2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步练习题(附答案).pdf

2022-2023 学年北师大版八年级数学下册1.1 等腰三角形同步练习题（附答案）一选择题 1一个等腰三角形的两条边分别是 2cm 和 5cm，则第三条边的边长是（）A2cm B5cm C2cm 或 5cm D不能确定 2若用反证法来证明命题“若 a1，则 a21”，第一步应假设（）Aa21 Ba21 Ca21 Da21 3下列条件中能判定ABC 是等腰三角形的是（）AA30，B60 BA50，B80 CABAC2，CB4 DAB3，BC7，周长为 13 4正方形网格中，网格线的交点称为格点如图，已知 A、B 是两格点，使得ABC 为等腰三角形的格点 C 的个数是（）A4 个 B5 个 C6 个 D8 个 5如图，ABC，点 P 为直线 AC 上的一个动点，若使得ABP 是等腰三角形则符合条件的点 P 有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6已知 CH 是 RtABC 的高，ACB90，B60，若 BH3，则 AH（）A1 B9 C12 D4 7如图，等边ABC 中，BD 是 AC 边上的高，DEAB 交 AB 于点 E，若 BE3，则ABC的边长为（）A3 B4 C5 D无法确定 8在等腰三角形 ABC 中，BC 边上的高恰好等于 BC 边长的一半，则BAC 等于（）A90 B90或 75 C90或 15 D90或 75或 15 9如图，ABAC，AEECCD，A60，若 EF2，则 DF（）A3 B4 C5 D6 10如图，在第 1 个A1BC 中，B30，A1BCB；在边 A1B 上任取一点 D，延长 CA1到 A2，使 A1A2A1D，得到第 2 个A1A2D；在边 A2D 上任取一点 E，延长 A1A2到 A3，使 A2A3A2E，得到第 3 个A2A3E，按此做法继续下去，则第 n 个三角形中以 An为顶点的底角度数是（）A（）n75 B（）n165 C（）n175 D（）n85 二填空题 11等腰三角形的一个内角的度数是 40，则其余两个内角的度数是 12如图，在ABC 中，ABBC，中线 AD 将这个三角形的周长分成 18 和 15 两部分，则AC 的长为 13如图，ABAC，DBDC，若ABC 为 60，BE3cm，则 AB cm 14如图所示，AOPBOP15，PCOA 交 OB 于 C，PDOA 于 D，若 PC4，则 PD 等于 15已知：如图，ABC 中，BO，CO 分别是ABC 和ACB 的平分线，过 O 点的直线分别交 AB、AC 于点 D、E，且 DEBC 若 AB6cm，AC8cm，则ADE 的周长为 16如图，在ABC 中，AB20cm，AC12cm，点 P 从点 B 出发以每秒 3cm 速度向点 A运动，点 Q 从点 A 同时出发以每秒 2cm 速度向点 C 运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当APQ 是以 PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒 三解答题 17如图，AD 平分BAC，ADBD，垂足为点 D，DEAC 求证：BDE 是等腰三角形 18如图，在ABC 中，ABAC，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 边上，且 BECF，BDCE（1）求证：DEF 是等腰三角形；（2）当A40时，求DEF 的度数 19如图所示，ABC 中，ABBC，DEAB 于点 E，DFBC 于点 D，交 AC 于 F（1）若AFD155，求EDF 的度数；（2）若点 F 是 AC 的中点，求证：CFDB 20如图，ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合），Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合），过 P 作 PEAB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D（1）当BQD30时，求 AP 的长；（2）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由 21如图，点 O 是等边ABC 内一点，AOB110，BOC以 OC 为一边作等边三角形 OCD，连接 AC、AD（1）当 150时，试判断AOD 的形状，并说明理由；（2）探究：当 为多少度时，AOD 是等腰三角形？