牡丹江市重点中学2023学年高考仿真卷数学试卷(含解析).pdf

2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数z满足1 i zi（i是虚数单位），则z的虚部为（）A12 B12 C12i D12i 2已知复数z满足121izii（其中z为z的共轭复数），则z的值为()A1 B2 C3 D5 3 cos0,0f xAxA的图象如图所示，sing xAx，若将 yf x的图象向左平移0a a 个单位长度后所得图象与 yg x的图象重合，则a可取的值的是（）A112 B512 C712 D1112 4已知236ab，则a，b不可能满足的关系是（）Aabab B4ab C22112ab D228ab 5把函数 sin 2(0)6fxAxA的图象向右平移4个单位长度，得到函数 g x的图象，若函数0g xmm是偶函数，则实数m的最小值是（）A512 B56 C6 D12 6如图，在三棱锥DABC中，DC 平面ABC，ACBC，2ACBCCD，E，F，G分别是棱AB，AC，AD的中点，则异面直线BG与EF所成角的余弦值为 A0 B63 C33 D1 7已知直线l：210yx过双曲线222210,0 xyabab的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A221520 xy B221205xy C221169xy D221916xy 8已知随机变量i满足221kkkiiiPkCpp，1,2i，0,1,2k.若21211pp，则（）A 12EE，12DD B 12EE，12DD C 12EE，12DD D 12EE，12DD 9设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则m的一个充分条件是（）A且m B/mn且n C且/m Dmn且/n 10 设12FF，是双曲线2222100 xyabab，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使220OPOFF P（O为坐标原点），且123PFPF，则双曲线的离心率为（）A212 B21 C312 D31 11已知不同直线l、m与不同平面、，且l，m，则下列说法中正确的是（）A若/，则l/m B若，则lm C若l，则 D若，则m 12如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A22 B32 C212 D312 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13某高中共有 1800 人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取 60 人，那么高二年级被抽取的人数为_ 14在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且2,2sinsincAC若B为钝角，3cos24C ，则ABC的面积为 _ 15函数 41f xxxx的值域为_.16在ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足22(sin3cos)40aaBB，2 7b，则ABC的面积为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 bcosA3asinB1（1）求 A；（2）已知 a23，B3，求 ABC 的面积 18（12 分）某工厂的机器上有一种易损元件 A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修工厂规定当日损坏的元件 A 在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件 A 的维修工作 每个工人独立维修 A 元件需要时间相同维修处记录了某月从 1 日到 20 日每天维修元件 A 的个数，具体数据如下表：日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 元件A个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24 从这 20 天中随机选取一天，随机变量 X 表示在维修处该天元件 A 的维修个数（）求 X 的分布列与数学期望；（）若 a，b*N，且 b-a=6，求P aXb最大值；（）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件 A 的个数的数学期望不超过 4 个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）19（12 分）已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，直线l交C于,A B两点（异于坐标原点 O）.（1）若直线l过点F,12OA OB，求C的方程；（2）当0OA OB时，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.20（12 分）如图，已知椭圆E的右焦点为21,0F，P，Q为椭圆上的两个动点，2PQF周长的最大值为 8.（）求椭圆E的标准方程；（）直线l经过2F，交椭圆E于点A，B，直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆E于点M，N，24MNAB，求证：直线m与直线l的交点T在定直线上.21（12 分）已知椭圆 E：22221xyab（0ab）的离心率为32e，且短轴的一个端点 B 与两焦点 A，C 组成的三角形面积为3.