2022-2023学年九年级数学中考复习《三角形综合解答题》专题提升训练(附答案).pdf

2022-2023 学年九年级数学中考复习三角形综合解答题专题提升训练（附答案）1 如图，已知ABC 和CDE 均为等边三角形，且点 B、C、D 在同一条直线上，连接 AD、BE，交 CE 和 AC 分别于 G、H 点，连接 GH（1）求证：ADBE；（2）求AFB 的度数；（3）连接 FC，猜想：AF、FC 与 BF 的关系，并加以证明 2已知：在等边ABC 中，点 E 是 AB 边所在直线上的一个动点（E 与 A、B 两点均不重合），点 D 在 CB 的延长线上，且 EDEC（1）如图，当 E 是 AB 边的中点时，求证：AEBD；（2）如图，当 E 是线段 AB 边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；（3）若点 E 是线段 AB 的延长线上任一点，EDEC，AE2，AC1，求 CD 的长 3规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”（1）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，请写出图中两对“等角三角形”；（2）如图 2，在ABC 中，CD 为ACB 的平分线，A40，B60求证：CD为ABC 的“等角分割线”；（3）在ABC 中，若A50，CD 是ABC 的“等角分割线”，请求出所有可能的ACB 的度数 4如图，平面直角坐标系中有点 B（1，0）和 y 轴上一动点 A（0，a），其中 a0，以点A 为直角顶点在第二象限内作等腰直角ABC，设点 C 的坐标为（c，d）（1）当 a2 时，则点 C 的坐标为（，）；（2）动点 A 在运动的过程中，试判断 c+d 的值是否发生变化，若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）当 a3 时，在坐标平面内是否存在一点 P（不与点 C 重合），使PAB 与ABC 全等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 5 如图 1，已知 RtABC 中，BAC90，点 D 是 AB 上一点，且 AC8，DCA45，AEBC 于点 E，交 CD 于点 F（1）如图 1，若 AB2AC，求 AE 的长；（2）如图 2，若B30，求CEF 的面积；（3）如图 3，点 P 是 BA 延长线上一点，且 APBD，连接 PF，求证：PF+AFBC 6如图，ABC 中，BAC120，ABAC，点 D 为 BC 边上一点（1）如图 1，若 ADAM，DAM120 求证：BDCM；若CMD90，求的值；（2）如图 2，点 E 为线段 CD 上一点，且 CE1，AB2，DAE60，求 DE 的长 7【证明体验】（1）如图，在ABC 和ADE 中，BACDAE，ABAC，ADAE，连接 BD，CE 求证：BDCE；【思考探究】（2）如图，在的条件下，若 AB4，BC3，ABD90，BDDE，求 CE 的长；【拓展延伸】（3）如图，在四边形 ABCD 中，ABAC，BC4，CD8，BD10，BAC2ADC，求的值 8【基础巩固】（1）如图 1，ABC 为等腰直角三角形，ABCADBBEC90，求证：ADBBEC【尝试应用】（2）如图 2，在（1）的条件下，连结 AE，AEAC10，求 DE 的长【拓展提高】（3）如图 3，在 RtABC 中，D，E 分别在直角边 AB，BC 上，AD2DB2CE，2BAC+BED135，求 tanBAC 9问题提出 如图（1），ABC 和DEC 都是等腰直角三角形，其中ACBDCE90，BCAC，ECDC，点 E 在ABC 内部，直线 AD 与 BE 交于点 F线段 AF，BF，CF 之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化如图 2，当点 D，F 重合时，直接写出表示 AF，BF，CF 之间的数量关系的等式：；（2）再探究一般情形如图 1，当点 D，F 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立（提示：过点 C 作 CGCF，交 BF 于点 G）问题拓展 如图 3，若ABC 和DEC 都是含 30的直角三角形，有ACBDCE90，BACEDC30，点 E 在ABC 