22已知：如图，ABC、CDE 都是等边三角形，AD、BE 相交于点 O，点 M、N 分别是线段 AD、BE 的中点（1）求证：ADBE；（2）求DOE 的度数；（3）求证：MNC 是等边三角形 23如图，ABC 中，ABBCAC12cm，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点 M 的速度为 1cm/s，点 N 的速度为 2cm/s当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动（1）点 M、N 运动几秒时，M、N 两点重合？（2）点 M、N 运动几秒时，可得到等边三角形AMN？（3）当点 M、N 在 BC 边上运动时，能否得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN？如存在，请求出此时 M、N 运动的时间 24RtABC 中，ACB90，A30，BD 是ABC 的角平分线，DEAB 于点 E （1）如图 1，连接 EC，求证：EBC 是等边三角形；（2）点 M 是线段 CD 上的一点（不与点 C，D 重合），以 BM 为一边，在 BM 的下方作BMG60，MG 交 DE 延长线于点 G 请你在图 2 中画出完整图形，并直接写出 MD，DG 与 AD 之间的数量关系；（3）如图 3，点 N 是线段 AD 上的一点，以 BN 为一边，在 BN 的下方作BNG60，NG 交 DE 延长线于点 G试探究 ND，DG 与 AD 数量之间的关系，并说明理由 参考答案 一选择题 1解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为 2cm，底边长为 5cm 时，2+245，不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为 5cm，底边长为 2cm 时，等腰三角形的三边长分别为 5cm，5cm，2cm，综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是 5cm，故选：B 2解：用反证法来证明命题“若 a1，则 a21”，第一步假设 a21，故选：C 3解：A、A30，B60，C180AB90，ABC 不是等腰三角形，故 A 不符合题意；B、A50，B80，C180AB50，AC，ABC 是等腰三角形，故 B 符合题意；C、ABAC2，CB4，AB+BC2+24BC，不能组成三角形，故 C 不符合题意；D、AB3，BC7，周长为 13，AC13ABBC3，AB+AC3+367，不能组成三角形，故 D 不符合题意；故选：B 4解：如图：分三种情况：当 ABAC 时，以点 A 为圆心，以 AB 长为半径作圆，则点 C1即为所求；当 BABC 时，以点 B 为圆心，以 BA 长为半径作圆，则点 C2即为所求；当 CACB 时，作 AB 的垂直平分线，则点 C3，C4，C5，C6A 即为所求；综上所述，使得ABC 为等腰三角形的格点 C 的个数是 6 个，故选：C 5解：如图，符合条件的点 P 有 4 个 故选：D 6解：由题意，画出图形如下：CH 是 RtABC 的高，B60，BCH30，BC2BH236，又ACB90，B60，A30，AB2BC12，AHABBH9，故选：B 7解：ABC 是等边三角形，ABC60，ABBCAC，BDAC，ABDABC30，DEAB，DEB90，BE3，DE，BD2DE2，在 RtABD 中，AD2，AB2AD4，故选：B 8解：如下图，分三种情况：如图 1，ABBC，ADBC，AD 在三角形的内部，由题意知，ADBCAB，B30，C（180B）75，BACC75；如图 2，ACBC，ADBC，AD 在三角形的外部，由题意知，ADBCAC，ACD30B+CAB，BCAB，BACACD15；如图 3，ACBC，ADBC，BC 边为等腰三角形的底边，由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合，可得点 