2022-2023学年人教版九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练(附答案).pdf

2022-2023 学年人教版九年级数学中考复习几何图形变换综合压轴题 专题提升训练（附答案）1如图，等边ABC，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转（060），得到线段 AD，连接 BD、CD（1）依题意补全图形，并求BDC 的度数（2）取 BD 的中点 E，连接 AE 并延长，交 DC 的延长线于点 F，用等式表示线段 AF，FC，CD 之间的数量关系，并证明 若等边ABC 的边长为 6，点 H 在 BC 边上且CH2，直接写出线段 FH 的最小值 2 如图，ABC 和DEF 都是等腰直角三角形，ABAC，BAC90，DEDF，EDF90，点 D 为 BC 边中点（1）如图 1，当点 E 在 BC 上，连接 AF，则 AF 与 CE 有怎样的数量关系？请直接写出结论（2）如图 2，将DEF 绕点 D 旋转，连接 AF，且 A，F，E 三点恰好在一条直线上，EF交 BC 于点 H，连接 CE（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明；若不成立，请说明理由 若 CH2，AH4，请直接写出线段 AC，AE 的长 3综合与实践 问题背景 数学小组在一次课外学习交流时，组内一同学提出如下问题：在ABC 中，ACB90，D 为 BC 边上一点，但不与点 B，点 C 重合，过点 D 作 DEAB 于点 E连接 AD，M 为AD 的中点，连接 EM，CM 观察发现（1）如图 1，EM 与 CM 之间的数量关系是 ；思考分享（2）如图 2，将BDE 绕点 B 顺时针旋转，其他条件不变，则（1）中的结论还成立，请证明 小明是这样思考的：延长 DE 至点 D，使得 EDDE，连接 AD运用三角形中位线定理，按照他的思路或采用其他方法证明；探究计算（3）若ABC30，AC4，DE2，在BDE 绕点 B 旋转一周的过程中，当直线DE 经过点 A 时，线段 AD 的长为 4如图，CN 是等边ABC 的外角ACM 内部的一条射线，点 A 关于 CN 的对称点为 D，连接 AD，BD，CD，其中 AD，BD 分别交射线 CN 于点 E，P（1）求证：BCD 是等腰三角形；（2）若ACN，求BDC 的大小（用含 的式子表示）；（3）求证：PBPC+2PE 5如图 1，在 RtABC 中，ABC90，ABBC，D 为 BC 边上一点，连接 AD，将ABD 沿 AB 翻折得到ABE，过点 E 作 AD 的垂线，垂足为 F，延长 E 交 AC 于 G（1）求证：GECEAB；EAEG；（2）连接 DG 如图 2，当 DGAC 时，试判断 BD 与 CD 的数量关系，并说明理由；若 AB5，EDG 的面积为 4，请直接写出CDG 的面积 6问题情境：如图 1 所示，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DEBC，在图 1中将ADE 绕 A 点顺时针旋转一定角度，得到图 2，然后将 BD、CE 分别延长至 M、N，使 DMBD，ENCE，得到图 3，请解答下列问题：（1）猜想证明：若 ABAC，请探究下列数量关系：在图 2 中，BD 与 CE 的数量关系是 在图 3 中，猜想MAN 与BAC 的数量关系，并证明你的猜想；（2）拓展应用：其他条件不变，若 ABAC，按上述操作方法，得到图 4，请你继续探究：MAN 与BAC 的数量关系？AM 与 AN 的数量关系？