2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》综合解答题优生辅导训练(附答案).pdf

2022-2023 学年北师大版九年级数学下册 第 3 章 圆 综合解答题优生辅导训练（附答案）1 已知点 C 是ABD 的边 AB 上一点，且，AC 为O 的直径，BD 切O 于点 D，连接 DO 并延长交O 于点 E，连接 BE 交O 于点 M（1）求证：BADABD；（2）若O 的半径为 1，求线段 EM 的长 2如图，已知MON90，OT 是MON 的平分线，A 是射线 OM 上一点，OA8cm动点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AO 水平向左做匀速运动，与此同时，动点 Q 从点O 出发，也以 1cm/s 的速度沿 ON 竖直向上做匀速运动连接 PQ，交 OT 于点 B经过O、P、Q 三点作圆，交 OT 于点 C，连接 PC、QC设运动时间为 t（s），其中 0t8（1）求 OP+OQ 的值；（2）求四边形 QPCQ 的面积 3如图，ABC 内接于O，BC 是O 的直径，E 是上一点，弦 BE 交 AC 于点 F，弦ADBE 于点 G，连接 CD、CG，且CBEACG（1）求证：CAGABE；（2）求证：CGCD；（3）若 AB4，BC2，求 GF 的长 4如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，AD16，CE6，连接 OC，弦 AD 分别交 OC，BC 于点 E，F，其中点 E 是 AD 的中点（1）求证：CADCBA（2）求 AB 的长 5如图，ABC 内接于O，AEBC 于点 E，BDAC 于点 D，延长 BD 交O 于点 G，连接 AG（1）求证：AFAG；（2）连接 DE，若 DE，FAG105，求O 的半径 6如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AC 是O 直径，BEAD 交 DC 延长线于点E，若 BC 平分ACE（1）求证：BE 是O 的切线；（2）若 BE3，CD2，求O 的半径 7如图，在等腰ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与 BC 交于点 D，DEAC，垂足为 E，ED 的延长线与 AB 的延长线交于点 F（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若O 的半径为，BD3，求 CE 的长 8如图所示，已知 A，B 两点的坐标分别为（2，0），（0，2），点 P 是AOB 外接圆上一点，且AOP45，OP 与 AB 交于 C 点（1）求BAO 的度数；（2）求 OC 及 AC 的长；（3）求 OP 的长及点 P 的坐标 9如图，ABC 内接于O，ABAC，射线 AD 切O 于点 A，过点 B 作 BFAC，交O于点 E，交 AD 于点 F（1）求证：四边形 ACBF 为平行四边形；（2）连接 CE，延长 BO 交 FA 的延长线于点 G，若 BC6CE3，求 BG 的长 10如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若OFA60，半径为 4，在圆 O 上取点 P，使PDE15，求点 P 到直线 DE的距离 11如图，O 是ABC 的外接圆，AE 平分ABC 的外角DAC，OMAB，ONAC，垂足分别是点 M、N，且 OMON（1）求证：AEBC；（2）如图，延长 ON 交 AE 于 E 点，若 OE7，ON1，求O 的半径长 12在O 中，AB 是O 的直径，PA，PC 分别与O 相切于点 A，C，连接 AC，BC，点D 是上一点，连接 CD，OD，P48（）如图，若 CDAB，求BOD 的大小；（）如图，若AOD70，求ODC 的大小 13如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABCD，垂足是点 H，过点 C 作直线分别与 AB，AD 的延长线交于点 E，F，且ECD2BAD（1）求证：CF 是O 的切线；（2）如果 AB10，CD6，求 AE 的长；求AEF 的面积 14如图，AB 是O 的直径，AB13，C，D 在圆上，且 ACCD12，过点 C 的切线和DB 的延长线交于点 E（1）求证：OCDE；（2）求 DE 的长 15已知 AB 是O 直径，PC，PB 分别切O 于点 C，B（）如图，若A58，求P 的度数；（）如图，延长 OB 到点 D，使 BDOB，连接 PD，若DPC81，求D 的度数 16已知 PA，PB 分别与O 相切于点 A，B，C 为O 上一点，连接 AC，BC（）如图，若APB70，求ACB 