D 为 BC 的中点，由题意知，ADBCCDBD，ABD，ADC 均为等腰直角三角形，BADCAD45，BAC90，BAC 的度数为 90或 75或 15，故选：D 9解：如图，过点 E 作 EGBC，交 BC 于点 G ABAC，A60，ABC 是等边三角形，ACB60，ECCD，CEDCDEACB30，AEF30，AFE90，即 EFAB，ABC 是等边三角形，AECE，BE 平分ABC，EGEF2，在 RtDEG 中，DE2EG4，DFEF+DE2+46；方法二、ABAC，A60，ABC 是等边三角形，ACB60，ECCD，CEDCDEACB30，ABC 是等边三角形，AECE，BE 平分ABC，ABECBE30CDE，BEDE，BFD90，BE2EF4DE，DFDE+EF6；故选：D 10解：在CBA1中，B30，A1BCB，BA1C75，A1A2A1D，BA1C 是A1A2D 的外角，DA2A1BA1C75；同理可得，EA3A2（）275，FA4A3（）375，第 n 个三角形中以 An为顶点的底角度数是（）n175 故选：C 二填空题 11解：分两种情况：当等腰三角形的顶角为 40时，等腰三角形的两个底角（18040）70；当等腰三角形的一个底角为 40时，则另一个底角也是 40，等腰三角形的顶角180240100；综上所述：等腰三角形的其余两个内角的度数为 70，70或 40，70，故答案为：70，70或 40，70 12解：设 ABBC2x，ACy，则 BDCDx，BC 上的中线 AD 将这个三角形的周长分成 18 和 15 两部分，有两种情况：1、当 3x18 且 x+y15 时，解得 x6，y9，即 AC 的长为 9；2、当 x+y18 且 3x15 时，解得 x5，y13，此时腰为 10，即 AC 的长为 13 综上所述，AC 的长为 9 或 13 故答案为：9 或 13 13解：在ABD 和ACD 中，ABDACD BADCAD 又ABAC，BEEC3cm BC6cm ABAC，ABC60，ABC 为等边三角形 AB6cm 故答案为：6 14解：过点 P 作 PMOB 于 M，PCOA，COPCPOPOD15，BCP30，PMPC2，PDPM，PD2 故答案为：2 15解：DEBC DOBOBC，又BO 是ABC 的角平分线，DBOOBC，DBODOB，BDOD，同理：OEEC，ADE 的周长AD+OD+OE+AEAD+BD+AE+ECAB+AC14cm 故答案是：14cm 16解：设运动的时间为 x，在ABC 中，AB20cm，AC12cm，点 P 从点 B 出发以每秒 3cm 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 同时出发以每秒 2cm 的速度向点 C 运动，当APQ 是等腰三角形时，APAQ，AP203x，AQ2x 即 203x2x，解得 x4 故答案为：4 三解答题 17证明：DEAC，13，AD 平分BAC，12，23，ADBD，2+B90，3+BDE90，BBDE，BEDE，BDE 是等腰三角形 18证明：ABAC，ABCACB，在DBE 和ECF 中，DBEECF，DEEF，DEF 是等腰三角形；（2）DBEECF，13，24，A+B+C180，B（18040）70 1+2110 3+2110 DEF70 19解：（1）AFD155，DFC25，DFBC，DEAB，FDCAED90，在 RtFDC 中，C902565，ABBC，CA65，EDF360651559050（2）连接 BF ABBC，且点 F 是 AC 的中点，BFAC，ABFCBFABC，CFD+BFD90，CBF+BFD90，CFDCBF，CFDABC 20解：（1）ABC 是边长为 6 的等边三角形，ACB60，BQD30，QPC90，设 APx，则 PC6x，QBx，QCQB+BC6+x，在 RtQCP 中，BQD30，PCQC，即 6x（6+x），解得 x2，AP2；（2）解法一：当点 P、Q 同时运动且速度相同时，线段 DE 的长度不会改变理由如下：过 P 作 PFQC，AFP 是等边三角形，P、Q 同时出发、速度相同，即 BQAP，BQPF，DBQDFP（AAS），BDDF，而APF 是等边三角形，PEAF，AEEF，又 DE+（BD+AE）AB6，DE+（DF+EF）6，即 