直接写出你的猜想 7（一）发现探究 在ABC 中 ABAC，点 P 在平面内，连接 AP 并将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转与BAC 相等的角度，得到线段 AQ，连接 BQ 发现问题如图 1，如果点 P 是 BC 边上任意一点，则线段 BQ 和线段 PC 的数量关系是 ；探究猜想如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由，请仅以图 2 所示的位置关系加以证明（或说明）；（二）拓展应用 拓展应用如图 3，在ABC 中，AC2，ACB90，ABC30，P 是线段 BC上的任意一点连接 AP，将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转 60，得到线段 AQ，连接 CD，请直接写出线段 CQ 长度的最小值 8 如图 1，在等边三角形 ABC 中，点 D 在 BC 上，连接 AD，将 BD 绕点 B 逆时针旋转 120，得到 BE，过点 E 作 EF 交射线 DA 于点 G，交射线 CA 于点 F，使EGD60（1）如图 2，当点 F 与点 A 重合时，求证：D 为 BC 中点；（2）当点 F 在 AC 边上时，求 CF 与 BE 之间的数量关系；（3）当点 F 在 CA 延长线上时，（2）中的结论是否仍成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由 9如图 1，在ABC 中，延长 AC 到 D，使 CDAB，E 是 AD 上方一点，且ABCED，连接 BE（1）求证：ABCDCE；（2）若CBE72，则A （3）如图 2，若ACB90，将CDE 沿直线 CD 翻折得到CDE，连接 BE交 CE于 F，若 BEED，求证：F 是 BE的中点 10如图 1，在 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D 为 AB 边上的一点，将BCD绕点 C 逆时针旋转 90得到ACE，易得BCDACE，连结 BE（1）求BCE+ACD 的度数（2）当 BC5，BD时，求 BE、CE 的长（3）如图 2，在（2）的条件下，取 AD 中点 F，连结 CF 交 BE 于 H，试探究线段 BE、CF 的数量关系和位置关系，并说明理由 11如图 1，在平面直角坐标系中，点 A（5，4），ABx 轴于点 B，ACy 轴于点 C，点D 是 y 轴正半轴上动点，连接即，将BOD 折叠得到BED，点 O 与点 E 对应，折痕为BD（1）填空：A ，AB ，AC （2）如图 2，BDE 的边 BE 与 DE 分别与 AC 交于点 F，G，EGCG 求证：FCED；求 OD 的长；（3）连接 CE，当CDE 是以 C 为直角顶点的直角三角形时，直接写出点 D 坐标 12在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D 为ABC 外一点，连接 BD，连接 AD 交BC 于点 G，且满足 BDAB（1）如图 1，若 BG2，AB3，求 AG 的长（2）如图 2，点 F 为线段 BC 上一点，连接 AF、DF，过点 C 作 CEAB 交 DF 的延长线于点 E，若 AFDE，DFEF求证：ABCF+BD；（3）如图 3，点 H 为线段 AC 上一点，AH2，点 K 是直线 AC 上的一个动点，连接 GK 将线段 GK 绕点 G 顺时针旋转 90得到线段 GK，点 P 是线段 AD 上的一个动点连接 HP、PK，若 BG22，AGC4BAG，请直接写出 HP+PK的最小值 13如图，在平面直角坐标系中，点 A（m，0）是 x 轴上一点，点 B（0，n）是 y 轴上一点，且满足多项式（x+n）（mx3）的积中 x 的二次项是 3，一次项系数为 6（1）求出 A，B 两点坐标；（2）如图 1，点 C 是点 A 关于 y 轴的对称点，延长 CB 于点 D，使 CDCA，E 为 AD中点，CE 交 AB 于点 F，请写出 AE 与 CF 之间的等量关系，并证明；（3）如图 2，ABD90，点 M 为线段 OB 上一点，AMMD，求证：AMMD 14如图，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，BACDAE90，把ADE 绕点 A 旋转，点 P 为射线 BD 与 CE 的交点（1）如图 1，当点 D 在线段 CE 上时，求证：BDCD+AD；（2）若 