内部，直线 AD 与 BE 交于点 F直接写出一个等式，表示线段 AF，BF，CF 之间的数量关系 10在ABC 中，B90，D 为 BC 延长线上一点，点 E 为线段 AC，CD 的垂直平分线的交点，连接 EA，EC，ED（1）如图 1，当BAC50时，则AED ；（2）当BAC60时，如图 2，连接 AD，判断AED 的形状，并证明；如图 3，直线 CF 与 ED 交于点 F，满足CFDCAEP 为直线 CF 上一动点当PEPD 的值最大时，用等式表示 PE，PD 与 AB 之间的数量关系为 ，并证明 11（1）方法呈现：如图：在ABC 中，若 AB6，AC4，点 D 为 BC 边的中点，求BC 边上的中线 AD 的取值范围 解决此问题可以用如下方法：延长 AD 到点 E，使 DEAD，再连接 BE，可证ACDEBD，从而把 AB、AC，2AD集中在ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线 AD 的取值范围是 （直接写出范围即可）这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；（2）探究应用：如图，在ABC 中，点 D 是 BC 的中点，DEDF 于点 D，DE 交 AB 于点 E，DF 交AC 于点 F，连接 EF，判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，AF 与 DC 的延长线交于点 F，点 E 是 BC 的中点，若 AE 是BAF 的角平分线，试探究线段 AB、AF、CF 之间的数量关系，并说明理由 12已知：如图，ABC 中，ABAC，A45，E 是 AC 上的一点，ABEABC，过点 C 作 CDAB 于 D，交 BE 于点 P（1）直接写出图中除ABC 外的所有等腰三角形；（2）求证：BDPC；（3）点 H、G 分别为 AC、BC 边上的动点，当DHG 周长取最小值时，求HDG 的度数 13平面直角坐标系中，点 B 在 x 轴正半轴，点 C 在 y 轴正半轴，ABC 是等腰直角三角形，CACB，ACB90，AB 交 y 轴负半轴于点 D（1）如图 1，点 C 的坐标是（0，4），点 B 的坐标是（8，0），直接写出点 A 的坐标；（2）如图 2，AEAB 交 x 轴的负半轴于点 E，连接 CE，CFCE 交 AB 于 F 求证：CECF；求证：点 D 是 AF 的中点；求证：SACDSBCE 14已知 CD 是ABC 的角平分线，点 E，F 分别在边 AC，BC 上，ADm，BDn，ADE与BDF 的面积之和为 S（1）填空：当ACB90，DEAC，DFBC 时，如图 1，若B45，m5，则 n ，S ；如图 2，若B60，m4，则 n ，S ；（2）如图 3，当ACBEDF90时，探究 S 与 m，n 的数量关系，并说明理由；（3）如图 4，当ACB60，EDF120，m6，n4 时，请直接写出 S 的大小 15如图 1，在ABC 中，A90，D 为 AC 边上一动点，过点 D 作 BD 的垂线，交 BC于点 P（1）若 BD 平分ABC，且 BD4，DP3，求 AD 的长；（2）如图 2，若 DBDP，且 P 是 BC 的中点，当 AB2 时，求 BP 的长；（3）如图 3，在 AC 上，用尺规作图的方法，找出另一点 E，使得BEP90（保留作图痕迹，不写作法）；（4）若 AB6，AC8，直接写出 BP 的最小值 16综合与探究 已知在 RtABC 中，ABAC，BAC90，D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与点 B，点 C 重合），以 AD 为边作 RtADE（其中 ADAE，DAE90），连接 CE（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求DCE 的度数（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段 BD，CD，DE 的数量关系，并说明理由（3）如图 3，当点 D 在边 CB 的延长线上时，AC，CE1，求线段 DE 的长 17【再现】如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，连结 DE可以得到：DEBC，且（不需要证明）【应用】（1）如图，在ABC 中，ABAC，点 D 