFCD 于点 F，F（t，2），设直线 FG 解析式为 yex+t2，把点 F 代入得：te+t22，解得：e1，FGDE，（3）延长 FO、PE 相交于点 N，过点 M 作 MGPF 于点 G，过点 N 作 NHMG交 GM 的延长线于点 H，FGMMHN90，FMPE 于 M，FMN90，FMG+NMHMNH+NMH90，FMGMNH，OFM45，MNF180FMNOFM45，FMMN，在FGM 与MHN 中，FGMMHN（AAS），FGMH，MGNH，F（t，2），直线 OF：yx，点 M 在直线 PE：yx+t2 上，设 M（m，m+t2），MGtm，FGm+t2（2）m+t，解得：，N（，），MHm，NHm+t2，解得：（舍去），yP36627，点 P 坐标为（6，7）解法二：过点 G 作 GHPF 于 H，交 FM 于 N，连接 ON，设 P（a，a2a2），设NHb，由GHPFHN，推出 NHPHb，证明 ONOC+NHb+2，在 RtOGN 中，则有（b+2）2（a2）2+（ab）2，b，又 bPHa（a5），a25a60，a6 或1（舍弃），P（6，7）7解：（1）令 yx+2 中 x0，得 y2；令 y0，得 x4，故 A（4，0），C（0，2）把 A、C 两点坐标代入抛物线 yx2+bx+c 中，则得：，解得：所以抛物线的表达式为 y（2）如图 1，过点 E 作 EHAB 于 H，当 y0 时，0，解得：x14，x21，故点 B 坐标为（1，0），A（4，0），SABC5，ABE 的面积与ABC 的面积之比为 4：5，SABE4 设点 E 坐标为（x，），4，解得：x 故点 E 坐标为（，）BH1+在 RtBHE 中，tanEBH 即DBA 的正切值为（3）AOCDFC90，分两种情况讨论：若DCFACO，则DCFACO，如图 2，过点 D 作 DGy 轴于点 G，过点 C 作 CQDC 交 x 轴于点 Q DCF+ACQ90，ACO+ACQ90，又ACO+CAO90，ACQCAO AQCQ 设点 Q 坐标为（m，0），则 m+4，解得：m 点 Q 坐标为（，0）QCO+DCG90，QCO+CQO90，DCGCQO 又DGCQOC90，DCGCQO，即 设 DG4t，GC3t，则点 D 的坐标为（4t，3t+2），将 D 点坐标代入 y，得：8t2+6t+23t+2，解得：t10（舍去），t2 故点 D 坐标为（，）若DCFCAO，则DCFCAO，如图 3，则 CDAO，点 D 的纵坐标为 2，把 y2 代入 y，得：2，解得：x13，x20（舍去）点 D 的坐标为（3，2）综上所述，点 D 坐标为（，）或（3，2）8解：（1）如答图 1 所示，作 AEy 轴交 BC 的延长线于点 E 令 yx2+2x3 中 y0，得方程 x2+2x30，解得：x13，x21；令 yx2+2x3 中 x0，得 y3，则得点 A（1，0），B（3，0），C（0，3）BOOC3，OA1 BOC90，BC 又 OCAE，即，解得：CE，故线段 BEBC+CE（2）如答图 2，在答图 1 基础上，作 PFAE 交 BC 于 F 设直线 BC 的解析式为 ykx+b，代入 B（3，0）、C（0，3），解得：则直线 BC 的解析式为 yx3 设点 P 坐标为（a，a2+2a3），点 F 坐标为（a，a3），点 E 坐标为（1，4），则 PFa3（a2+2a3）a23a，AE4 由 PFAE，可得DFPDEA，又BDP 与ABD 的底可分别看成是 DP、DA，而高相等，故，当 a时，有最大值，最大值为，此时点 P 坐标为（，）（3）存在以点 D、G、M、N 为顶点的四边形是菱形，理由如下：在（2）的条件下，点 P 坐标为（，）设直线 AP 表达式为 ymx+n，代入 A、P 坐标，得：，解得：则直线 AP 表达式为 y 联立，解得：，即点 D 坐标为（，）yx2+2x3（x+1）24，又将抛物线 yx2+2x3 沿射线 BC 方向平移个单位，实际上等同于将该抛物线向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位，则新抛物线的解析式为 