AB2，AD1，如图 2，当点 E 在 BA 延长线上时，求 PC 的长；在旋转过程中，当四边形 ADPE 为正方形时，直接写出线段 PB 长度的值 15【模型建立】（1）如图 1，已知在ABC 中，点 D 是 AB 边的中点，将BDC 沿 CD 翻折得到FDC，连接 FA，FB 求证：AFB 是直角三角形；延长 FA，BC 交于点 E，判断 CF 与 BE 的数量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（2）如图 2，已知在ABC 中，点 D 是 AB 边的中点，点 E 是 BC 边上一点，将BDE沿 DE 翻折得到FDE，连接 FA，FB 判断 AF 与 DE 的位置关系，并证明你的结论；若 ACEF，用等式表示线段 BE，CE，AC 之间的数量关系，并证明你的结论 16如图，ABC 中，ACB90，ACBC，点 D 是斜边 AB 的中点，点 E、F 分别在边 AC、BC 上，且 DEDF，垂足为 D（1）如图 1，当 DEAC 时，DE、DF 的大小关系是 ；（2）如图 2，将EDF 绕点 D 点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；（3）如图 3，连接 EF，试探究 AE、BF、EF 之间的数量关系，并证明你的结论 17在 RtABC 中，ABC90，BAC30，将ABC 绕点 A 顺时针旋转一定的角度 得到AED，点 B，C 的对应点分别是 E，D（1）如图 1，当点 E 恰好在 AC 上时，求CDE 的度数；（2）如图 2，点 F 是 AC 边中点 若 60时，求证：四边形 BFDE 是平行四边形；若 BC1，当 B，F，D 三点在同一条直线上时，请直接写出ABD 的面积 18如图 1，等腰 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D，E，F 分别为边 AB，BC，AC 上的点（1）连接 DE，BF 相交于点 G，连接 DF 并延长交 BC 的延长线于点 H若 BDBF，DEHE，求DGF 的度数；（2）如图 2，在（1）问的条件下，在平面内将线段 DB 绕点 B 顺时针旋转 90得线段PB，连接 GP求证：PG+DGAB；（3）如图 3，若 D 为 AB 中点，DEDF，连接 EF，点 M 为 EF 中点，点 K 为线段 CM上一点，将CFK 沿着直线 FK 翻折至CFK 所在平面内得到NFK，连接 CN，在点 E、F 运动的过程中，当线段 CM 取最小值且 NKCE 时，请直接写出的值 19在ABC 中，ABAC，BAC90将一个含 45角的直角三角尺 DEF 按图 1 所示放置，使直角三角尺的直角顶点 D 恰好落在 BC 边的中点处，将直角三角尺 DEF 绕点D 旋转，设 AB 交 DF 于点 N，AC 交 DE 于点 M，示意图如图 2 所示（1）证明推断求证：DNDM；小明给出的思路：若要证明 DNDM，只需证明BDNADM 即可，请你根据小明的思路完成证明过程；（2）延伸发现连接 AE，BF，如图 3 所示，求证：AEBF；（3）迁移应用延长 EA 交 DF 于点 P，交 BF 于点 Q在图 3 中完成如上作图过程，猜想并证明 AE 和 BF 的位置关系 20如图 1，在 RtABC 中，A90，ABAC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，ADAE，连接 DC，点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的中点（1）观察猜想：图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD2，AB4，直接写出PMN面积的最大值 参考答案 1解：（1）如图：由旋转可知，CAD，ACAD，ACDADC90，ABC 是等边三角形，ABACAD，BAC60，ABDADB60，ABC60，BDC，BDC18060（90）30；（2）过点 A 作 AGDF 