（）求椭圆 E 的方程；（）若点 P 为椭圆 E 上的一点，过点 P 作椭圆 E 的切线交圆 O：222xya于不同的两点 M，N（其中 M 在 N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值.22（10 分）已知椭圆 C2222:1(0)xybaab的离心率为3.2且经过点3(1,)2（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点(0，2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A、B，以 OA、OB 为邻边的平行四边形 OAMB 的顶点 M 在椭圆 C上，求直线 l 的方程.2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】由1 i zi得1zii,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z,从而可得z的虚部.【题目详解】因为(1)i zi,所以22(1)1111(1)(1)1 1221iiiiiiziiiii,所以复数z的虚部为12.故选 A.【答案点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.2、D【答案解析】按照复数的运算法则先求出z，再写出z，进而求出z.【题目详解】21(1)21(1)(1)2iiiiiii，1222(2)121iizii ziziiiii ，2212|(1)25ziz .故选：D【答案点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.3、B【答案解析】根据图象求得函数 yf x的解析式，即可得出函数 yg x的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于a的等式，即可得出结果.【题目详解】由图象可得1A，函数 yf x的最小正周期为23471T，22T，777cos 2cos112126f，则726kkZ，26kkZ，取6，cos 26fxx，则 2sin 2cos 263g xxx，cos 226g xfxaxa，22263ak，可得512akkZ，当0k 时，512a.故选：B.【答案点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题.4、C【答案解析】根据236ab即可得出21l3oga ，31l2ogb ，根据23loglog132，33loglog222，即可判断出结果【题目详解】236ab；226log1og 3la ，336log1og 2lb ；2332log2log4ab，2332logog42lab，故,A B正确；2322223211loglog2log323 log22ab，故 C 错误；22232223loglog2log2323log 2ab 23232324 loglogl23oglog82，故 D 正确 故 C【答案点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2abab和不等式222abab的应用，属于中档题 5、A【答案解析】先求出 g x的解析式，再求出0g xmm的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m满足的等式，从而可求其最小值.【题目详解】sin 2(0)6fxAxA的图象向右平移4个单位长度，所得图象对应的函数解析式为 2sin 2sin 2263g xAxAx，故2sin 223g xmAxm.令22232xmk，kZ，解得7122kxm，kZ.因为yg xm为偶函数，故直线0 x 为其图象的对称轴，令07122km，kZ，故7122km，kZ，因为0m，故2k，当2k 时，min512m.故选：A.【答案点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x做加减，比如把 2yfx的图象向右平移 1 个单位后，得到的图象对应的解析式为2122yfxfx，另外，如果xm为正弦型函数 sinf xAx图象的对称轴，则有 f mA，本题属于中档题 6、B【答案解析】根据题意可得BC 平面ACD，EFBC，则CBG即异面直线BG与EF所成的角，连接 CG，在RtCBG中，cosBCCBGBG，易得2 2BDADAB，所以6BG，所以cosCBG2636，故选 B 7、A【答案解析】根据直线l：210yx过双曲线222210,0 xyabab的一个焦点，得5c，又和其中一条渐近线平行，得到2ba，再求双曲线方程.【题目详解】因为直线l：210yx过双曲线222210,0 xyabab的一个焦点，所以5,0F，所以5c，又和其中一条渐近线平行，所以2ba，所以25a，220b，所以双曲线方程为221520 xy.故选：A.【答案点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8、B【答案解析】根据二项分布的性质可得：,1iiiiiEp Dpp，再根据21211pp和二次函数的性质求解.【题目详解】因为随机变量i满足221kkkiiiPkCpp，1,2i，0,1,2k.所以i服从二项分布，由二项分布的性质可得：,1iiiiiEp Dpp，因为21211pp，所以 12EE，由二次函数的性质可得：1f xxx，在1,12上单调递减，所以 12DD.故选：B【答案点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.9、B【答案解析】由/mn且n可得m，故选 B.10、D【答案解析】利用向量运算可得220OA F P，即2OAF P，由OA为12PFF的中位线，得到12PFPF，所以 222122PFPFc，再根据双曲线定义即可求得离心率.【题目详解】取2PF的中点A，则由220OPOFF P得220OA F P，即2OAF P；在12PFF中，OA为12PFF的中位线，所以12PFPF，所以 222122PFPFc；由双曲线定义知122PFPFa，且123PFPF，所以312ca，解得31e，故选：D【答案点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.11、C【答案解析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.