是边 AB 上一点，DEBC 交 AC 于点 E，连结 BE，点 F、G、H 分别为 BE、DE、BC 的中点，求证：FGFH；（2）当GFH130时，A 的度数为 【拓展】如图，在 RtABC 中，ACB90，B30，点 D 为 AB 中点，将线段 DB 绕点 D 逆时针旋转 度得到线段 DB，其中 0180，连结 BC，取线段 BC的中点 E，连结 AE，设线段 AE 的长度为 m，若 AB4，则 m 的取值范围为 18如图 1，在ABC 中，ACB60BAC，点 D 在边 AC 上，F，G 在边 BC 上，连接 BD，直线 AF、DG 相交于点 H，FHGH，BEF2ACB（1）在图 1 中找出与CBD 相等的角，并证明；（2）图 1 中，若 BCAB，用等式表示图 1 中线段 BF 与 CG 的数量关系，并证明（3）若ABC90，AB3FG（如图 2），求的值（直接写出答案）19如图，在ABC 中，B90，AB11cm，BC8cm，点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm的速度沿 AB 向点 B 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发以每秒 2cm 的速度沿 BC 向点 C 匀速运动，到达点 C 后返回点 B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为 t 秒（1）当 t1 时，直接写出 P，Q 两点间的距离（2）是否存在 t，使得BPQ 是等腰三角形，若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由（3）是否存在 t，使得BPQ 的面积等于 10cm2，若存在，请求出 t 的值：若不存在，请说明理由 20通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图 1，BAD90，ABAD，过点 B 作 BCAC 于点 C，过点 D 作 DEAC于点 E由1+22+D90，得1D又ACBAED90，可以推理得到ABCDAE进而得到 AC ，BC 我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图 2，BADCAE90，ABAD，ACAE，连接 BC，DE，且 BCAF于点 F，DE 与直线 AF 交于点 G求证：点 G 是 DE 的中点；如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（2，4），点 B 为平面内任一点若AOB 是以 OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点 B 的坐标 参考答案 1（1）证明：ABC 和CDE 均为等边三角形，ACBC，ECDC，ACBECD60，ACB+ACEECD+ACE，ACDECB，ACDBCE（SAS），ADBE；（2）解：ACDBCE，CBECAD，AFBCBE+ADCCAD+ADCACB，ACB60，AFBACB60；（3）解：猜想：AF+FCBF，证明如下 在 BF 上取点 M，使 MFAF，连接 AM，由（2）得AFB60，则AFM 是等边三角形，AMAF，MAF60，BAC60，BAM+MAHMAH+CAF，BAMCAF，ABAC，BAMCAF（SAS），BMFC，BFFM+BMAF+FC 2（1）证明：ABC 为等边三角形，点 E 为 AB 的中点，ABCACB60，CE 平分ACB，AEBE，DECE，DECB30，ABCD+DEB，DEBABCD30，DDEB，BDBE，AEBD；（2）解：当点 E 为线段 AB 上任意一点时，（1）中的结论成立，理由如下：如图，过 E 作 EFBC 交 AC 于 F，ABC 是等边三角形，ABCACBA60，ABACBC，AEFABC60，AFEACB60，即AEFAFEA60，AEF 是等边三角形，AEEFAF，ABCACBAFE60，DBEEFC120，D+BEDFCE+ECD60，DEEC，DECD，BEDECF，在DEB 和ECF 中，DEBECF（AAS），BDEF，AEBD；（3）解：如图，过 E 作 EFBC 交 AC 的延长线于 F，则AEF 为等边三角形，ECDCEF，AFAEEF2，F60，ECED，DECD，CEFD，ABC 