2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》解答专项练习题(附答案).pdf

2022-2023 学年苏科版九年级数学下册7.6 用锐角三角函数解决问题 解答专项练习题（附答案）1 胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”已知主塔 AB 垂直于桥面 BC 于点 B，其中两条斜拉索 AD、AC 与桥面 BC 的夹角分别为 60和 45，两固定点 D、C 之间的距离约为 33m，求主塔 AB 的高度（结果保留整数，参考数据：1.41，1.73）2某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 AB 的长度（结果保留小数点后一位，1.7）3如图是某水库大坝的横截面，坝高 CD20m，背水坡 BC 的坡度为 i11：1为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为 i21：，求背水坡新起点 A 与原起点 B 之间的距离（参考数据：1.41，1.73结果精确到 0.1m）4 动感单车是一种新型的运动器械 图是一辆动感单车的实物图，图是其侧面示意图 BCD 为主车架，AB 为调节管，点 A，B，C 在同一直线上已知 BC 长为 70cm，BCD的度数为 58当 AB 长度调至 34cm 时，求点 A 到 CD 的距离 AE 的长度（结果精确到1cm）（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60）5在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量如图，在山坡坡脚 C 处测得该建筑物顶端 B 的仰角为 60，沿山坡向上走 20m 到达 D 处，测得建筑物顶端 B 的仰角为30已知山坡坡度 i3：4，即 tan，请你帮助该小组计算建筑物的高度 AB（结果精确到 0.1m，参考数据：1.732）6 如图，希望中学的教学楼 AB 和综合楼 CD 之间生长着一棵高度为 12.88 米的白杨树 EF，且其底端 B，D，F 在同一直线上，BFFD40 米在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶 A 处测得点 C 的仰角为 9，点 E的俯角为 16 问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到 0.01米）；若不能，说明理由 解答过程中可直接选用表格中的数据哟！科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）0.156 0.158 0.276 0.287 7如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度 AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长 CD15m，斜坡的倾斜角为，cos小文在 C 点处测得楼顶端 A 的仰角为 60，在 D 点处测得楼顶端 A 的仰角为 30（点 A，B，C，D 在同一平面内）（1）求 C，D 两点的高度差；（2）求居民楼的高度 AB（结果精确到 1m，参考数据：1.7）8位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度无人机在点 A 处测得烈士塔顶部点 B的仰角为 45，烈士塔底部点 C 的俯角为 61，无人机与烈士塔的水平距离 AD 为 10m，求烈士塔的高度（结果保留整数参考数据：sin610.87，cos610.48，tan611.80）9北京时间 2022 年 4 月 16 日 9 时 56 分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为 8m 的励志条幅（即 GF8m）小亮同学想知道条幅的底端 F 到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点 B 处，在点 B 正上方点 A 处测得条幅顶端 G 的仰角为 37，然后向教学楼条幅方向前行 12m 到达点 D 处（楼底部点 E 与点 B，D 在一条直线上），在点 D 正上方点 C 处测得条幅底端F 的仰角为 45，若 AB，CD 均为 1.65m（即四边形 ABDC 为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度（结果精确到0.1m 参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）10随着我国科学技术的不断发展，5G 移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现 5G 网络全覆盖，20212025 年拟建设 5G 基站 3000 个，如图，在斜坡 CB 上有一建成的 5G基站塔 AB，小明在坡脚 C 处测得塔顶 A 的仰角为 45，然后他沿坡面 CB 行走了 50 米到达 D 处，D 处离地平面的距离为 30 米且在 D 处测得塔顶 A 的仰角 53（点 A、B、C、D、E 均在同一平面内，CE 为地平线）（参考数据：sin53，cos53，tan53）（1）求坡面 