交于点 G，ABAD，E 是 BD 的中点，AEBD，FED90，BDF30，F60，在 RtAFG 中，FGAF，ACAD，AGCD，G 是 CD 的中点，CGDG，AF2（CF+CD）2CF+CD；连接 BF，AEBD，AE 平分 BD，AF 是线段 BD 的垂直平分线，BFDF，BDC30，DBF30，BFD120，BAC60，BAC+BFC180，A、B、F、C 四点共圆，设圆心为 O，连接 OC，OF，过点 O 作 OKBC 交于点 K，当 O、F、K 三点共线时，HF 有最小值，BC6，OCB30，CK3，OC2，OK，CH2，KH1，OH2，HFOFOH22，HF 的最小值为 22 2解：（1）AFCE，理由如下：ABC 是等腰直角三角形，ABAC，BAC90，点 D 为 BC 边中点 ADCD，ADCD，DEF 是等腰直角三角形，DEDF，EDF90，ADDFCDDE，即 AFCE；（2）成立，理由如下：如图，连接 AD，ABAC，BAC90，点 D 为 BC 边中点，ADBC，ADBDCD ADC90，由旋转不变性得 DEDF，EDF90，ADCFDHEDFFDH，即ADFCDE，ADFCDE（SAS），AFCE；ACDAED45，AHCBHE，AHCDHE，设 HEx，DH2x，则 ADDC2x+2，在 RtADH 中，AD2+DH2AH2，即（2x+2）2+（2x）242，解得，（舍去），AEx+4，AC2DC 3解：（1）在ABC 中，ACB90，M 为 AD 的中点，CMMD，DEAB，AED 是直角三角形，EMMD，CMEM，故答案为 CMEM；（2）成立，理由如下：如图 1，延长 DE 到点 D，使得 DEDE，延长 AC 到点 A，使得 ACAC，分别连接DA，DB，AB、AD，DEBE，BE 为 DD的垂直平分线，BDBD，DBD2DBE，同理可得，BABA，ABA2ABC，DBEABC，DBDABA DBD+ABDABA+ABD，DBADBA，在DBA 和DBA 中，DBADBA（SAS），DADA，DEDE，AMDM，ACAC，ME、MC 分别是DDA 和ADA的中位线，EMDA，CMDA，EMCM；（3）如图 2，当旋转角小于 180时，ABC30，AC4，ED2，AB8，BC4，BD4，BE2，BEED，ABE 是直角三角形，AE2AB2BE2，即 AE2641252，AE2，AD2+2；如图 3，当旋转角大于 180时，BEED，ABE 为直角三角形，AE2AB2BE2，即 AE2641252，AE2，AD22；综上所述，AD 的长为 22 或 2+2，故答案为 22 或 2+2 4（1）证明：点 A 与点 D 关于 CN 对称，CN 是 AD 的垂直平分线，CACD，CACB，CBCD，BCD 是等腰三角形；（2）解：CACD，ADEC，ACD2ACN2，ABC 是等边三角形，CACBCD，ACB60，BCDACB+ACD60+2，；（3）证明：在 PB 上截取 PF 使 PFPC，连接 CF，CACD，ACD2，CDACAD90，BDC60，PDECDABDC30，PD2PE，CPFDPE90PDE60，CPF 是等边三角形，CPFCFP60，BFCDPC120，在BFC 和DPC 中，BFCDPC（AAS），BFPD2PE，PBPF+BFPC+2PE 5（1）证明：如图 1，AB 与 EG 的交点记作点 O，AOFBOE，EGAD，AFO90，AOF+OAF90，BOE+OAF90，由折叠知，BAEOAF，BOE+BAE90，ABC90，ABE90，GEC+BOE90，GECEAB；ABC90，ABBC，BACBCA45，将ABD 沿 AB 翻折得到ABE，ABDABE90，AEAD，BAEBAD，ABE+ABD180，点 E 在直线 BC 上，EGAD，AFEABD90，ADB+BAD90ADB+DEF，BADDEF，BADBAEDEF，BAE+45DEF+45，BAE+BACDEF+BCA，EAGAGE，EAEG；（2）解：CD2BD，理由如下：如图 2，过点 G 作 GHEC 于 