四川省树德中学2023届高三下学期2月开学考试数学（理科）含答案.pdf

高三开学数学（理科）第 1 页 共 2 页 树德中学高?树德中学高?2020 级高三下学期开学考试数学（理科）试题级高三下学期开学考试数学（理科）试题 一、选择题：本大题共?12?小题，每小题?5?分，共计?60?分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 一、选择题：本大题共?12?小题，每小题?5?分，共计?60?分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足2023(1 i)iz，则复数 z 在复平面上的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2.已知集合39Axx，2670Bx xx，则R()AB（）A5,7 B7,9 C3,7D1,37,9 3.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲乙两地区分别随机调查了 100 个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为12,m m；方差分别为12,s s，则下面正确的是（）A1212,mm ssB1212,mm ssC1212,mm ssD1212,mm ss4.血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数正常人体的血氧饱和度一般不低于 95%，在 95%以下为供氧不足 在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0eKtS tS描述血氧饱和度 S t（单位：%）随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中0S为初始血氧饱和度，K为参数已知060S，给氧 1 小时后，血氧饱和度为 70 若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（取ln61.79，ln71.95，ln122.48，ln192.94）（）A1.525 小时 B1.675 小时 C1.725 小时 D1.875 小时 5.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m时，相应水面的面积为21400km；水位为海拔1575m时，相应水面的面积为21800km，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m上升到1575m时，增加的水量约为（72.65）（）A931.0 10 mB931.2 10 mC931.4 10 mD931.6 10 m6.从分别写有 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是4 的倍数的概率为（）A15B13C25D237.如图，在矩形 ABCD 中，24ABBC，E 为边 AB 上的任意一点（包含端点），O 为 AC 的中点，则OB DE的取值范围是（）A2,10B2,8C2 8,D4,208.已知数列 na的通项公式为23nann，则“1”是“数列 na为递增数列”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9.设函数()sin3f xx在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A5 13,3 6B5 19,3 6C13 8,6 3D13 19,6610.已知函数 elnxfxx,关于x的方程 222120f xaf xaa至少有三个互不相等的实数解,则a的取值范围是（）A1,B1,01,C1,01,D,01,11.已知双曲线2222:10,0 xyHabab的右焦点为F，关于原点对称的两点A，B分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB，32BFFC，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A2B375C102D2 3312.已知函数 ,fxg x的定义域为R，g x为 g x的导函数，且 100gxf x，1004gf xx，若 g x为偶函数，则以下四个命题：1320ff；410f；13ff；202210f中一定成立的个数为（）A1B2 C3 D4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分 13.4(2)(1 3)xx的展开式中，2x的系数等于_（用数字作答）14.写出与圆221xy和22(3)(4)16xy都相切的一条直线的方程_15.已知ABC中，点 D 在边 BC 上，120,2,2ADBADCDBD当ACAB取得最小值时，BD_ 16.已知椭圆22:14xy，过椭圆右焦点 F 作互相垂直的两条弦AB,CD，则4ABCD的最小值为_ 高三开学数学（理科）第 2 页 共 2 页 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分.17.