CB 的坡度；（2）求基站塔 AB 的高 11如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头 C，货轮航行到 A 处时，测得码头 C在北偏东 60方向上 为了躲避 A，C 之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东 30方向继续航行，当它航行到 B 处后，又沿着南偏东 70方向航行 20 海里到达码头 C求货轮从 A 到 B 航行的距离（结果精确到 0.1 海里参考数据：sin500.766，cos500.643，tan501.192）12如图，我国某海域有 A，B，C 三个港口，B 港口在 C 港口正西方向 33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A 港口在 B 港口北偏西 50方向且距离 B 港口 40nmile 处，在 A 港口北偏东 53方向且位于 C 港口正北方向的点 D 处有一艘货船，求货船与 A 港口之间的距离（参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19，sin530.80，cos530.60，tan531.33）132022 年 6 月 5 日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB、BC 为机械臂，OA1m，AB5m，BC2m，ABC143机械臂端点 C 到工作台的距离CD6m（1）求 A、C 两点之间的距离；（2）求 OD 长（结果精确到 0.1m，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，2.24）14某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥如图，河旁有一座小山，山高 BC80m，点 C、A 与河岸 E、F 在同一水平线上，从山顶 B处测得河岸 E 和对岸 F 的俯角分别为DBE45，DBF31若在此处建桥，求河宽 EF 的长（结果精确到 1m）参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60 15如图是一矩形广告牌 ACGE，AE2 米，为测量其高度，某同学在 B 处测得 A 点仰角为 45，该同学沿 GB 方向后退 6 米到 F 处，此时测得广告牌上部灯杆顶端 P 点仰角为37若该同学眼睛离地面的垂直距离为 1.7 米，灯杆 PE 的高为 2.25 米，求广告牌的高度（AC 或 EG 的长）（精确到 1 米，参考数据：sin370.6，tan370.75）16如图，小谢想测某楼的高度，她站在 B 点从 A 处望向三楼的老田（D），测得仰角DAG为 30，接着她向高楼方向前进 1m，从 E 处仰望楼顶 F，测得仰角FEG 为 45，已知小谢身高（AB）1.7m，DF6m（参考数据：1.7，1.4）（1）求 GE 的距离（结果保留根号）；（2）求高楼 CF 的高度（结果保留一位小数）17如图，AB 为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活绿色出行”健步走公益活动，小宇在点 A 处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东 68的点 C 处，观光船到滨海大道的距离 CB 为 200 米当小宇沿滨海大道向东步行 200 米到达点 E 时，观光船沿北偏西 40的方向航行至点 D 处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C 处航行到 D 处的距离（参考数据：sin400.64，cos400.77，tan400.84，sin680.93，cos680.37，tan682.48）18 我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图）数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图所示，当无人机从位于塔基 B 点与古槐底 D 点之间的地面 H 点，竖直起飞到正上方 45 米 E 点处时，测得塔 AB 的顶端 A 和古槐 CD 的顶端 C 的俯角分别为 26.6和 76（点 B，H，D 三点在同一直线上）已知塔高为 39 米，塔基 B 与树底 D 的水平距离为 20 米，求古槐的高度（结果精确到 1 米）（参考数据：sin26.60.45，cos26.60.89，tan26.60.50，sin760.97，cos760.24，tan764.01）19数学活动小组欲测量山坡上一棵大树 CD 的高度，如图，DCAM 于点 E，在 A 处测得大树底端 C 的仰角为 15，沿水平地面前进 30 米到达 B 处，测得大树顶端 D 的仰角为53，测得山坡坡角CBM30（图中各点均在同一平面内）（1）求斜坡 BC 的长；（2）求这棵大树 CD 的高度（结果取整数），（参考数据：sin53，cos53，tan53，1.73）20如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为 2cm，固定支点 O 到水平桌面的距离为 7.5cm，当支架 OA、AB 拉直时所形成的线段与点 M 