H，DGAC，BCA45，DGC90，DGCG，又GHDC，GHDHHC，CD2GH，GEHBAE，ABEGHE90，AEEG，ABEEHG（AAS），BEGH，BDBEGH，CD2BD；如图 2，由可知ABEEHG，GHBE，ABEH5，BEBDGH，EDG 的面积为 4，DEGH4，2GHGH4，GH2BEBD，ABBC5，DC3，CDG 的面积CDGH233 6解：（1）DEBC，BACDAE，ABAC，ADAE，由旋转可得：BACDAE，CAEBAD，BADCAE（SAS），BDCE 故答案为：BDCE MANBAC 理由：如图 1，DEBC，BACDAE，ABAC，ADAE，由旋转可得：BACDAE，CAEBAD，BADCAE，BDCE，ACEABD，DMBD，ENCE，BMCN，ABMACN（SAS），BAMCAN，BAMCAMCANCAM，即MANBAC；（2）结论：MANBAC，AMAN ABCADE，CAEDAE+CAD，BADBAC+CAD，CAEBAD，ADBAEC，DMBD，ENCE，ADMABD+BAD，AENACE+CAE，ADMAEN，ADMAEN，AM：ANAD：AE，DAMEAN，NAE+MAENAE+MAE，MANDAE，DAEBAC，MANBAC，AMAN，MANBAC 7解：【发现问题】由旋转的性质可知，AQAP，PAQBAC，PAQBAPBACBAP，即BAQCAP，ABAC，BAQCAP（SAS），BQPC，故答案为：BQPC；【探究猜想】结论 BQPC 仍然成立，证明如下：由旋转的性质可知，AQAP，PAQBAC，PAQBAPBACBAP，即BAQCAP，ABAC，BAQCAP（SAS），BQPC；【拓展应用】如图 3，在 AB 上取一点 E，使 AEAC2，连接 PE，过点 E 作 EFBC于点 F，由旋转的性质可知，AQAP，PAQ60，ACB90，ABC30，EAC60，PAQEAC，CAQEAP，CAQEAP（SAS），CQEP，要使 CQ 最小，则 EP 最小，而点 E 是定点，点 P 是 AB 上的动点，当 EFBC（点 P 和点 F 重合）时，EP 最小，即点 P 与点 F 重合，CQ 最小，最小值为 EP，在 RtACB 中，ACB90，ABC30，AC2，AB2AC4，AEAC2，BEABAE2，在 RtBFE 中，EFB90，EBF30，EFBE1，线段 CQ 长度的最小值是 1 8（1）证明：如图 2 中，ABC 是等边三角形，ABAC，ABCBAC60，点 F 与 A 重合，A，G，F 重合，EADBAC60，EABCAD，CBE120，ABEABD，BDBE，ABAB，ABEABD（SAS），EABDAB，BADCAD，ABAC，BDCD，即 D 为 BC 中点；（2）解：如图 1 中，在 CA 上取一点 M，使得 CMBD连接 BM 交 AD 于点 N ABC 是等边三角形，ABCB，ABDBCM60，BDCM，ABDBCM（SAS），BADCBM，BNDABN+BANABN+CBNABC60，BNDEGD60，EFBM，EBC+C120+60180，BECF，四边形 BEFM 是平行四边形，BEFM，BDBE，BDCM，BECM，CF2BE；（3）结论成立 理由：如图 3 中，在 CA 上取一点 M，使得 CMBD连接 BM 交 AD 于点 N ABC 是等边三角形，ABCB，ABDBCM60，BDCM，ABDBCM（SAS），BADCBM，BNDABN+BANABN+CBNABC60，BNDEGD60，EFBM，EBC+C120+60180，BECF，四边形 BEFM 是平行四边形，BEFM，BDBE，BDCM，BECM，CF2BE 9（1）证明：ABC+ABCD，BCE+ECDBCD，ABCE，ABCECD，在ABC 与DCE 中，ABCDCE（ASA）；（2）解：ABCDCE；BCCE，CBECEB72，CBE+CEB+BCE180，BCE36，A36，故答案为：36；（3）证明：ABC+ABCD，BCE+ECDBCD，ABCE，ABCECD，在ABC 与DCE 中，ABCDCE（ASA），BCCE，ACBDEC90，如图，连接 