yx25 联立，解得 即点 G 坐标为（1，4）（为了便于观察，现将图象简化，略去平移前的函数图象，只保留平移后的图象）平移后的二次函数解析式为 yx25，则对称轴为 x0，故点 M 坐标可设为（0，m），点 N 坐标（a，b）当 DG 为菱形的边时：以点 D 为圆心，DG 为半径画圆交 y 轴于点 M1、M2，作 DHy 轴于点 H，如答图 3 此时，DGDM1DM2，DH，M1HM2H 故可得点 M1（0，）、M2（0，）由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，即，解得：；或，解得：点 N1（，），N2（，）以点 G 为圆心，DG 为半径画圆交 y 轴于点 M3、M4，作 GIy 轴于点 I，如答图 4 此时，GDGM3GM4，GI1，IM4 故可得点 M3（0，）、M4（0，）由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，即，解得：；或，解得：点 N3（，），N4（，），当 DG 为菱形的对角线时，则 MN 为另一对角线，如答图 5 则有 M5DM5G，亦即 M5D2M5G2（10）2+（4m）2，解得：m 即点 M5（0，），由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，解得：，则点 N5坐标为（，3）综上所述，点 N 的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，3）9解：（1）令 x0，则 y8 OC8 又2OBOC，OB4 点 B 的坐标为（4，0），将 B（4，0）代入 yax2+2x+8，得 016a+8+8 解得 a1；（2）存在，理由：由（1）知，抛物线的表达式为 yx2+2x+8 当CPM 为直角时，则以 P、C、M 为顶点的三角形与MNB 相似时，则 PCx 轴，则点 P的坐标为（1，8）；当PCM 为直角时，在 RtOBC 中，设CBO，则 tanCBO2tan，则 sin，cos，在 RtNMB 中，NB413，则 BM3，同理可得，MN6，由点 B、C 的坐标得，BC4，则 CMBCMB，在 RtPCM 中，CPMOBC，则 PM，则 PNMN+PM6+，故点 P 的坐标为（1，），故点 P 的坐标为（1，8）或（1，）；（3）D 为 CO 的中点，则点 D（0，4），作点 C 关于函数对称轴的对称点 C（2，8），作点 D 关于 x 轴的对称点 D（0，4），连接 CD交 x 轴于点 E，交函数的对称轴于点 F，则点 E、F 为所求点，理由：G 走过的路程DE+EF+FCDE+EF+FCCD为最短，由点 C、D的坐标得，直线 CD的表达式为 y6x4，对于 y6x4，当 y6x40 时，解得 x，当 x1 时，y2，故点 E、F 的坐标分别为（，0）、（1，2）；G 走过的最短路程为 CD2；（4）存在，理由：当点 Q 在 y 轴的右侧时，设点 Q 的坐标为（x，x2+2x+8），故点 Q 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 N，交过点 C 与 x 轴的平行线于点 M，MQC+RQN90，RQN+QRN90，MQCQRE，ANQQMC90，QRQC，ANQQMC（AAS），QNCM，即 xx2+2x+8，解得 x（不合题意的值已舍去），故点 Q 的坐标为（，）当点 Q 在 y 轴的左侧时，同理可得，点 Q 的坐标为（，）综上，点 Q 的坐标为（，）或（，）10解：（1）设直线 AC 的函数表达式为：ykx+c，抛物线 yax2+bx，交 y 轴于点 A，A（0，），将 A（0，），C（5，0）分别代入 ykx+c，得：，解得：，直线 AC 的函数表达式为：yx，（2）抛物线 yax2+bx经过 B（1，0），C（5，0）两点，解得：，抛物线的解析式为 yx2x，yx2x（x2）24，顶点 D 的坐标为（2，4）；（3）如图 1，GHK 为直角三角形，且点 R，点 G 