福建省莆田四中2023学年高三下学期联考数学试题(含解析).pdf

2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图是计算11111+246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A5k B5k C5k D6k 2已知下列命题：“2,56xR xx”的否定是“2,56xR xx”；已知,p q为两个命题，若“pq”为假命题，则“pq”为真命题；“2019a”是“2020a”的充分不必要条件；“若0 xy，则0 x 且0y”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（）A B C D 3 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若ABC的面为S，且224 3Sabc，则sin4C（）A1 B22 C624 D624 4给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A12 种 B18 种 C24 种 D64 种 5 已知圆224210 xyxy 关于双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为（）A5 B5 C52 D54 6设点(,0)A t，P 为曲线xye上动点，若点A，P 间距离的最小值为6，则实数 t 的值为（）A5 B52 Cln222 Dln322 7设22(1)1zii（i是虚数单位），则|z（）A2 B1 C2 D5 8已知，表示两个不同的平面，l 为 内的一条直线，则“是“l”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9已知椭圆22ya+22xb=1(ab0)与直线1yaxb交于 A，B 两点，焦点 F(0，-c)，其中 c 为半焦距，若 ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A5-12 B3-12 C314 D514 10当0a 时，函数 2xfxxax e的图象大致是（）A B C D 11一辆邮车从A地往B地运送邮件，沿途共有n地，依次记为1A，2A，nA（1A为A地，nA为B地）从1A地出发时，装上发往后面1n 地的邮件各 1 件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各 1 件，记该邮车到达1A，2A，nA各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,)ka kn则ka的表达式为（）A(1)k nk B(1)k nk C()n nk D()k nk 12已知直线 yk（x1）与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两点，直线 y2k（x2）与抛物线 D：y28x 交于 M，N两点，设|AB|2|MN|，则（）A16 B16 C120 D12 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13正四面体ABCD的一个顶点A是圆柱OA上底面的圆心，另外三个顶点BCD圆柱下底面的圆周上，记正四面体ABCD的体积为1V，圆柱OA的体积为2V，则12VV的值是_.14 已知点P是抛物线24xy上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为0,1，则PFPA的最小值为_ 15若实数,x y满足约束条件43yxxyx，设32z=xy的最大值与最小值分别为,m n，则mn_ 16连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P的坐标，则点P落在圆2219xy内的概率为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）我国在贵州省平塘县境内修建的 500 米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现 132 颗优质的脉冲星候选体，其中有 93 颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪 60 年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到 0.0014 秒，最长的也不过 11.765735 秒.某-天文研究机构观测并统计了 93 颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.（1）在 93 颗新发现的脉冲星中，自转周期在 2 至 10 秒的大约有多少颗？（2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.18（12 分）在ABC中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且sin3sinsinsinCBabABc.（1）求角 A 的大小；（2）若2sinsin1cosABC，BAC的平分线与BC交于点 D，与ABC的外接圆交于点 E（异于点 A），AEAD，求的值.19（12 分）已知椭圆22:12xCy的左、右焦点分别为12,F F直线l垂直于x轴，垂足为T，与抛物线24yx交于不同的两点,P Q，且125,FP FQ 过2F的直线m与椭圆C交于,A B两点，设22,F AF B且2,1 .（1）求点T的坐标；（2）求TATB的取值范围.20（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知22abcab.（1）求角C；（2）若4 cossin02cAbC，1a，求ABC的面积.21（12 分）车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的 100 个零件的加工时间进行统计，结果如下：加工 1 个零件用时X（分钟）20 25 30 35 频数（个）15 30 40 15 以加工这 100 个零件用时的频率代替概率.（1）求X的分布列与数学期望EX；（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时 40 分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工 1 个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工 2 个零件作示范的总时间不超过 100 分钟的概率.22（10 分）已知椭圆222:9(0)Cxymm,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由 2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】根据计算结果，可知该循环结构循环了 5 次；输出 S 前循环体的 n 的值为 12，k 的值为 6，进而可得判断框内的不等式【题目详解】因为该程序图是计算11111246810值的一个程序框圈 所以共循环了 5 次 所以输出 S 前循环体的 n 的值为 12，k 的值为 6，即判断框内的不等式应为6k 或5k 所以选 C【答案点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题 2、B【答案解析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断【题目详解】“2,56xR xx”的否定是“2,56xR xx”，正确；已知为两个命题，若“pq”为假命题，则“pq”为真命题，正确；“2019a”是“2020a”的必要不充分条件,错误；“若0 xy，则0 x 且0y”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B【答案点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础 3、D【答案解析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可【题目详解】解：由224 3Sabc，得22214 