的大小；（）如图，AE 为O 的直径交 BC 于点 D，若四边形 PACB 是平行四边形，求EAC的大小 17如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，ACB 的平分线交O 于 D，过点 D 作DEAB 交 CA 的延长线于 E（1）求证：DE 是O 的切线；（2）当 AC6，BC8 时，求 DE 的长 18 如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，EBC 的外接圆O 分别交 AB，CD 于点 M，N（1）求证：AD 与O 相切；（2）若 DN1，AD4，求O 的半径 r 19如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上不同于 A，B 的两点，CD 交 AB 于点 G，ABD2BDG，M 为 AC 上的点，过点 M 的弦 DNAB 于点 H过点 C 的切线交 DB的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 F（1）求证：DECF（2）当 BF5，BD3BE 时，求 MN 的长 20在ABC 中，C，设 BCa，ACb，ABcO 是ABC 的内切圆，P 分别与 CA 的延长线、CB 的延长线以及直线 AB 均只有一个公共点，O 的半径为 m，P的半径为 n（1）当 90时，b6，a8 时，m ，n （2）如图，90，则 m ，n .（用含有 a、b、c 的代数式表示）；并求出ABC 的面积（用含有 m、n 的代数式表示）（3）如图，60，求出ABC 的面积（用含有 m、n 的代数式表示）参考答案 1（1）证明：如图，连接 CD，AC 为O 的直径，BCOC，BD 切O 于点 D，ODB90，DC 是 RtOBD 斜边上的中线，BCOCCD，OCOD，BCOCCDOD，OCD 是等边三角形，DOCOCD60，CBDOAD30，BADABD；（2）解：如图，连接 DM，OD1，DE2，BD，BE，DE 为O 的直径，DME90，DMB90，EDB90，EDBDME，又DBMEBD，BMDBDE，BM，EMBEBM 线段 EM 的长为 2解：（1）由题意可得，OP（8t）cm，OQtcm，OP+OQ8t+t8（cm）（2）POQ90，PQ 是圆的直径，PCQ90，OT 是MON 的平分线，QOCPOC45，PQCPOC45，PCQ 是等腰直角三角形，SPCQPCQCPQPQPQ2，在 RtPOQ 中，PQ2OP2+OQ2（8t）2+t2，四边形 OPCQ 的面积 SSPOQ+SPCQOPOQ+PQ2 t（8t）+（8t）2+t2 4tt2+t24t+16 16 四边形 OPCQ 的面积为 16cm2 3（1）证明：BC 是O 的直径，CAB90，CAG+BAG90，ADBE，AGB90，BAG+ABE90，CAGABE；（2）证明：CGDCAG+ACG，ABCABE+CBE，由（1）知，CAGABE，CBEACG，CGDABC，ABCD，DGCD，CGCD；（3）解：连接 AE、CE，BC 是直径，BEC90，AGEBEC，ADCE，CAEEBC，ACGEBC，CAEACG，AECG，四边形 AGCE 是平行四边形，AFAC，AC2BC2AB2，AC242，AC6，AF63，BF2AF2+AB2，BF232+42，BF5，ABGABF，AGBBAF，BAGBFA，BA：BFBG：BA，4：5BG：4，BG，FGBFBG，FG5 4（1）证明：点 E 是 AD 的中点，AEDE，OC 是半径，CADCBA；（2）解：AB 是直径，ACB90，AEDEAD8，OCAD，AEC90，CE6，AC10，AECACB，CADCBA，AECBCA，AB 5（1）证明：AEBC 于点 E，BDAC 于点 D，ACB+EFD180，AFD+EFD180，AFDACB，AGDACB，AFDAGD，AFAG；（2）解：延长 AE 交O 于 M，连接 BM，GM，GC，MC，MO，作直径 GN，作 MHGN 于 H，AFAG，ACFG，FDDG，同理，FEEM，MG2DE2（+），MAG+MCG180，MCG180MAG18010575，MOG2MCG150，MOH30，设 MHx，OMOG2x，OHx，MH2+GH2GM2，x2+（2+）2x222（+）2，（8+4）x24（8+4），x24，x2，O 半径长为 2x4 6（1）证明：连接 OB，OBOC，OBCOCB，BCEOCB，OBCBCE，OBDE，AC 是O 直径，ADDE，BEAD，BEDE，OBBE，OB 是O 半径，BE 是O 切线；（2）解：延长 BO 交 AD 于 F，DDEBEBF90，四边形 BEDF 是矩形，BFAD，DFBE3，AD2DF6，AC2AD2+CD2，AC262+2240，AC2，O 