是等边三角形，BCAC1，ABC60，DBEABC60，FDBE，在CEF 和EDB 中，CEFEDB（AAS），BDEF2，CDBD+AC2+13 3（1）解：ACB90，CDAB，ACBADCBDC90，A+BA+ACDB+BCDACD+BCD90，ABCD，BACD，ABC 与ACD；ABC 与BCD；ACD 与BCD 是“等角三角形”（任意写出两对“等角三角形”即可）（2）证明：在ABC 中，A40，B60，ACB180AB80，CD 为角平分线，ACDA，DCBA，CDAD，ACD 是等腰三角形，在DBC 中，DCB40，B60，BDC180DCBB80，BDCACB，BCD 与ABC 是“等角三角形”，CD 为ABC 的等角分割线；（3）解：由题意，分以下四种情况：当ACD 是等腰三角形，DADC 时，ACDA50，ACBBDC50+50100；当ACD 是等腰三角形，DAAC 时，ACDADC65，BCDA50，ACB65+50115；当BCD 是等腰三角形，DCBD 时，；当BCD 是等腰三角形，DBBC 时，BDCBCD，设BDCBCDx，则B1802x，ACDB1802x，由三角形的外角性质得：A+ACDBDC，即 50+1802xx，解得，；综上，ACB 的度数为 100或 115或或 4解：（1）如图，过点 C 作 CEy 轴于 E，则CEAAOB，ABC 是等腰直角三角形，ACBA，BAC90，ACE+CAE90BAO+CAE，ACEBAO，在ACE 和BAO 中，ACEBAO（AAS），B（1，0），A（0，2），BOAE1，AOCE2，OE1+23，C（2，3），故答案为：2，3；（2）动点 A 在运动的过程中，c+d 的值不变 过点 C 作 CEy 轴于 E，则CEAAOB，ABC 是等腰直角三角形，ACBA，BAC90，ACE+CAE90BAO+CAE，ACEBAO，在ACE 和BAO 中，ACEBAO（AAS），B（1，0），A（0，a），BOAE1，AOCEa，OE1+a，C（a，1+a），又点 C 的坐标为（c，d），c+da+1+a1，即 c+d 的值不变；（3）存在一点 P，使PAB 与ABC 全等，分为三种情况：如 图，过 P 作 PE x 轴 于 E，则 PBA AOB PEB 90 ，EPB+PBE90，PBE+ABO90，EPBABO，在PEB 和BOA 中，PEBBOA（AAS），PEBO1，EBAO3，OE3+14，即 P 的坐标是（4，1）；如图，过 C 作 CMx 轴于 M，过 P 作 PEx 轴于 E，则CMBPEB90，CABPAB，PBACBA45，BCBP，CBP90，MCB+CBM90，CBM+PBE90，MCBPBE，在CMB 和BEP 中，CMBBEP（AAS），PEBM，CMBE，C（3，4），B（1，0），PE1，OEBEBO413，即 P 的坐标是（3，1）；如图，过 P 作 PEx 轴于 E，则BEPBOA90，CABPBA，ABBP，CABABP90，ABO+PBE90，PBE+BPE90，ABOBPE，在BOA 和PEB 中，BOAPEB（AAS），PEBO1，BEOA3，OEBEBO312，即 P 的坐标是（2，1），综合上述，符合条件的 P 的坐标是（4，1）或（3，1）或（2，1）5（1）解：如图 1 中，AB2AC，AC8，AB16，BAC90，BC8，AEBC，SABCBCAEACAB，AE （2）解：如图 2 中，在 CE 上取一点 T，使得 FJCJ，连接 FJ BAC90，B30，ACE903060，AEBC，AC8，CEACcos604，DCA45，FCEACEACD15，JFJC，JFCJCF15，EJFJFC+JCF30，设 EFm，则 FJJC2m，EJm，m+2m4，m4（2），EF4（2），SECF44（2）8（2）（3）证明：如图 3 中，过 A 点作 AMCD 于点 M，与 BC 交于点 N，连接 DN BAC90，ACAD，AMCD，AMDMCM，DAMCAMADMACD45，DNCN，NDMNCM，AEBC，ECF+EFCMAF+AFM90，AFMEFC，MAFECF，MAFMDN，AMFAMN，AMFDMN（ASA），AFDNCN，BAC90，ACAD，DAMCAMADMACD45，NAPCDB135，MAFMDN，PAFBDN，APDB，APFDBN（SAS），PFBN，AFCN，PF+AFCN+BN，即 PF+AFBC 6（1）证明：如图 