3sin22abCabcab，2222cosabcabC，2 3sin2cos2abCabCab，即3sincos1CC 即2sin16C，则1sin62C，0C，5666C，66C，即3C，则sinsinsincoscossin4343434C32126222224，故选 D【答案点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键 4、C【答案解析】根据题意，分 2 步进行分析：，将 4 人分成 3 组，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的 2 组全排列，安排其他的 2 项工作，由分步计数原理计算可得答案【题目详解】解：根据题意，分 2 步进行分析：，将 4 人分成 3 组，有246C 种分法；，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有 2 种情况，将剩下的 2 组全排列，安排其他的 2 项工作，有222A 种情况，此时有2 24种情况，则有6 424 种不同的安排方法；故选：C【答案点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 5、C【答案解析】将圆224210 xyxy，化为标准方程为，求得圆心为21，.根据圆224210 xyxy 关于双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，12ba.再根据21cbeaa求解.【题目详解】已知圆224210 xyxy，所以其标准方程为：22214xy，所以圆心为21，.因为双曲线2222:10,0 xyCabab，所以其渐近线方程为byxa，又因为圆224210 xyxy 关于双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，所以12ba.所以2512cbeaa.故选：C【答案点睛】本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6、C【答案解析】设(,)xP x e，求2AP，作为x的函数，其最小值是 6，利用导数知识求2AP的最小值【题目详解】设(,)xP x e，则222()xAPxte，记22()()xg xext，2()22()xg xext，易知2()22()xg xext是增函数，且()g x的值域是R，()0g x的唯一解0 x，且0 xx时，()0g x，0 xx时，()0g x，即min0()()g xg x，由题意02200()()6xg xext，而0200()22()0 xg xext，020 xxte ，00246xxee，解得022xe，0ln22x 020ln222xtex 故选：C【答案点睛】本题考查导数的应用，考查用导数求最值解题时对0 x和t的关系的处理是解题关键 7、A【答案解析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z，即可根据复数的模计算公式求出|z【题目详解】22)1121(1ziiiii ，22|112z 故选：A【答案点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，属于容易题 8、A【答案解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断 解：根据题意，由于，表示两个不同的平面，l 为 内的一条直线，由于“，则根据面面平行的性质定理可知，则必然 中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，“是“l”的充分不必要条件 故选 A 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定 9、A【答案解析】联立直线与椭圆方程求出交点 A，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,a b c的关系式，解方程求解即可.【题目详解】联立方程222211yxabyxab，解方程可得0 xya或0 xby，不妨设 A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，BABF=0，因为,BAb a，,BFbc，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b bac，因为222bac，所以 a2-c2=ac，两边同时除以2a可得，210ee，解得 e=5-12或152e（舍去），所以该椭圆的离心率为5-12.故选：A【答案点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,a b c的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.10、B【答案解析】由 0f x，解得20 xax，即0 x 或xa，0,a 函数 f x有两个零点，,A C，不正确，设1a，则 22,1xxf xxx efxxxe，由 210 xfxxxe，解得152x 或152x，由 210 xfxxe，解得：151522x ，即1x 是函数的一个极大值点，D不成立，排除D，故选 B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,xxxx 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.11、D【答案解析】根据题意，分析该邮车到第k站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案【题目详解】解：根据题意，该邮车到第k站时，一共装上了(21)(1)(2)()2nkknnnk 件邮件，需要卸下(1)123(1)2kkk件邮件，则(21)(1)()22knkkkkak nk，故选：D【答案点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题 12、D【答案解析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244ABk，244ABk，然后计算，可得结果.【题目详解】设 1122,A x yB x y，联立2222212404yk xk xkxkyx（）则212222442kxxkk，因为直线1yk x经过 C 的焦点，所以12244xxkApB.同理可得228MNk，所以4 1612 故选：D.【答案点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、34【答案解析】设正四面体的棱长为a，求出底面外接圆的半径与高，代入体积公式求解【题目详解】解：设正四面体的棱长为a，则底面积为2133224aaa，底面外接圆的半径为33a，高为223633aaa 正四面体的体积231136234312Vaaa，圆柱OA的体积232366339Vaaa 则31322312469aVVa 故答案为：34【答案点睛】本题主要考查多面体与旋转体体积的求法，考查计算能力，属于中档题 14、22【答案解析】过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得PMPF，则sinPFPMPAMPAPA，PAM为锐角.故当PA和抛物线相切时，PFPA的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PFPA的最小值.【题目详解】解：由题意可得，抛物线24xy的焦点0,1F，准线方程为1y ，过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得PMPF，则sinPFPMPAMPAPA，PAM为锐角.故当PAM最小时，PFPA的值最小.设切点2,Pa a，由214yx的导数为12yx，则PA的斜率为11222aaaa，求得1a，可得2,1P，2PM，2 2PA，2sin2PMPAMPA.故答案为：22.【答案点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.15、72【答案解析】画出可行域，平移基准直线320 xy到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得mn的比值.