CE，将 DE 沿直线 CD 翻折得到 DE，CECECB，BEED，CFEDEC90，即 CFBE，由三线合一得：F 是 BE的中点 10解：（1）如图 1 中，DCEACB90，DCE+ACB180，ACE+ACD+ACD+DCB180，BCE+ACD180；（2）如图 1 中，连接 DE ACCB5，ACB90，AB5，CABABC45，BD，AD4，BCDACE，AEBD，CAECBD45，BAE90，BE 2，DE，CECD（3）如图 2 中，结论：BE2CF，BECF 理由：延长 CF 到 T，使得 FTCF，连接 DT AFFD，AFCDFT，CFTF，AFCDFT（SAS），ACDT，CAFFDT，ACDT，ACD+CDT180，ACD+BCE180，CDTBCE，CDCE，CBACDT，BCETDC（SAS），BECT，CEBTCD，BE2CF，TCD+ECH90，CEB+ECH90，EHC90，BECF 11（1）解：点 A（5，4），ABx 轴于点 B，ACy 轴于点 C，AB4，AC5，ABOACO90BAC，BAC90，故答案为：90，4，5；（2）如图 2，连接 EC，EGGC，ECGCEG，将BOD 折叠得到BED，BEOB5，DEOD，BEDBOD90ACO，FECDCE，又ECCE，ECGCEG，ECFCED（ASA），CFED；解：设 CDx，则 OD4xDECF，AF5（4x）1+x，ECFCED，EFCDx，BF5x，AB2+AF2BF2，16+（1+x）2（5x）2，x，OD；（3）解：CDE 是以 C 为直角顶点的直角三角形，点 E 在直线 AC 上，如图 3，当点 E 在线段 AC 时，将BOD 折叠得到BED，BEOB5，DEOD，AE3，CE2，DE2EC2+CD2，OD24+（4OD）2，OD，点 D（0，），当点 E 在线段 CA 的延长线上时，同理可求 AE3，EC8，DE2EC2+CD2，OD264+（OD4）2，OD10，点 D（0，10），综上所述：点 D 坐标为（0，10）或（0，）12（1）解：如图 1 中，过点 A 作 ATBC 于点 T ABAC3，BAC90，BCAB6，ATCB，BTCT3，ATBC3，BG2，TGBTBG321，AG；（2）证明：如图 2 中，过点 D 作 DKCE 交 BC 于点 K FKDECF，DFEF，DFKEFC，DKFECF（AAS），CFFK，ECDK，ABEC，ECDK，ABDK，ABAC，BAC90，ABCDKB45，DBAB，ABD90，DBKDKB45，BDK90，DBDK，BKDKEC，BCBK+CK，ABEC+2CF，ABCF+EC；（3）解：如图 3 中，作射线 CK，过点 K 作 KMBC 于点 M，过点 K作 KNBC于点 N，作点 H 关于 AD 的对称点 H，作射线 AH，过点 H作 HRCK于点 R，交 AB 于点 J，连接 PH，过点 A 作 AOCB 于点 O KNGGMKKGK90，KGM+KGN90，KGM+GKM90，KGNGKM，GKGK，KNGGMK（AAS），GMKN，GNKM，MCKMKC45，CMMKGN，GMCNKN，KCN45，点 K在射线 CK上运动，AGC4BAGABG+BAG，ABG3BAG，BAG15，CAGGAH75，BAH60，AGO60，GAO30，AG2OA，OAOBOG，BGOBOGOBOB22，OB2，OAOC2，AC2，HRCK，JRCRCACAJ90，四边形 JRCA 是矩形，JRCA6，AHAH2，AJRAJH90，AHJ30，AJAH1，JH，HR+2，PHPH，PH+HKHP+PKHR+2，PH+HK的最小值为+2 13（1）解：（x+n）（mx3）mx2+（mn3）x3n，x 的二次项是 3，一次项系数为 6，A（0，3），B（3，0）；（2）AECF理由如下：点 C 是点 A 关于 y 轴的对称点，OB 垂直平分 AC，OAOC，BABC，AOBCOB（SAS），OBAOBC，OAOB，AOB90，OBA45OBC，ABC90ABD，CDCA，E 