分别位于直线 CD 的两侧，GHK90或HGK90或GKH90，当GHK90时，GHD90，点 R 落在直线 DC 上，不符合题意，当HGK90时，DGHHGK90，点 R，点 G 位于直线 CD 的同侧，不符合题意，当GKH90时，点 R，点 G 分别位于直线 CD 的两侧，符合题意，GKH90，DGHRGH，过点 H 作 HLDG 于点 L，则 HLHK，D（2，4），DGx 轴，G（2，），F（2，0），DG（4），CF523，DF4，CD5，DFCGKH90，GDKCDF，GDKCDF，即，GK，DK，SGKH+SGDHSGDK，HK+HL，故答案为：；DPQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形，PQDQ 或 PQDP，当 PQDQ 时，如图 2，由旋转知：点 H 到 PQ、DQ 的距离相等，QHDP，DHHP，由知 HLHK，HLCF，即，DL，L 的纵坐标为4，即 H 的纵坐标为，H 为 D、P 的中点，P 的纵坐标为，当 PQDP 时，如图 3，点 P 为 DQ 的垂直平分线与 CD 的交点，H（，），经过点 H 平行 MN 的直线为 yx+，点 H 到直线 MN 的距离为，直线 MN 的解析式为 yx，直线 CD 的解析式为 yx，P（，）；综上所述，点 P 的纵坐标为或 11 解：（1）将点 A、C 的坐标代入抛物线的表达式得：，解得：，故抛物线的解析式为：yx2+x+2；（2）如图 1，连接 CE、CF、FO，CD 是直径，CED90，即 CEDE，又DFDE，FDCECDEODBOA，tanFDCtanBOA；（3）如图 2，连接 FO，则FOGFCD，CD 是直径，CFD90，DFDE，FDE90 FCDE，FCDCDECOE，FOGFCDCDECOE，tanFOGtanCOEtanCOB，故直线 OF 的表达式为：yx，联立并解得：，故点 F（1，）；过点 F 作 y 轴的平行线 GH，交 x 轴于点 G，交过点 C 与 x 轴的平行线于点 H，FG，CH1，HF2，HFC+GFD90，HFC+HCF90，HCFGFD，又CHFFGD90，CHFFGD，即，解得：GD，OD1，故点 D 的坐标为：（，0）；如图 3，当点 D、O 重合时，连接 CF、BF，则 BF 扫过的面积为BOF 的面积，CFO90，过点 F 作 y 轴的平行线 HG，交 x 轴于点 G，交过点 C 与 x 轴的平行线于点 H，由同理可得：CHFFGO，则，由知 tanFOG，设 FG3a，则 OG2aHC，HF2GF23a，解得：a；在 RtFOG 中，FOa，同理在 RtAOB 中，OB，OFOE，BF 扫过的面积SBOFBOFO3，故 BF 扫过的面积为 3 12解：（1）抛物线顶点坐标为（1，4），可设抛物线解析式为 ya（x+1）24，抛物线经过 B（2，3），3a4，解得 a1，抛物线为 yx2+2x3；（2）设直线 OB 解析式为 ykx，由题意可得32k，解得 k，直线 OB 解析式为 yx，设 M（t，t2+2t3），MNs，则 N 的横坐标为（ts），纵坐标为（ts）MNx 轴，t2+2t3（ts），得 st2t+2（t+）2+当 t时，MN 有最大值，最大值为，此时点 M 的坐标是（，）；（3）EF+EG8 理由如下：如图 2，过点 P 作 PQy 轴交 x 轴于 Q，在 yx2+2x3 中，令 y0 可得 0 x2+2x3，解得 x3 或 x1 C（3，0），D（1，0）设 P（t，t2+2t3），则 PQt22t+3，CQt+3，DQ1t PQEF，CEFCQP EFPQ（t22t+3）同理EGDQPD 得 EGPQ（t22t+3），EF+EG（t22t+3）+（t22t+3）2（t22t+3）（+）2（t22t+3）8，当点 P 运动时，EF+EG 为定值 8；由知，EF+EG8，则 tanECF+tanEDG4 13解：（1）将 A（4，0）、B（1，3）代入 yax2+bx 中，得 解得 抛物线 C 解析式为：yx24x，配方，得：yx24x（x+2）2+4，顶点为：G（2，4）；（2）抛物线 