【题目详解】对于A，若/，则,l m可能为平行或异面直线，A错误；对于B，若，则,l m可能为平行、相交或异面直线，B错误；对于C，若l，且l，由面面垂直的判定定理可知，C正确；对于D，若，只有当m垂直于,的交线时才有m，D错误.故选：C.【答案点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.12、D【答案解析】先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.【题目详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为O，球心为O，由题意，球的体积为43，即24433R可得球O的半径为 1，又由边长为2的正方形硬纸，可得圆O的半径为12，利用球的性质可得222131()22O O，又由O到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为12，所以球心到底面的距离为3131222.故选：D.【答案点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、20【答案解析】由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有600人，根据抽样比可求得结果.【题目详解】设高一、高二、高三人数分别为,a b c，则2bac且1800abc，解得：600b，用分层抽样的方法抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为60060201800人 故答案为：20.【答案点睛】本题考查分层抽样问题的求解，涉及到等差数列的相关知识，属于基础题.14、3 78【答案解析】转化2sinsinAC为2ca，利用二倍角公式可求解得cosC，结合余弦定理2222coscababC可得 b，再利用面积公式可得解.【题目详解】因为2,2sinsincAC，所以12ca 又因为3cos24C ，且C为锐角，所以214cos,sin44CC 由余弦定理得2222coscababC，即224124bb，解得3 22b，所以113 2143 7sin122248ABCSabC 故答案为：3 78【答案点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.15、3,【答案解析】利用配方法化简式子，可得 2213fxx，然后根据观察法，可得结果.【题目详解】函数的定义域为0,41241f xxxxxx 22133fxx 所以函数的值域为3,故答案为：3,【答案点睛】本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。16、2 3【答案解析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B，进而可求a，然后结合余弦定理可求c，代入1sin2ABCSacB，计算可得所求【题目详解】解：把22(sin3cos)40aaBB看成关于a的二次方程，则0，即24(sin3cos)160BB，即为24 2sin1603B，化为2sin13B，而2sin13B，则2sin13B，由于0B，可得4333B，可得32B，即6B，代入方程可得，2440aa，2a，由余弦定理可得，24283cos62 22cc，解得：4 3c（负的舍去），111sin2 4 32 3222ABCSacB 故答案为2 3【答案点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）6；（2）6 3.【答案解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得 sinBcosA3sinAsinB1，结合 sinB1，可求 tanA33，结合范围 A（1，），可得 A 的值；（2）由已知可求 C2，可求 b 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解【题目详解】（1）bcosAasinB1 由正弦定理可得：sinBcosAsinAsinB1，sinB1，cosAsinA，tanA，A（1，），A；（2）a2，B，A，C，根据正弦定理得到sinsinabAB b6，S ABCab6【答案点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18、（）分布列见解析，15E X；()34；()至少增加 2 人.【答案解析】（）求出 X 的所有可能取值为 9，12，15，18，24，求出概率，得到 X 的分布列，然后求解期望即可（）当 P（aXb）取到最大值时，求出 a，b 的可能值，然后求解 P（aXb）的最大值即可（）利用前两问的结果，判断至少增加 2 人【题目详解】()X 的取值为：9，12，15，18，24；3920P X,51220P X,71520P X,21820P X,32420P X，X 的分布列为：X 9 12 15 18 24 P 320 520 720 220 320 故 X 的数学期望 35723912151824152020202020E X ；()当 P(aXb)取到最大值时,a,b 的值可能为：915ab,或1218ab,或1824ab.经计算159150(2)PX,14121()820PX,5182()420PX，所以 P(aXb)的最大值为153204.()至少增加 2 人.【答案点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题.19、（1）28yx（2）直线l过定点(2,0)p【答案解析】设1122(,),(,)A x yB xy.（1）由题意知(,0)2pF，221212(,),(,)22yyAyBypp.