DE+DE6DE3 为定值，即 DE 的长不变 解法二：当点 P、Q 同时运动且速度相同时，线段 DE 的长度不会改变理由如下：作 QFAB，交直线 AB 于点 F，连接 QE，PF，又PEAB 于 E，DFQAEP90，点 P、Q 速度相同，APBQ，ABC 是等边三角形，AABCFBQ60，在APE 和BQF 中，AEPBFQ90，APEBQF，APEBQF（AAS），AEBF，PEQF 且 PEQF，四边形 PEQF 是平行四边形，DEEF，EB+AEBE+BFAB，DEAB，又等边ABC 的边长为 6，DE3，点 P、Q 同时运动且速度相同时，线段 DE 的长度不会改变 21解：（1）OCD 是等边三角形，OCCD，而ABC 是等边三角形，BCAC，ACBOCD60，BCOACD，在BOC 与ADC 中，BOCADC，BOCADC，而BOC150，ODC60，ADO1506090，ADO 是直角三角形；（2）设CBOCADa，ABOb，BAOc，CAOd，则 a+b60，b+c18011070，c+d60，bd10，（60a）d10，a+d50，即DAO50，要使 AOAD，需AODADO，19060，125；要使 OAOD，需OADADO，110+80+60+360 110；要使 ODAD，需OADAOD，110+50+60+360，140 所以当 为 110、125、140时，三角形 AOD 是等腰三角形 22解：（1）ABC、CDE 都是等边三角形，ACBC，CDCE，ACBDCE60，ACB+BCDDCE+BCD，ACDBCE，在ACD 和BCE 中，ACDBCE，ADBE（2）解：ACDBCE，ADCBEC，等边三角形 DCE，CEDCDE60，ADE+BEDADC+CDE+BED，ADC+60+BED，CED+60，60+60，120，DOE180（ADE+BED）60，答：DOE 的度数是 60（3）证明：ACDBCE，CADCBE，ADBE，ACBC 又点 M、N 分别是线段 AD、BE 的中点，AMAD，BNBE，AMBN，在ACM 和BCN 中，ACMBCN，CMCN，ACMBCN，又ACB60，ACM+MCB60，BCN+MCB60，MCN60，MNC 是等边三角形 23解：（1）设点 M、N 运动 x 秒时，M、N 两点重合，x1+122x，解得：x12；（2）设点 M、N 运动 t 秒时，可得到等边三角形AMN，如图，AMt1t，ANABBN122t，三角形AMN 是等边三角形，t122t，解得 t4，点 M、N 运动 4 秒时，可得到等边三角形AMN（3）当点 M、N 在 BC 边上运动时，可以得到以 MN 为底边的等腰三角形，由（1）知 12 秒时 M、N 两点重合，恰好在 C 处，如图，假设AMN 是等腰三角形，ANAM，AMNANM，AMCANB，ABBCAC，ACB 是等边三角形，CB，在ACM 和ABN 中，ACMABN（AAS），CMBN，设当点 M、N 在 BC 边上运动时，M、N 运动的时间 y 秒时，AMN 是等腰三角形，CMy12，NB362y，CMNB，y12362y，解得：y16故假设成立 当点 M、N 在 BC 边上运动时，能得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN，此时 M、N运动的时间为 16 秒 24（1）证明：如图 1 所示：在 RtABC 中，ACB90，A30，ABC60，BC BD 平分ABC，1DBAA30 DADB DEAB 于点 E AEBE BCBE EBC 是等边三角形；（2）结论：ADDG+DM 证明：如图 2 所示：延长 ED 使得 DWDM，连接 MW，ACB90，A30，BD 是ABC 的角平分线，DEAB 于点 E，ADEBDE60，ADBD，又DMDW，WDM 是等边三角形，MWDM，在WGM 和DBM 中，WGMDBM，BDWGDG+DM，ADDG+DM （3）结论：ADDGDN 证明：延长 BD 至 H，使得 DHDN 由（1）得 DADB，A30 DEAB 于点 E 2360 4560 NDH 是等边三角形 NHND，H660 H2 BNG60，BNG+76+7 即DNGHNB 在DNG 和HNB 中，DNGHNB（ASA）DGHB HBHD+DBND+AD，DGND+AD ADDGND