C 绕点 O 旋转 180，得到新的抛物线 C 新抛物线 C的顶点为：G（2，4），二次项系数为：a1 新抛物线 C的解析式为：y（x2）24x24x 将 A（4，0）代入 ykx中，得 04k，解得 k，直线 l 解析式为 yx，设 D（m，m24m），D、E 关于原点 O 对称，ODOE DE2EM OM2OD，过点 D 作 DFx 轴于 F，过 M 作 MRx 轴于 R，OFDORM，DOFMOR ODFOMR 2 OR2OF，RM2DF M（2m，2m2+8m）2m2+8m（2m），解得：m13，m2，m2 m 的值为：3；（3）由（2）知：m3，D（3，3），E（3，3），OE3，如图 3，连接 BG，在ABG 中，AB2（1+4）2+（30）218，BG22，AG220 AB2+BG2AG2 ABG 是直角三角形，ABG90，tanGAB，DEPGAB tanDEPtanGAB，在 x 轴下方过点 O 作 OHOE，在 OH 上截取 OHOE，过点 E 作 ETy 轴于 T，连接 EH 交抛物线 C 于点 P，点 P 即为所求的点；E（3，3），EOT45 EOH90 HOT45 H（1，1），设直线 EH 解析式为 ypx+q，则，解得 直线 EH 解析式为 yx，解方程组，x或，点 P 的横坐标为：或 14（1）解：当 a2 时，yx24x+1，当 x0 时，y2，C（0，1），当 y0 时，x24x+10，解得：x12+，x22，A（2，0），B（2+，0）；（2）解：当 y0 时，x22ax+10，解得：x1a+，x2a，A（a，0），B（a+，0），OAa，如图 1，过点 A 作 AFAC 于 A，过点 F 作 FGx 轴于 G，ACB45，ACF 是等腰直角三角形，ACAF，CAFAOC90，ACO+CAOCAO+FAG90，FAGACO，COAAGF90，COAAGF（AAS），AGOC1，FGOAa，F（a+1，a），C（0，1），设直线 BC 的解析式为：ykx+1，B（a+，0），（a+）k+10，k，BC 的解析式为：y+1，点 F 在直线 BC 上，a+1，a1，a；（3）证明：yx22ax+1（xa）2+1a2，D（a，1a2），如图 2，连接 PA，PD，CEAB，CE 是P 的直径，P（a，1），P 的半径是 a，由勾股定理得：APa，点 A 在P 上，AD2（aa）2+（1a2）2a4a2，PD2（1a21）2a4，AD2+AP2a4a2+a2a4，AD2+AP2PD2，APD 是直角三角形，且PAD90，PAAD，直线 AD 与P 相切 15（1）证明：令 x0，可得，令 y0，可得，解得 x12，x26，A（2，0），B（6，0），C（0，6），OB6，OA2，OC6，OBOC6，BOC90，BOC 为等腰直角三角形；（2）解：过点 A 作 AEBC 交 BC 于点 E，交 CD 于 F，连接 BF，如图，BOC 为等腰直角三角形，AO2，AB624，ABE45，AEBC，AEB 是等腰直角三角形，BC 平分ACD，ACBFCB，即根据“三线合一”可知：，即，AF2AB2+BF2，AFB 是等腰直角三角形，即 BFOB，F（6，4），利用待定系数法可得直线 CF 的解析式为：，联立，解得（舍去），；（3）解：B（6，0），C（0，6），利用待定系数法即可求得直线 BC 的解析式为：yx+6，设过点 D 的坐标为，过点 D 与直线 BC 平行的直线解析式为 yx+b，过 D 点作 y 轴的平行线交 BC 于点 P，如图，联立，可得，解得 x1x23，即点 D 的坐标为，根据 DPCD 可得 P 点横坐标为 3，即可得 P（3，3），当 DE 有最大值时，点 D 的坐标为，P（3，3），即：，当 x3 时，DPOC，DPEOCB45，DEBC，PDE 为等腰直角三角形，此时 DE 的最大值为；设点 C 关于 OF 的对称点为点 T（且点 T 在抛物线上），则有 OF 垂直平分线段 CT，即 TOOC6，由图可知抛物线上除点 C、点 B 外，再无其他点到原点的距离为 6，点 T 与点 B 重合