的半径为 7（1）证明：连接 OD，ABAC，ABCACB，OBOD，ABCODB，ACBODB，ODAC，DEAC，DEOD 即 EFOD，OD 是O 的半径，EF 是O 的切线；（2）解：连接 AD，AB 是O 直径，ADBC，DEAC，ADCDEC，CC，CDECAD，CD：CACE：CD，ABAC，DCDB3，ACAB7，3：7CE：3，CE 8解：（1）A（2，0），B（0，2），OA2，OB2，BAO30；（2）如图，过点 C 作 CDx 轴于点 D，AOP45，OCD45，DCDO，OCOD，由（1）知：BAO30，AC2CD2OD，ADCDOD，AOOD+AD（+1）OD2，OD3，OC（3）3，AC2（3）62；OC 及 AC 的长分别为 3，62；（3）作 PHx 轴于 H，连接 PA、PB，如图，AOB90，AB 为AOB 外接圆的直径，BPA90，A（2，0），B（0，2），OA2，OB2，AB4，AOP45，PBA45，PAB 和POH 都为等腰直角三角形，PAAB2，PHOH，设 OHt，则 PHt，AH2t，在 RtPHA 中，PH2+AH2PA2，t2+（2t）2（2）2，整理得 t22t+20，解得 t1+1，t21（舍去），OHPH+1，OPOH+；P 点坐标为（+1，+1）9（1）证明：如图，连接 AO 并延长交 BC 于点 H，ABAC，弧 AB弧 AC，AH 经过圆心 O，AHBC，AD 切O 于点 A，AOAD，ADBC，BFAC，四边形 ACBF 为平行四边形；（2）解：BFAC，ABFBAC，弧 AE弧 BC，弧 AB弧 EC，ECAB3，BHBC3，AH9，设半径 OAOBx，则 OH9x，在 RtOBH 中，根据勾股定理得，32+（9x）2x2，x5，OH4，AGBH，AOGHOB，OG，BGOB+OG5+10（1）证明：连接 OD，如图，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，OADCAD OAOD，ODAOAD，ODACAD，ODAC，ODC+C180 C90，ODC90，ODBC，OD 是O 的半径，BC 是O 的切线；（2）解：当点 P 在上时，PH 的长为点 P 到直线 DE 的距离，连接 OD，OP，过点 O 作 OMDE 于点 M，过点 P 作 PNOM 于点 N，如图，OAOF，OAFOFA60，AD 平分BAC，BADDAC30，EOD60，OEOD，ODE 是等边三角形，DEOE4 OMDE，DMEM2，EOMEOD30，OM2 PDE15，POE30，POMPOE+EOM60 PNOM，ONOPcos602，MNOMON22 PHDE，OMDE，PNOM，四边形 PHMN 为矩形，PHMN22 点 P 到直线 DE 的距离为 22；当点 P 在上时，连接 OP，交 DE 于点 H，如图，EOP2PDE，PDE15，EOP30 由知：EOD60，EOPEOD，即 OP 为EOD 的平分线，OEOD，OHDE，PH 的长为点 P 到直线 DE 的距离，OHODcos302，PHOPOH42 综上，若PDE15，则点 P 到直线 DE 的距离为 22 或 42 11（1）证明：AE 平分ABC 的外角DAC，DAC2DAE，OMAB，ONAC，且 OMON ABAC，BC，DACB+C2B，DAEB，AEBC；（2）解：延长 AO 交O 于 F 点，连接 CF，由（1）知 AEBC EACACBB，又BF，FEAC，EAC+CAOF+CAO90ONA，AONEOA，ONAOAE，OA：ONOE：OA，OA2OEON717，OA 12（）解：如图，连接 OC，PA，PC 分别是 OO 的切线，PAAB，PCOC，PABPCO90，CAB+PACOCA+PCA90，OAOC，CABOCA，PACPCA，P48，PACPCA（180P）66，CABPABPAC906624，OCACAB24，AB 是O 的直径，CDAB，OCD+BOCODC+BOD90，OCOD，OCDODC，BODBOC，BOCCAB+OCA48，BOD48；（）解：AB 是O 的直径，ACB90，CAB+CBA90，由（1）知CAB+PAC90，PAC66，CBAPAC66，AOD70，BOD180AOD110，BCDBOD55，BOD+ODCBCD+CBA，ODCBCD+CBABOD55+6611011 13（1）证明：连接 OC，如图，AB 是O 的直径，ABCD，CABDAB COB2CAB，COB2BAD ECD2BAD，ECDCOB ABCD，COB+OCH90，OCH+ECD90，OCE90 OCCF OC 是O 的半径，CF 是O 的切线；（2）解：AB10，OAOBOC5，AB 是O 的直径，ABCD，CHDHCD3 OH4，OCCF，CHOE，OCHOEC，OE