已知等差数列 na的前n项和为*nSnN，公差0d 且512525,Sa a a成等比数列(1)求数列 na的通项公式；(2)若cos nnbSn，求数列 nb的前n项和nT 18.4 月 23 日是“世界读书日”读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界为了丰富校园生活，展示学生风采，成都市树德中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动 活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测通过随机抽样得到 100 名学生的检测得分（满分：100 分）如下表：40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100 男生 2 3 5 15 18 12 女生 0 5 10 10 7 13(1)若检测得分不低于 70 分的学生称为“阅读爱好者”完成下列 2 2 列联表 阅读爱好者 非阅读爱好者 总计 男生 女生 总计 请根据所学知识判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为“阅读爱好者”与性别有关；(2)若检测得分不低于 80 分的人称为“阅读达人”现从这 100 名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3 人，记这三人中得分在90，100内的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 附：22n adbcKabcdacbd，其中nabcd 20P Kk 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.如图多面体ABCDEF中，四边形 ABCD 是菱形，60,ABCEA平面,ABCD EABF，22ABAEBF.(1)证明：/CF平面ADE；(2)在棱EC上有一点M（不包括端点），使得平面MBD与平面BCF的夹角 余弦值为155，求点M到平面BCF的距离.20.已知函数 ln2fxaxxx，aR.(1)讨论 fx的单调性；(2)证明：当1a 时，()e2e0 xf xf.21.已知抛物线C：220ypx p的焦点为F，过点F引圆M：221114xy的一条切线，切点为N，192FN.(1)求抛物线 C 的方程；(2)过圆 M 上一点 A 引抛物线 C 的两条切线，切点分别为 P，Q，是否存在点 A 使得APQ的面积为3 32？若存在，求点 A 的个数；否则，请说明理由.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为12332xmym（m 为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin6(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)直线l与y轴交于点P，与曲线C交于,A B两点，求2211|PAPB 23.已知函数()|2af xxax(1)当2a 时，求不等式 5f x 的解集；(2)设0,0ab且()f x的最小值为 m，若332mb，求32ab的最小值 高三开学数学（理科）第 3 页 共 2 页 树德中学高树德中学高 2020 级高三下学期开学考试数学（理科）试题参考答案级高三下学期开学考试数学（理科）试题参考答案 1.【答案】D【详解】由2023(1i)iz，所以2023i 1 iii11i1 i1 i1 i 1 i22z，所以 z 在复平面上的点位于第四象限.2.【答案】B【详解】解：因为2670|17Bx xxxx，所以R|1Bx x 或7x，所以R()AB 39xx|1x x或7x=|79xx.3.【答案】D【详解】解：由题意由频率分布直方图得：甲地区：40,60的频率为0.0150.020100.35，60,70的频率为0.025 100.25甲地区用户满意度评分的中位数10.50.356010660.25m 乙地区：50,70的频率为0.0050.020100.25，70,80的频率为0.035 100.35 乙地区用户满意度评分的中位数20.50.25701077.10.35m12mm 由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高，21ss.4.【答案】D【详解】由题意知：60e70K，60e95Kt，70lnln7ln660K，95lnln19ln1260Kt，则ln19ln122.942.482.875ln7ln61.95 1.79t，则给氧时间至少还需要1.875小时.5.【答案】C【详解】依题意可知棱台的高为157.5 148.59MN(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V棱台上底面积262140.0140 10S kmm，下底面积262180.0180 10Skmm，6612119140 10180 10140 180 1033Vh SSSS 67993332060 71096 18 2.65101.437 101.4 10(m)6.【答案】C【详解】从 6 张卡片中无放回抽取 2 张，共有 1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615 种情况，其中数字之积为 4 的倍数的有 1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66 种情况，故概率为62155.7.【答案】A【详解】以 A 为坐标原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则2,1O，0,2D，4,0B，设,0 04E mm，所以2,1OB，,2DEm，所以22OB DEm因为04m，所以222,10m，即2,10OB DE.8.【答案】C【详解】若数列 na为递增数列，则2211313nnaannnn2221 333nnnnn 21 30n，即321n由*Nn，所以32 1 131 ，反之，当1时，10nnaa，则数列 na为递增数列，所以“1”是“na为递增数列”的充要条件.9.【答案】C【详解】依题意可得0，因为0,x，所以,333x，要使函数在区间0,恰有三个极值点、两个零点，又sinyx，,33x的图象如下所示：则5323，解得13863，即13 8,6 3 10.【答案】C【详解】解:由题知 elnxfxx,(0 x 且1x),所以 2elneelnxfxx,故在0,1上,0fx,f x单调递减,且0lnx,即 0elnxfxx,在1,e上,0fx,f x单调递减,在e,上,0fx,f x单调递增,有 e1f,画 f x图象如下:由 222120f xaf xaa至少有三个互不相等的实数解,即 20f xaf xa至少有三个互不相等的实数解,即 f xa或 2f xa至少有三个互不相等的实数解,由图可知,当a0或1a 时,yf x与ya有一个交点,即 f xa有一个实数解,此时需要 2f xa至少有两个互不相等的实数解,即21a,解得1a 故10a 或1a;当01a时,f xa无解,舍;当1a 时,23a,此时 f xa有两个不等实数解,2f xa有两个不等实数解,共四个不等实数解,满足题意.