1，BACDAM120，BACDACDAMDAC，即BADCAM，ABAC，ADAM，ABDACM（SAS），BDCM；解：BAC120，ABAC，BACD30，由知：ABDACM，ACMB30，DCM60，CMD90，CDM30，CMCD，BDCM，；（2）解：解法一：如图 2，过点 E 作 EGAC 于 G，过 A 作 AFBC 于 F，RtCEG 中，C30，CE1，EGCE，CG，ACAB2，AGACCG2，AFBC，AFC90，AFAC，DAEFAC60，DAFEAG，AFDAGE90，ADFAEG，即，DF，由勾股定理得：AE2AF2+EF2AG2+EG2，解得：EF2 或2（舍），DEDF+EF+2；解法二：如图 3，线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 120到 AM，连接 CM，EM，过 M 作 MQBC 于 Q，由（1）同理得ABDACM，ACMB30ACB，BADCAM，MCQ60，RtQMC 中，CQCM，由图 2 知：AB2，AF，由勾股定理得得：BFCF3，CE1，BE3+315，设 CQx，则 CMBD2x，QMx，EQx1，DAE60，BAC120，BAD+EACEAC+CAM60，DAEEAM，ADAM，AEAE，ADEAME（SAS），EMDE52x，由勾股定理得：EM2EQ2+QM2，（x）2+（x1）2（52x）2，解得：x，DE52x 7（1）证明：如图中，BACDAE，BADCAE，在BAD 和CAE 中，BADCAE（SAS），BDCE；（2）解：如图 2 中，ABAC，ADAE，BACDAE，BACDAE，可以假设 AEAD4k，DE3k，BDDE3k，ABD90，AD2AB2+BD2，（4k）242+（3k）2，解得，k（负根已经舍去），BD3k，CEBD，CE；（3）解：如图中，ABAC，将ABD 绕点 A 逆时针旋转得到ACG，连接 DG，则 BDCG10，BADCAG，BACDAG，ABAC，ADAG，ABCACBADGAGD，ABCADG，ABCADG，2ABC+BAC180，ABC+BAC90，ADCBAC，CDGADC+ADG90，DG6，8（1）证明：ABC 是等腰直角三角形，BABC，ABCADBBEC90，ABD+CBE90，CBE+BCE90，ABDBCE，在ADB 和BEC 中，ADBBEC（AAS）；（2）解：如图 2 中，过点 A 作 AHEC 于点 H AHEDDEH90，四边形 ADEH 是矩形，ADEH，ACAE，AHCB，EHCH，ADBBEC，ADBE，BDCE，BD2AD，设 ADx，则 DE3x，在 RtADE 中，AE2AD2+DE2，102x2+（3x）2，解得 x或（舍去），DE3x3；（3）解：如图 3 中，过点 C 作 CQCB，在 CQ 上截取 CK 使得 CKEB，连接 EK，DK，作DKQ 的角平分线交 BA 的延长线于点 T设 BDECa，AD2a，BECKb BDCE，BECK90，BECK，DBEECK（SAS），EDEK，BEDCKE，CKE+CEK90，CEK+BED90，DEK90，EKDEDK45，CKE+DKQ135，DEB+2BAC135，DKQ2BAC，KT 平分DKQ，DKTTKQ，BTCQ，TTKQBAC，KTAC，四边形 ATKC 是平行四边形，CKATb，TDKT，DTDK，DKDE，2a+b，整理得 2a2+4abb20，ab（负值已经舍去），tanBAC 9问题探究：（1）解：结论：BFAFCF；理由：如图 2，ACD+ACE90，ACE+BCE90，BCEACD，BCAC，ECDC，ACDBCE（SAS），BEAD，而点 D、F 重合，故 BEADAF，而CDE 为等腰直角三角形，故 DEEFCF，则 BFBDBE+EDAF+CF；即 BFAFCF；故答案为：BFAFCF；（2）证明：如图 1，由（1）知，ACDBCE（SAS），CAFCBE，BEAD，过点 C 作 CGCF 交 BF 于点 G，ACF+ACG90，ACG+GCB90，ACFBCG，CAFCBE，BCAC，BCGACF（ASA），GCFC，BGAF，故GCF 为等腰直角三角形，则 GFCF，则 BFBG+GFAF+CF，即 BFAFCF；问题拓展：解：结论：BFAF+2FC 理由：ABC 和DEC 都是含 30的直角三角形，BCAC，ECCD，ACBDCE，BCEACD，BCEACD，CADCBE，过点 C 作 