为 AD 中点，CEAD，AEF90ABC，在ABD 和CBF 中，ABDCBF（ASA），ADCF，AECF；（3）如图，在 y 轴上取一点 N，使得 ONOM，过点 A 作 AGMN，交 MN 的延长线于点 G，延长 DB 交 NM 的延长线于点 H，ONOM，NOM90，ONMOMN45，ANGONM45HMBHBM，BHM90AGN，GAN45HMB，OAOB，OMON，ANBM，在AGN 和MNB 中，AGNMHB（AAS），AGMH，在 RtAGM 和 RtMHD 中，RtAGMRtMHD（HL），AMGD，D+HMD90，HMD+AMG90，AMD90，AMMD 14（1）证明：ABC 和ADE 是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE，DABCAE，ABDACE（SAS），BDCE，BDCD+DE，又ADE 是等腰直角三角形，EDAD，BDCD+AD；（2）解：ABC 和ADE 是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE，ABDACE（SAS），ABDACE，ADBPDC，ABDPCD，又AB2，AD1，BAC90，CDACADABAD1，BD，PC；当四边形 ADPE 为正方形时，点 P 在线段 BD 上，ADB90，AD1，AB2，BD，PB1；如图，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，同理 PBBD+PD+1 综上所述可得 PB 的长为+1 或1 15（1）证明：将BDC 沿 CD 翻折得到FDC，BDFD，点 D 是 AB 边的中点，ADBD，DFAB，AFB90，AFB 是直角三角形；CFBE，证明：如图 1，延长 FA，BC 交于点 E，将BDC 沿 CD 翻折得到FDC，CFBC，BDFD，CBFCFB，点 D 是 AB 边的中点，ADBD，DFAB，AFB90，CBF+ECFB+CFA90，ECFA，CECF，CFBE；（2）AFDE，证明：由（1）知，AFB90，AFE+EFB90，将BDE 沿 DE 翻折得到FDE，EFEB，FEDBED，EFBEBF，FED+BED+EFB+EBF180，FED+EFB90，AFEFED，AFDE；AC+CEBE，证明：如图 2，延长 AC，DE 交于 G，CEGBED，将BDE 沿 DE 翻折得到FDE，BEDFED，EFBE，ACEF，GFED，GCEG，CGCE，AFDG，四边形 AFEG 是平行四边形，AGEF，AGBE，AGAC+CGAC+CE，AC+CEBE 16解：（1）DEDF，理由如下：连接 CD，如图：DEAC，DEC90ACBEDF，DFC90，即 DFBC，ACBC，D 为 AB 中点，CD 是ACB 的平分线，DEAC，DFBC，DEDF（角平分线上的点到两边的距离相等）；故答案为：DEDF；（2）将EDF 绕点 D 点旋转，（1）中的关系还成立，理由如下：过 D 作 DMAC 于 M，DNBC 于 N，如图：同（1）可得 DMDN，DMCDNCACB90，MDN90EDF，MDNEDNEDFEDN，即MDENDF，DME90DNF，DMEDNF（AAS），DEDF；（3）EF2AE2+BF2，证明如下：过 D 作 DMAC 于 M，DNBC 于 N，如图：由（2）知DMEDNF，MENF，DEDF，DMDN，EDF90，DE2+DF2EF2，EF22DE2，ACAB，ACB90，AB45，DMAC 于 M，DNBC 于 N，AMDMDNBN，设 MENFx，则 AMAExDM，BNBF+xDN，AMBN，AExBF+x，x，即 ME，DMAEx，DE2DM2+ME2（）2+（）2，EF22DE2AE2+BF2 17（1）解：ABC90，BAC30，ACB60 ABC 绕点顺时针旋转得到AED，点 E 恰好在 AC 上，CAAD，EADBAC30，ACDADC（18030）75，EDAACB60，CDEADCEDA15；（2）证明：点 F 是边 AC 