综上:10a 或1a.故选:C 高三开学数学（理科）第 4 页 共 2 页 11.【答案】B【详解】令双曲线右焦点(c,0)F，则其左焦点(,0)Fc，连接,AF BF CF，如图，显然AB与FF互相平分于点 O，即四边形AFBF为平行四边形，又0AF FB，则90AFB，因此四边形AFBF为矩形，令|BFm，由32BFFC得3|2CFm，由双曲线定义知，3|2,|22BFam CFam，在RtBCF中，222|CFBCBF，即22235(2)()(2)22ammam，解得25ma，在RtBFF中，122|,|,|255BFa BFa FFc，而222|FFBFBF，于是得222212(2)()()55caa，解得375ca，所以双曲线的离心率375cea.12【答案】C【详解】100gxf x，1004gfxx，(4)()gxg x，又()g x是偶函数，()()gxg x，两边求导得()()gxg x，()g x是奇函数，()()g xgx，(0)0g，(4)()()gxg xgx，即(4)()gxg x，()g x是周期函数，4 是它的一个周期，(4)(0)0gg，()10()f xg x，()f x是周期函数，4 是它的一个周期，(0)10(0)10fg，(4)(0)10ff，(1)(3)10(1)10(3)20(1)(3)20ffgggg，()g x是周期为 4 的周期函数，又是奇函数，(2)(2)(2)ggg，(2)(2)0gg，(2)10(2)10fg，(2022)(505 4 2)(2)10fff，(1)(1)gg，(3)(1)gg，所以(3)(1)gg，(3)10(3)fg，(1)10(1)fg，因此(3)(1)20ff，不能得出(3)(1)ff，一定正确的有，共 3 个 13.【答案】120【详解】由题意分两种情况：222242 C13108xx，1324C1312xxx，故2x的系数为：108 12120，故答案为：120.14.【答案】3544yx 或7252424yx或1x 【详解】圆221xy的圆心为0,0O，半径为1，圆22(3)(4)16xy的圆心1O为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为22345，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为 l 时，因为143OOk，所以34lk ，设方程为3(0)4yxt t O 到 l 的距离|19116td，解得54t，所以 l 的方程为3544yx，当切线为 m 时，设直线方程为0kxyp，其中0p，0k，由题意22113441pkkpk，解得7242524kp，7252424yx 当切线为 n 时，易知切线方程为1x ，故答案为：3544yx 或7252424yx或1x .15.【答案】3 1【详解】设220CDBDm，则在ABD中，22222cos4 2ABBDADBD ADADBmm，在ACD中，22222cos44 4ACCDADCD ADADCmm，所以22222244212 14441243424211mmmACmmABmmmmmm12442 33211mm，当且仅当311mm 即3 1m 时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，3 1m.16.【答案】365【详解】由椭圆22:14xy可知右焦点(3,0)F，当直线AB 的斜率不存在时，AB方程为3x，则0CD y，此时14ABCD，,417ABCD；当直线AB的斜率存在时，设30AByk xk：，则 1:(3)CD yxk ，又设点1122(,(,)A x yB xy)，联立方程组22(3)44yk xxy，消去 y 并化简得2222(41)8 31240kxk xk，因为AB过椭圆右焦点 F，则必有0 ，21228 341kxxk，212212441kx xk，222121212|()()1|ABxxyykxx 42222219216(31)(41)1(41)kkkkk 224(1)41kk，由题意知，直线CD的斜率为1k，同理可得 224(1)|4kCDk，所以 221155|4(1)54kABCDk 所以 11(|4|445)()|ABCABDABCDCD444455|36(5)(52)|5CDABCDABABCDABCD，当且仅当126,55ABCD时取得等号，故综合以上，4ABCD的最小值为365.17.【详解】（1）由题意可知，15252155252aaSaa a，联立得1211124104ada adad，又0d，所以解得112ad所以1 2121nann.（2）由21nan，得21212nnnSn，则有22cos 1nnbnnn.高三开学数学（理科）第 5 页 共 2 页 当n为偶数时，22222212341nTnn 22222221314nn 2 1 2 1434311nnnn(1)1232n nn 22nn；当n为奇数时，222211122nnnnnnTTnn.综上所述：2222nnnnTnnn，为偶数，为奇数.18.【详解】（1）解：由题中表格可得 2 2 列联表如下 阅读爱好者 非阅读爱好者 合计 男生 45 10 55 女生 30 15 45 合计 75 25 100 由题意得22100(45 1530 10)3.0293.84125 75 55 45K,所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，不能认为“阅读爱好者”与性别有关（2）解：根据检测得分不低于 80 分的人称为“阅读达人”，则这 100 名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取80，90）内应抽取 3 人，90，100内应抽取 2 人，所以，X 的取值为 0，1，2，3211233232333555CC CC C1633012C10C105C10P XP XP X，所以 X 的分布列为；X 0 1 2 P 110 35 310 1336012105105E X .