CGCF 交 BF 于点 G，由（2）知，BCGACF，BGCAFC，则 BGAF，GCFC，在 RtCGF 中，GFCF，则 BFBG+GFAF+FC，BFAF+2FC 10解：（1）如图 1 中，点 E 是线段 AC，CD 的垂直平分线的交点，EAECED，EACECA，ECDEDC，ABC90，BAC50，ACB905040，ACD18040140，EAC+ACD+EDC280，AED36028080，故答案为：80 （2）结论：ADE 时等边三角形 理由：如图 2 中，点 E 是线段 AC，CD 的垂直平分线的交点，EAECED，EACECA，ECDEDC，ABC90，BAC60，ACB906030，ACD18030150，EAC+ACD+EDC300，AED36030060，ADE 时等边三角形；结论：PEPD2AB 理由：如图 3 中，作点 D 关于直线 CF 的对称点 D，连接 CD，DD，ED 当点 P 在 ED的延长线上时，PEPD 的值最大，此时 PEPDED，CFD+CFE180，CFDCAE，CAE+CFE180，ACF+AEF180，AED60，ACF120，ACBFCD30，DCFFCD30，DCD60，CDCD，CDD时等边三角形，DCDD，CDDADE60，ADCEDD，DADE，ADCEDD（SAS），ACED，B90，ACB30，AC2AB，PEPD2AB 故答案为：PEPD2AB 11解：（1）如图，延长 AD 到点 E，使 DEAD，连接 BE，D 是 BC 的中点，BDCD，ADCBDE，ACDEBD（SAS），BEAC4，在ABE 中，ABBEAEAB+BE，64AE6+4，2AE10，1AD5，故答案为：1AD5；（2）BE+CFEF，理由如下：延长 FD 至点 M，使 DMDF，连接 BM、EM，如图所示 同（1）得：BMDCFD（SAS），BMCF，DEDF，DMDF，EMEF，在BME 中，由三角形的三边关系得：BE+BMEM，BE+CFEF；（3）AF+CFAB，理由如下：如图，延长 AE，DF 交于点 G，ABCD，BAGG，在ABE 和GCE 中，CEBE，BAGG，AEBGEC，ABEGEC（AAS），CGAB，AE 是BAF 的平分线，BAGGAF，FAGG，AFGF，FG+CFCG，AF+CFAB 12（1）解：ADC，CPE 都是等腰三角形 理由：ABAC，A45，ABCACB（18045）67.5，ABEABC，ABE22.5，CDAB，ADCCDB90，ACD90A45，AACD45，DADC，ADC 是等腰三角形，CPEBPD90ABE67.5，CEP1804567.567.5，CPECEP67.5，CPCE，CPE 时等腰三角形，BCEBEC67.5，BCBE，BEC 是等腰三角形 （2）证明：如图 1 中，在线段 DA 上取一点 H，使得 DHDB，连接 CH CDBH，DBDH，CBCH，CBHCHB67.5，BCECEB67.5，CBHCHBBCEBEC67.5，BCCB，BCHCBE（AAS），BHEC，BDECPC（3）解：如图 2 中，作点 D 关于直线 BC 的对称点 M，作点 D 关于 AC 的对称点 F，连接 FM 交 BC 于点 G，交 AC 于点 H，此时DGH 的周长最小，DMCB，CDM90BCD9022.567.5，DADC，DFAC，CDFCDA45，MDF45+67.5112.5，M+F180112.567.5，GDGM，HFHD，MGDM，FHDF，DGHM+GDM2M，DHGF+HDF2F，DGH+DHG2（M+F）135，GDH180（DGH+DHG）45 13（1）解：如图 1 中，过点 A 作 AHy 轴于点 H 点 C 的坐标是（0，4），点 B 的坐标是（8，0），OC4，OB8，AHCCOBACB90，ACH+BCO90，BCO+CBO90，ACHCBO，在AHC 和COB 中，AHCCOB（AAS），AHOC4，CHOB8，OHCHCO844，A（4，4）；（2）证明：如图 2 中，CACB，ACB90，CABCBF45，AEAB，EACCABCBF45，CECF，ECFACB90，ECAFCB，在ECA 和FCB 中，ECAFCB（ASA），CECF；如图 2 中，过点 F 作 FNCD 于点 N，过点 A 作 AMCD 于点 M ECFEOCCNF90，ECO+FCN90，FCN+CFN90，ECOCFN，在EOC 和CNF 