设直线l的方程为()2pxtytR，由222ypxpxty得2220yptyp，则2 22440p tp，由根与系数的关系可得212122,yypt y yp，所以22212122344y yOA OBy ypp.由12OA OB，得23124p，解得4p.所以抛物线C的方程为28yx.（2）设直线l的方程为(,0)xnym nmR，由22ypxxnym得2220ypnypm，由根与系数的关系可得122y ypm，所以2221212121222(2)2044y ypmOA OBx xy yy ypmpp，解得2mp.所以直线l的方程为2()xnyp nR，所以0OA OB时，直线l过定点(2,0)p.20、（）22143xy；（）详见解析.【答案解析】（）由椭圆的定义可得，2PQF周长取最大值时，线段PQ过点1F，可求出a，从而求出椭圆E的标准方程；（）设直线:10l yk xk，直线:m yk xt，11,A x y，22,B x y，33,M x y，44,N xy.把直线m与直线l的方程分别代入椭圆E的方程，利用韦达定理和弦长公式求出2MN和AB，根据24MNAB求出t的值.最后直线m与直线l的方程联立，求两直线的交点即得结论.【题目详解】（）设2PQF的周长为L，则221111224LPFQFPQaPFaQFPQaPFQFPQ 44aPQPQa，当且仅当线段PQ过点1F时“”成立.48a，2a，又1c，3b，椭圆E的标准方程为22143xy.（）若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点T矛盾，所以直线l的斜率存在.设:10l yk xk，:m yk xt，11,A x y，22,B x y，33,M x y，44,N xy.将直线m的方程代入椭圆方程得：2222 2348430kxk txk t.2342834k txxk，2 23424334k txxk,22 2222216 1239134kk tMNkk.同理，2222212 14 9913434kkABkkk.由24MNAB得0t，此时4 222 26416 3430k tkk t.直线:m ykx，联立直线m与直线l的方程得11,22Tk，即点T在定直线12x.【答案点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题.21、（）2214xy；（）4.【答案解析】（）结合已知可得32ca，3bc 求出 a，b 的值，即可得椭圆方程；（）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于 0 可得2241mk，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得MCOANOSS，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出MONS，得到ACMNMONMCOANOSSSS，整理后利用基本不等式求最值.【题目详解】解：（）可得32ca，3bc 结合222abc，解得2a，3c，1b，得椭圆方程2214xy；（）易知直线MN的斜率 k 存在，设MN：ykxm，由2244ykxmxy，得222418410kxkmxm，由22226416 4110k mkm，得2241mk，ACMNMONMCOANOSSSS，设点 O 到直线MN：0kxym的距离为 d，21mdk，222222 41mMNdkOM 222222224431|2 4211111MONkmmmmmSkkkkk，由224ykxmxy，得2221240kxkmxm，12221kmxxk，212241mxxk，1212122yykxmkxmk xxm 2222211kmmkmkk 12122133|3(|)221MCONAOmSSyyyyk，223311ACMNMONNAOMCOSSSSkmmk 而2241mk，2214mk，易知20k，21m，则1m，四边形ACMN的面积222 38 38 38 343132 314mmSmmmm 当且仅当3mm，即3m 时取“”.四边形ACMN面积的最大值为 4.【答案点睛】本题考查了由,a b c求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.22、（1）2214xy（2）1522yx 【答案解析】（1）根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及222acb列方程，由此求得22,ab，进而求得椭圆的方程.（2）设出直线l的方程，联立直线l的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何意义得到OMOAOB，由此求得M点的坐标，将,A B M的坐标代入椭圆方程，化简后可求得直线l的斜率，由此求得直线l的方程.【题目详解】（1）由椭圆的离心率为32，点3(1,)2在椭圆上，所以22313,124caab，且222acb 解得224,1ab，所以椭圆C的方程为2214xy （2）显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为2ykx，设112200,A x yB xyM x y，由22142xyykx消去y得22(14)16120kxkx，所以1212221612,1414kxxx xkk，由已知得OMOAOB，所以012012xxxyyy，由于点ABM、都在椭圆上，所以222222220121212012(1,1,1,()1444)4xxxxxyyyyy，展开有2222121212121212()()21,240442xxx xyyy yx xy y，又2212121212244(2)(2)2()414ky ykxkxk x xk xxk，所以2222124415240154,14142kkkkk ，经检验满足222(16)4(14)1264480kkk，故直线l的方程为1522yx.【答案点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.