【题目详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线32zxy过点3,1时，z取得最大值 7；过点2,2时，z取得最小值2，所以72mn.【答案点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.16、1136【答案解析】连续掷两次骰子共有6 636 种结果，列出满足条件的结果有 11 种，利用古典概型即得解【题目详解】由题意知，连续掷两次骰子共有6 636 种结果，而满足条件的结果为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1)共有 11 种结果，根据古典概型概率公式，可得所求概率1136P 故答案为：1136【答案点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）79 颗；（2）5.5 秒.【答案解析】（1）利用各小矩形的面积和为 1 可得a，进而得到脉冲星自转周期在 2 至 10 秒的频率，从而得到频数；（2）平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到.【题目详解】（1）第一到第六组的频率依次为 0.1，0.2，0.3，0.2，2a，0.05，其和为 1 所以210.1 0.20.30.20.05a ，0.075a，所以，自转周期在 2 至 10 秒的大约有931 0.1579.0579（颗）.（2）新发现的脉冲星自转周期平均值为 0.1 1 0.2 3 0.3 50.2 70.15 90.05 115.5 （秒）.故新发现的脉冲星自转周期平均值为 5.5 秒.【答案点睛】本题考查频率分布直方图的应用，涉及到平均数的估计值等知识，是一道容易题.18、（1）30A；（2）2 33【答案解析】（1）由sin3sinsinsinCBabABc，利用正弦定理转化整理为2223abcbc，再利用余弦定理求解.（2）根据2sinsin1cosABC，利用两角和的余弦得到cos1AB，利用数形结合，设1AC，在ADC中，由正弦定理求得AD，在AOE中，求得AE再求解.【题目详解】（1）因为sin3sinsinsinCBabABc，所以3cb cabab，即2223abcbc，即3cos2A，所以30A.（2）2sinsin1cos1 cosABCAB ，1 coscossinsinABAB.所以cos1AB，从而AB.所以30B，120C.不妨设1AC，O 为ABC外接圆圆心 则 AO=1，3AB，45ADCEAO.在ADC中，由正弦定理知，有1sin120sinsin45ADACADC.即62AD；在AOE中，由45OAEOEA，1OA，从而2AE.所以2 33AEAD.【答案点睛】本题主要考查平面向量的模的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.19、（1）2,0T；（2）13 22,8.【答案解析】（1）设出,P Q的坐标，代入125FP F Q，结合,P Q在抛物线24yx上，求得,P Q两点的横坐标，进而求得T点的坐标.（2）设出直线m的方程，联立直线m的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合11FAFB，求得2TA TB的表达式，结合二次函数的性质求得TATB的取值范围.【题目详解】（1）可知121,0,1,0FF，设0000,P x yQ xy 则 002210020051,1,1FP F Qxyxyxy ，又24yx，所以200514xx 解得02,x 所以2,0T.（2）据题意，直线m的斜率必不为0,所以设:1,m xty将直线m方程代入椭圆C的方程中，整理得222210tyty，设1122,A x yB xy 则12222tyyt 12212y yt 因为11,FAFB 所以12,yy且0,x 将式平方除以式得212221422yytyyt 所以221422tt 2,1,又解得2207t 又12124,TATBxxyy，21212241422txxt yyt 所以222121222228841622TATBxxyytt 令212nt，则71,16 2n 所以2227171698281684,4232TATBnnn 13 22,8TA TB【答案点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.20、（1）3（2）3【答案解析】（1）利用余弦定理可求cosC，从而得到C的值.（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得4ba，得到b值后利用面积公式可求ABCS.【题目详解】（1）由22abcab，得222abcab.所以由余弦定理，得222cos122abcCab.又因为0,C，所以3C.（2）由4 cossin02cAbC，得4 sinsin0cAbC.由正弦定理，得4cabc，因为0c，所以4ba.又因1a，所以4b.所以ABC的面积113sin1 43222SabC .【答案点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.21、（1）分布列见解析，27.75EX；（2）0.8575【答案解析】（1）根据题目所给数据求得分布列，并计算出数学期望.（2）根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式，计算出刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.【题目详解】（1）X的分布列如下：X 20 25 30 35 P 0.15 0.30 0.40 0.15 20 0.1525 0.3030 0.4035 0.1527.75EX.（2）设1X，2X分别表示讲座前、讲座后加工该零件所需时间，事件A表示“留师傅讲座及加工两个零件示范的总时间不超过 100 分钟”，则 111260160P AP XXP XX 121212130,3535,3035,35P XXP XXP XX 210.40.150.40.150.150.8575.【答案点睛】本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查对立事件概率计算，考查相互独立事件概率计算，属于中档题.22、（）详见解析；（）能，47或47【答案解析】试题分析：（1）设直线:l ykxb(0,0)kb，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM的斜率，再表示；（2）第一步由()得OM的方程为9yxk 设点P的横坐标为Px，直线OM与椭圆方程联立求点P的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k，3k 的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l ykxb(0,0)kb，11(,)A x y，22(,)B xy，(,)MMM xy 由2229ykxbxym得2222(9)20kxkbxbm，12229Mxxkbxk，299MMbykxbk 直线OM的斜率9MOMMykxk，即9OMkk 即直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值9（2）四边形OAPB能为平行四边形 直线l过点(,)3mm，l不过原点且与C有两个交点的充要条件是0k，3k 由()得OM的方程为9yxk 设点P的横坐标为Px 由2229,9,yxkxym 得，即 将点(,)3mm的坐标代入直线l的方程得(3)3mkb，因此2(3)3(9)Mmk kxk 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即2PMxx 239kmk2(3)23(9)mk kk解得147k，247k 0,3iikk，1i，2，当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行四边形 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2PMxx，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.