中，EOCCNF（AAS），OCFN，同法可证，BOCCMA（AAS），OCAM，在FND 和AMD 中，FNDAMD，DFAD；设 OEa，OBb，OCc，EOCCNF，BOCCMA，CNOEa，CMOBb，OCAMc，MNba，FNDAMD，DNDM（ba），CDDN+CN（a+b），SACDCDAM（a+b）AM（a+b）c，SBCEEBCO（a+b）OC（a+b）c，SACDSECB 14解：（1）如图 1 中，ACB90，B45，CACB，CD 平分ACB，ADDB5，DEAC，DFBC，AB45，ADE，BDF 都是等腰直角三角形，BFDF5，AEDE5，S55+5525，故答案为：5，25；如图 2 中，在 RtADE 中，AD4，A90B30，DEAD2，AEDE6，DEAC，DFBC，CD 平分ACB，DEDF2，BF2，BD2BF4，n4，S26+228，故答案为：4，8；（2）如图 3 中，过点 D 作 DMAC 于点 M，DNBC 于点 N DMAC，DNBC，CD 平分ACB，DMDN，DMCDNCMCN90，四边形 DNCM 是矩形，DMDN，四边形 DMCN 是正方形，MDNEDF90，MDENDF，DMEDNF，DMEDNF（ASA），SSADE+SBDFSADM+SBDN，把BDN 绕点 D 逆时针旋转 90得到右边ADH，ADH90，ADm，DHn，Smn；（3）如图 4 中，过点 D 作 DMAC 于点 M，DNBC 于点 N DMAC，DNBC，CD 平分ACB，DMDN，DMCDNC90，MDN180ACB120，EDFMDN120，EDMFDN，DMEDNF90，DMEDNF（AAS），SSADE+SBDFSADM+SBDN，把ADM 绕点顺时针旋转 120得到DNT，BDT60，DT6，DB4，过点 B 作 BHDT 于点 H，BHBDsin6042，SSBDT626 15解：（1）如图 1，作 DEBC 于 E，BD 平分ABC，A90，DEAD，BDDP，BDP90，BP5，DE，AD；（2）如图 2，取 AC 的中点 E，连接 PE，点 P 是 BC 的中点，PEAB2，PEAB，A90，DEP180A90，ADEP90，PDEDPE90，BDP90，BDE+ADB90，ADBDPE，BDPD，ABDEDP（AAS），ADPE1，BD，BP；（3）如图 3，作 BP 的垂直平分线 MN，交 BP 于 O，以 O 为圆心，OD 为半径画弧，交 AC 于，则点 E 就是求作的点；（4）如图 4，由（3）知，当以 BP 为直径的圆于 AC 只有一个公共点时，BP 最小，连接 OD，OA，作 AEBC 于 E，设 OBODa，由（1）知，AE，SAOB+SAOCSABC，+，a+6a48，a5，OB5，BP2OB10，BP 的最小值为：10 16解：（1）如图 1，BACDAE90，ABAC，BADCAE，ABCACB45，在ABD 和ACE 中，ABDACE（SAS），ABDACE45，DCEACB+ACE45+4590；（2）BD2+CD2DE2，理由如下：如图 2：BACDAE90，ABAC，BADCAE，ABCACB45，在ABD 和ACE 中，ABDACE（SAS），ABDACE45，BDCE，BCEACB+ACE45+4590ECD，CE2+CD2DE2，BD2+CD2DE2；（3）如图 3，BACDAE90，ABAC，BADCAE，ABCACB45，在ABD 和ACE 中，ABDACE（SAS），ABDACE180ABC135，BDCE1，DCEACEACB1354590，CE2+CD2DE2，AC，ABAC，BAC90，BCAC2，CDBC+BD3 DE 17【应用】（1）证明：ABAC，ABCC，DEBC，ADEABC，AEDC，ADEAED，ADAE，ABADACAE，BDCE，点 F、G 分别为 BE、DE 的中点，FGBDCE，点 F、H 分别为 BE、BC 的中点，FHCE，FGFH；（2）解：G、F 分别为 ED、EB 的中点，GFDB，GFEABE，同理，FHEC，FHBC，EFH 是FBH 的一个外角，EFHEBC+FHBEBC+C，GFHGFE+EFHABE+EBC+CABC+C130，A180（ABC+C）50，故答案为：50；【拓展】解：在 RtABC 中，ABC30，AB4，ACAB2，根据勾股定理得，BC2，如图，延长 CA 至 P 使 APAC，连接 PB，点 E 是 BC 的中点，PC2AC4，AEPBm，点 