中点，BFAFAC，BAC30，BCAC，FBABAC30 ABC 绕点 A 顺时针旋转 60得到ADE，BAECAD60，CBDE，DEAABC90，DEBF 延长 BF 交 AE 于点 G，则BGEGBA+BAG30+6090，BFED，四边形 BFDE 为平行四边形 当 D 在 BF 的延长线上时，如图，过点 A 作 AMDB 于 M，F 为 AC 的中点，AFBF，FBABAC30，AFMFBA+BAC60，BC1，ACAD2，BFAF1，FMAF，AM，BMBF+FM1+，DM，BDBM+DM，SABD；当 D 在 FB 的延长线上时，过点 A 作 AMDB，交 DB 的延长线于 M，同理可得 DM，BM，BDDMBM，综上所述，ABD 的面积为或 18解：（1）ACB90，ACBC，CBACAB45，BDBF，BFDBDFEDH+EDB，DEHE，EHDEDH，BFDFHB+HBF，EDH+EDBFHB+HBF，EDBHBF，DGFGDB+GBDHBF+GBDCBA45（2）如图 2，作 DNBF 于 N，FMAB 于 M，PQFB 于 Q，连接 DP 则AMFMBDNBBQP90，MFB+FBMNDB+DBNPBQ+BPQ90 DBP90，DBN+PBQ90，PBQBDNBFM，BPBDBF，BDNBFMPBQ（AAS），BQDNFM，PQBMBN，FAM45，AMF 是等腰直角三角形，AMFMDNBQ，DGN45，DNG 是等腰直角三角形，DGDNAM，BDBP 且DBP90，DPBPDB45DGF，D、G、B、P 四点共圆，PGQPDB45，PGPQBM，ABAM+BMDN+PQPG+DG 解法二：连接 DP，作 DKBF 交 PG 的延长线于点 K DGFDPB45，D，G，P，B 四点共圆，DGPDBP90，DPKABF，KKDG45A，KDPAFB，PKAB，PG+DGPG+GKPKAB；（3）如图 3，连接 MD、CD CMEFDF，DF 最小时，CM 的值最小，此时 SBXCEDF 是正方形，此时，若 KNCE，如图 4，NKCB，MKNDCB45，FCKFNK45，NMK90，点 N 落在 EF 上，设 ACBC4，则 FCFN2，FMCM，MN2，CN2CM2+MN284，4+2 19证明：（1）如图 2，在 RtABC 中，D 是 BC 的中点，即 BD 是ABC 的中线，ADBDCD，ABCDAC45，FDB+FDA90，FDA+ADE90，FDBADE，在BDN 和ADM 中，BDNADM（ASA），DNDM；（2）DEF 为等腰直角三角形，DEDF，由（1）知：FDBEDA，BDAD，在BDF 和ADE 中，FDBEDA（SAS），AEBF；（3）作图如下，AE 和 BF 的位置关系为：相互垂直，理由如下：由（2）知FDBEDA，BFDAED，又FPQEPD，FQPPDE90，即 AEBF，故 AE 和 BF 的位置关系为相互垂直 20解：（1）点 P，N 是 BC，CD 的中点，PNBD，PNBD，点 P，M 是 CD，DE 的中点，PMCE，PMCE，ABAC，ADAE，BDCE，PMPN，PNBD，DPNADC，PMCE，DPMDCA，BAC90，ADC+ACD90，MPNDPM+DPNDCA+ADC90，PMPN，故答案为：PMPN，PMPN；（2）PMN 是等腰直角三角形 理由如下：由旋转知，BADCAE，ABAC，ADAE，ABDACE（SAS），ABDACE，BDCE，利用三角形的中位线得，PN，PM，PMPN，PMN 是等腰三角形，同（1）的方法得，PMCE，DPMDCE，同（1）的方法得，PNBD，PNCDBC，DPNDCB+PNCDCB+DBC，MPNDPM+DPNDCE+DCB+DBCBCE+DBCACB+ACE+DBCACB+ABD+DBCACB+ABC，BAC90，ACB+ABC90，MPN90，PMN 是等腰直角三角形；（3）由（2）知PMN 是等腰直角三角形，则 PN 最大时，PMN 的面积最大，当点 D 在 BA 的延长线上时，BD 最大值为 AB+AD6，PNBD3，PMN 面积的最大值为