2023届江苏省南京市第一中学高三上学期期中考试数学试题(含答案).pdf
南京一中 20222023 学年第一学期期中考试试卷 高三数学 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集UR，集合|0Ax x，|2Bx x，则图中阴影部分表示的集合为()A(0,)B(0,2)C2,)D(,0)2,)2已知 i 是虚数单位，若复数 z3i1i，则|z2|()A3 B4 C5 D25 3如图，正方形ABCD边长为 2，其对称中心O平分线段MN，且2MNBC，点E为DC的中点，则(EM EN )A3 B2 C32 D12 4某收费站统计了 2022 年中秋节前后车辆通行数量，发现该站中秋节前后车辆通行数量2(1000,)N，若(1200)Pa，(8001200)Pb，则当82ab ba时下列说法正确的是()A12a B14b C34ab D12ab 5已知等比数列na的前n项和为nS，且2a，53a，89a成等差数列，则63(SS )A13 B43 C3 D4 6已知F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，O为坐标原点，ykx与双曲线C交于(M M在第一象限），N两点，3|MFNF，且23MFN，则该双曲线的离心率为()A2 B3 C7 D72 7甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加生涯规划大赛，决出第 1 名到第 5 名的名次甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说“你当然不会是最差的”若在此对话的基础上 5 人名次的情况是等可能的，则最终丙和丁获得前两名的概率为()A427 B827 C29 D49 8已知 a,b,c(e,)，caac，clnbblnc，则()Aeaclnbebclnaeablnc Beablnceaclnbebclna Ceaclnbeablncebclna Debclnaeablnceaclnb 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9 已知，是不同的平面，m，n是不同的直线，则使得/mn成立的充分条件是()A/m，/n B/m，m，n Cm，n D/m，n，/10已知函数2()(1)xf xexx，则下列选项正确的有()A函数()f x极小值为 1 B函数()f x在(1,)上单调递增 C当 2x,2时，函数()f x的最大值为23e D当3ke时，方程()f xk恰有 3 个不等实根 11已知抛物线24xy的焦点为F，1(A x,1)y，2(B x,2)y是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A点F的坐标为(1,0)B若A，F，B三点共线，则3OA OB C若直线OA与OB的斜率之积为14，则直线AB过点F D若|6AB，则AB的中点到x轴距离的最小值为 2 12已知函数()4sincos()1(0)6f xxx在(0,)x上恰有 3 个零点，则()A()f x在(0,)x上恰有 2 个极大值点和 2 个极小值点 B()f x在(0,)8上的最大值是 2 C()f x在(0,)12上是增函数 D的取值范围是17(12,2312 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13在831()2xx的展开式中，常数项是 14已知 sin(4)23，则 sin2 15 已知()f x是定义在R上的奇函数且(1)f x 为偶函数，当1x,2时，()(0 xf xab a且1)a 若(1)ff(4)12，则2021()82f 16 公比为q的等比数列na满足：890alna，记123nnTa a a aa，则当q最小时，使1nT成立的最小n值是 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 10 分)已知数列na的前n项和为nS，122aa，当2n时，1121nnnSSS（1）求证：当2n，1nnaa为定值；（2）把数列na和数列 2na中的所有项从小到大排列，组成新数列nc，求数列nc的前 100 项和100T 18.(本小题满分 12 分)在斜三角形 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且22coscabC（1）若ABC 的面积为S，且满足24Sc，求角 C 的大小；（2）证明：211tantantanCAB 19.(本小题满分 12 分)某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了 100 名中学生进行调查 下图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：已知350,450)，450,550)，550,650)三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于 550 元的学生称为“高消费群”（）求m，n的值，并求这 100 名学生月消费金额的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在350,450)，550,650)内的两组学生中抽取 10 人，再从这 10 人中随机抽取 3 人，记被抽取的 3 名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望 20.(本小题满分 12 分)如图，在菱形ABCD中，60A 且2AB，E为AD的中点将ABE沿BE折起使2AD，得到如图所示的四棱锥ABCDE（1）求证：AE 平面BCDE；（2）若P为AC的中点，求二面角PBDC的余弦值 21.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系xOy中，已知：点(3A，0)，直线4 3:3l x，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比32；点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|3ST，动点P满2133OPOSOT；圆C的方程为224xy，直线l为圆C的切线，记点(3,0),(3,0)AB 到直线l的距离分别为1d，2d，动点P满足1|PAd，2|PBd（）在，这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；（）记（）中动点P的轨迹为E，经过点(1,0)D的直线l交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围 22.(本小题满分 12 分)函数211()2mxf xexm，()fx是()f x的导函数（1）若1m，xR，求函数()()()g xf xfx的最小值（2）对(,)xe，且1m，证明：(6)2()6mx mxfxlnxlnx恒成立