所以 X 的数学期望是65 19.【详解】（1）证明：取AE的中点G，连接,GD GF，因为BFEA，且12BFAE，所以/AG BF且AGBF，所以四边形AGFB是平行四边形，所以AGFB，又因为ABCD是菱形，所以ABDC，且ABDC，所以GFDC且GFDC，所以四边形CFGD是平行四边形，CF/DG，又CF 平面,ADE DG平面ADE，所以CF/平面ADE；（2）连接BD交AC于N，取CE中点P/,PN AE EA平面,ABCDPN平面ABCD，且CNBN，以N为原点，,NC NB NP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设在棱EC上存在点M使得平面MBD与平面BCF的夹角余弦值为155，1,0,2,0,3,0,1,0,0,0,3,1,1,0,0,0,3,0EBCFAD 则设2,0,2(01),1 2,0,2CMCEM，所以1 2,3,2,0,2 3,0,1,3,0,0,0,1DMDBBCFB 设平面DBM的一个法向量为,nx y z，则00n DMn DB即123202 30 xyzy，令0,2,1 2yxz，得2,0,1 2,n 设平面FBC的一个法向量为,ma b c，则00m BCm FB，即300abc，取1b，得3,1,0m，.222 315cos,52(2)(1 2)m nn mm n，解得13或1，又01，13 此时1222,0,0,3333MCM，点M到平面BCF的距离2 33323CM mdm 20.【详解】（1）()(ln1)2ln2f xaxax a ，当0a 时，20fx ，f x在0,上单调递减；当0a 时，2()ln20eaafxaxax，2()ln200eaafxaxax，则 f x在20,eaa上单调递减，在2e,aa上单调递增；当0a时，2()ln200eaafxaxax，2()ln20eaafxaxax，则 f x在20,eaa上单调递增，在2e,aa上单调递减.综上，当0a 时，f x在0,上单调递减；当0a 时，f x在20,eaa上单调递减，在2e,aa上单调递增；当0a时，f x在20,eaa上单调递增，在2e,aa上单调递减.高三开学数学（理科）第 6 页 共 2 页（2）当1a 时，()ln2f xxxx，ee lne2e(2)exxxxxfx，要证()e2e0 xf xf，即证()e2exf xf，令()e2e(2)e2exxg xfx，也就是要证明 f xg x，由（1）得 f x在0,e上单调递减，在e,上单调递增，所以()()f xf ee；()(1)exg xx，由()001()01g xxg xx ；，所以 g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以()(1)eg xg；minmax()()f xg x，又 f x在ex 处取得最小值，而 g x在1x 处取得最小值，所以 f xg x.综上，()e2e0 xf xf.21.【详解】（1）解：如图已知抛物线C：220ypx p的焦点为,02pF，圆M：221114xy的圆心1,1M，半径12r，则22191544MFFNr，过点 M 作MHx轴，则1MMHy，12pHF ，在R t M H F中，满足222MHHFMF，即221152p，解得2p，所以抛物线C的方程为24yx.（2）存在点 A 使得APQ的面积为3 32，点 A 的个数为 2，理由如下：设00,A xy，11,P x y，22,Q xy，由（1）可知抛物线C的方程为24yx，则24yx切点弦 PQ 的方程为002y yxx，斜率02ky，联立00224y yxxyx，得200240yy yx，所以1202yyy，1204y yx，所以2220021212011411644yyy yyPQykx，点00,A xy到直线PQ 的距离2200000220022444xyxxyydy，23002200020220043 344211164112224APQSPxyxQ dyxyyy，所以22000003434344yxyxx，即点 A 的轨迹为抛物线24yx往左平移34个单位长度，因为点 A 在圆 M 上，联立2200200111443xyyx，得420001832130yyy，显然01y 是一个根，因式分解得320000119130yyyy，令 321913fyyyy，1,12y，则 23219fyyy，若232190yy，由于224 3 190 ，则 0fy恒成立，所以 fy为增函数，32111191302222f，322222191303333f，根据零点存在定理函数 fy在1,12上存在一个零点，所以存在两个点 A 使得APQ的面积为3 32.22.【详解】（1）直线l的参数方程为12(332xmmym 为参数），可得3(1)yx，即330 xy；曲线:2 3sin2cosC化为直角坐标方程是222 32xyyx，即22(1)(3)4xy；所以直线l的普通方程是330 xy，曲线C的直角坐标方程为22(1)(3)4xy；（2）令0 x，得直线l与y轴交于点(0,3)P，把直线l的参数方程12(332xmmym 为参数），代入22(1)(3)4xy，得到2790mm，,A B对应的参数分别为12,m m,故127mm，129mm；所以222121221222222221212122111149 1831|8181mmmmmmPAPBmmmmmm.23.【详解】（1）当2a 时，21,2()213,2121,1xxf xxxxxx ，故 5f x 即2215xx 或2135x 或1215xx，解得32x，即原不等式的解集为 3,2.（2）由题意得3()|222aaf xxaxaa，即32ma，3333222mbab，即2ab，而3232()()552 6baababab，当且仅当32baba即62 6,2 64ab时等号成立，故32ab的最小值为52 62.