D 是 AB 的中点，ADBDAB2，由旋转知，BDBD2，0180，点 B在以 AB 为直径的半圆上，则点 B 和点 B重合时，PB最大为 PB，此时 m 最大，为PB，根据勾股定理得，PB2，m最大PB，连接 PD 交半圆于 Q，则点 B和点 Q 重合时，PQ 最小，此时，PB最小，即 m 最小，为PQ，取 AC 的中点，则 AMAC1，D 是 AB 的中点，DMBC，DMBC，AMDACB90，在 RtPMD 中，PMAP+AM3，根据勾股定理得，PD2，PQPDDQ22，m最小PQ1，1m，故答案为：1m 18解：（1）BAFCBD，理由如下：ACB60BAC，BAC+3ACB180，BAC+ACB+ABC180，ABC2ACB，又BEF2ACB，ABCBEF，ABD+DBCBAF+ABD，BAFDBC；（2）CGBF，理由如下：如图，作DCNBCA，延长 GD 交 CN 于点 N，NCG2ACB，又ABC2ACB，NCGABC，FHHG，HFGHGF，AFBCGD，ABC+AFB+BAF180，NCG+NGC+GNC180，BAFGNC，又BAFDBC，GNCDBC，又BCDNCD，CDCD，CDBCDN（AAS），BCCN，BAFGNC，ABCGCN，ABFNCG，CGBF；（3）如图，作DCNBCA，延长 GD 交 CN 于点 N，延长 BD 交 NC 于点 M，ABC90，ABC2ACB，ACB45，ACBBAC45，ABBC，BCN90，由（2）可得CDBCDN（AAS），BCCNAB，BEF2ACB，BEF90，ABCBCN90，ABCN，BAFN，ABFNCG（ASA），BFCG，AFGN，BGCF，AB3GFAC，BGGFCF，设 BGGFCFx，在 BCABCN3x，BFCG2x，AFx，cosBFE，EFx，GNCGBM，BDGNDM，CGDCMD，又ACBACN45，CDCD，CDGCDM（AAS），CGCM2x，GDDM，BMx，HGHF，HFGHGF，ABFBEF90，AFB+EBF90EBF+ABE，ABEAFB，ABEHGF，又ACBBAC45，ABDCGD，GDBDDM，DMGDx，19解：（1）当 t1 时，由题意可知：AP1cm，BQ2cm，AB11cm，PB10cm，B90，；（2）B90，BPQ 是等腰三角形时，只有 BPBQ，由题意可知：BP（11t）cm，Q 从点 B 出发以每秒 2cm 的速度沿 BC 向点 C 匀速运动，到达点 C 后返回点 B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，当 0t4 时，BQ2tcm；当 4t8 时，BQ（162t）cm；当 8t11 时，BQ（2t16）cm；BPBQ，11t2t，解得：，故不符合题意；11t162t，解得：t5，符合题意；11t2t16，解得：t9，符合题意；综上所述：t5 或 t9；（3）假设存在 t 使得BPQ 的面积等于 10cm2，由（2）可知：BP（11t）cm，当 0t4 时，BQ2tcm；当 4t8 时，BQ（162t）cm；当 8t11 时，BQ（2t16）cm；当 0t4 时，；解得：t1 或 t10（舍去）；当 4t8 时，解得：t6 或 t13（舍去）；当 8t11 时，因为0，故无解，综上所述，当 t1 或 t6 时BPQ 的面积等于 10cm2 20解：（1）1+22+D90，1D，在ABC 和DAE 中，ABCDAE（SAS）ACDE，BCAE，故答案为：DE；AE；（2）如图 2，作 DMAF 于 M，ENAF 于 N，BCAF，BFAAMD90，BAD90，1+21+B90，B2，在ABF 与DAM 中，BFAAMD，ABFDAM（AAS），AFDM，同理，AFEN，ENDM，DMAF，ENAF，GMDGNE90，在DMG 与ENG 中，DMGENG（AAS），DGEG，即点 G 是 DE 的中点；如图 3，ABO 和ABO 是以 OA 为斜边的等腰直角三角形，过点 B 作 DCx 轴于点 C，过点 A 作 DEy 轴于点 E，两直线交于点 D，则四边形 OCDE 为矩形，DEOC，OECD，由可知，ADBBCO，ADBC，BDOC，BDOCDEAD+2BC+2，BC+BC+24，解得，BC1，OC3，点 B 的坐标为（3，1），同理，点 B的坐标为（1，3），综上所述，AOB 是以 OA 为斜边的等腰直角三角形，点 B 的坐标为（3，1）或（1，3）