AEOA+OE5+；过点 F 作 FGAB，交 AB 的延长线于点 G，如图，OCFFGE90，CEOGEF，OCEFGE，设 FG4k，则 FE5k，EG3k，DHAB，FGAB，DHFG，解得：k FG4k5 AEF 的面积AEFG 14（1）证明：EBC 为圆内接四边形 ACBD 的外角，EBCCAD ACDC，CADCDA CDACBA，EBCCBA，OCOB，OCBCBA，OCBEBC，OCDE；（2）解：EC 为O 的切线，ECO90 OCDE，ECO+E180，E90 AB 是O 的直径，ACB90，ACBE90 EDCCAB，EDCCAB，AB13，ACDC12，DE 15解：（）如图，连接 OC，PC，PB 分别切O 于点 C，B，AB 是直径，PCOPBO90，OCOA，AACO58，BOCA+ACO116，P360909011674；（）如图，连接 OP，PC，PB 分别切O 于点 C，B，AB 是直径，CPOBPO，PBO90，BDOB，PB 是 OD 的垂直平分线，POPD，OPBDPB，OPBDPBCPO，DPC81，OPBDPBCPO8127，D902763 16解：（）如图，连接 OA、OB，PA，PB 是O 的切线，PAOA，PBOB，OAPOBP90，APB70，AOB360909070110，ACBAOB55，ACB 的大小为 55；（）连接 CE，AB，OB，AE 为O 的直径，ACE90，四边形 PACB 是平行四边形，ACBP，BCE90P，BAEBCE90P，AOB180P，OAOB，OABABO（180AOB）P，ACEACB+BCEP+P90，P60，ACB60，BAEBCE30，ACPB，EAC30 17（1）证明：连接 OD，如图，AB 为O 的直径，ACB90 CD 是ACB 的平分线，BCDDCEACB45，BOD2BCD90 ODAB DEAB，ODDE，OD 为圆的半径，DE 是O 的切线；（2）解：过点 A 作 AFDE 于点 F，如图，AC6，BC8，AB10，OAOD5 ODDE，ODAB，AFDE，四边形 ODFA 为矩形，OAOD，矩形 ODFA 为正方形 DFAF5 DEAB，BACE ACBAFE90，ABCEAF ，EF DEDF+FE 18（1）证明：连接 EO 并延长交 BC 于点 F，连接 OB、OC，四边形 ABCD 是矩形，ABCD，ADBC，AD90，E 为 AD 的中点，AEDE ABEDCE（SAS），EBEC，OBOC，EF 垂直平分 BC，即EFC90，DEF+EFC180，DEF180EFC1809090，即 EFAD 点 E 在O 上，OE 是O 的半径，AD 与O 相切；（2）解：过点 O 作 OHCD，垂足为 H，连接 OE、ON，四边形 ABCD 是矩形，D90 AD 切O 于点 E，OED90 OHD90，四边形 OEDH 是矩形，OHED，DHOEr，E 是 AD 的中点，OHEDAD2 在 RtOHN 中，由勾股定理得：OF2+NF2ON2，即 22+（r1）2r2 解得 r2.5，故O 的半径 r 为 2.5 19（1）证明：如图，连接 OC，BDGA，COB2A，COB2BDG ABD2BDG，COBABD DEOC FC 是O 的切线，OCFC DECF（2）解：连接 AD，如图，AB 为O 的直径，ADB90 DECF，BEF90 ADBBEF90 ABDEBF，ADBFEB BF5，BD3BE，AB3BF15 OBOC7.5 OFOB+BF12.5 OCCF，FC10，sinF BADF，sinBADsinF sinBAD BD9 BEBD3 DEDB+BE12 AD12 DNAB，sinBAD DH DNAB，AB 为O 的直径，NHDH FE4，CEFCFE6 DEFC，tanCDE tanCABtanCDE tanCAB，HMAH MNNHMH 20解：（1）90，b6，a8，c10，如图，设点 D，E，F 分别是O 的切点，连接 PD，PE，PF，连接 OA，OB，OC，SBCASABO+SACO+SBCO，6810m+6m+8m，m2，由已知，四边形 DPEC 为正方形，nPD（CD+CE），由切线长定理可知，AFAD，BFBE，n（CD+CE）（AD+AC+BE+BC）（AB+AC+BC）（10+6+8）12；故答案为：2，12；（2）如图，由切线的性质可知：PDCD，PEBC，PFAB，PDPEPF，设ABC 的面积为 SABC，周长为 CABC，同（1），根据面积法可知 m，n（CD+CE）（AD+AC+BE+BC）（AB+AC+BC）CABC，SABCmn 故答案为：，；（3）如图，连接 CP，由切线长定理得：CDCE（CD+CE）（AD+AC+BE+BC）（AB+AC+BC）CABC，PDCD，PEBC，CP 平分ACB，PCE30，nPE，m，SABCmn