共线且与底座垂直，此时测得 B 到底座的距离为 31.64cm（线段 AB，AO，OM 的和），经调试发现，当OAB115，AOM160时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得 A 到 B 的水平距离为 10cm，求此时点 B 到桌面的距离（参考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36，）参考答案 1解：在 RtADB 中，ADB60，tanADB，BD，在 RtABC 中，C45，tanC，BCAB，BCBDCD33m，AB33，AB78（m）答：主塔 AB 的高约为 78m 2解：如图，过点 C、D 分别作 BE 的平行线交 BA 的延长线于点 M、N，在 RtBDE 中，BDE904545，DEBE14m，在 RtACM 中，ACM60，CMBE14m，AMCM14（m），ABBMAM CEAM 20+1414 10.2（m），答：AB 的长约为 10.2m 3解：在 RtBCD 中，BC 的坡度为 i11：1，1，CDBD20 米，在 RtACD 中，AC 的坡度为 i21：，ADCD20（米），ABADBD202014.6（米），背水坡新起点 A 与原起点 B 之间的距离约为 14.6 米 4解：AB34cm，BC70cm，ACAB+BC104cm，在 RtACE 中，sinBCD，AEACsinBCD1040.8588cm 答：点 A 到 CD 的距离 AE 的长度约 88cm 5解：过点 D 作 DEAC，垂足为 E，过点 D 作 DFAB，垂足为 F，则 DEAF，DFAE，在 RtDEC 中，tan，设 DE3x 米，则 CE4x 米，DE2+CE2DC2，（3x）2+（4x）2400，x4 或 x4（舍去），DEAF12 米，CE16 米，设 BFy 米，ABBF+AF（12+y）米，在 RtDBF 中，BDF30，DFy（米），AEDFy 米，ACAECE（y16）米，在 RtABC 中，ACB60，tan60，解得：y6+8，经检验：y6+8是原方程的根，ABBF+AF18+831.9（米），建筑物的高度 AB 约为 31.9 米 6解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作 EGAB，垂足为 G，作 AHCD，垂足为 H，如图：由题意知，EGBF40 米，EFBG12.88 米，HAE16AEG16，CAH9，在 RtAEG 中，tanAEG，tan16，即 0.287，AG400.28711.48（米），ABAG+BG11.48+12.8824.36（米），HDAB24.36 米，在 RtACH 中，AHBDBF+FD80 米，tanCAH，tan9，即 0.158，CH800.15812.64（米），CDCH+HD12.64+24.3637.00（米），答：综合楼的高度约是 37.00 米 7解：（1）过点 D 作 DEBC，交 BC 的延长线于点 E，在 RtDCE 中，cos，CD15m，（m）（m）答：C，D 两点的高度差为 9m（2）过点 D 作 DFAB 于 F，由题意可得 BFDE，DFBE，设 AFxm，在 RtADF 中，tanADFtan30，解得 DFx，在 RtABC 中，ABAF+FBAF+DE（x+9）m，BCBECEDFCE（x12）m，tan60，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，AB+924（m）答：居民楼的高度 AB 约为 24m 8解：由题意得，BAD45，DAC61，在 RtABD 中，BAD45，AD10m，BDAD10m，在 RtACD 中，DAC61，tan611.80，解得 CD18，BCBD+CD10+1828（m）烈士塔的高度约为 28m 9解：设 AC 与 GE 相交于点 H，由题意得：ABCDHE1.65 米，ACBD12 米，AHG90，设 CHx 米，AHAC+CH（12+x）米，在 RtCHF 中，FCH45，FHCHtan45x（米），GF8 米，GHGF+FH（8+x）米，在 RtAHG 中，GAH37，tan370.75，解得：x4，经检验：x4 是原方程的根，FEFH+HE5.655.7（米），条幅底端 F 到地面的距离 FE 的长度约为 5.7 米 10解：（1）如图，过点 D 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于点 F，过点 D 作 DMCE，垂足为 M 由题意可知：CD50 米，DM30 米 在 RtCDM 中，由勾股定理得：CM2CD2DM2，CM40 米，斜坡 CB 的坡度DM：CM3：4；（2）设 DF4a 米，则 MN4a 米，BF3a 米，ACN45，CANACN45，ANCN（40+4a）米，AFANNFANDM40+4a30（10+4a）米 在 RtADF 中，DF4a 米，AF（10+4a）米，ADF53，tanADF，解得 a，AF10+4a10+3040（米），BF3a米，ABAFBF40（米）答：基站塔 AB 的高为米 11解：过 B 作 BDAC 于 D，由题意可知ABE30，BAC30，则C18030307050，在 RtBCD 中，C50，BC20（海里），BDBCsin50200.76615.32（海里），在 RtABD 中，BAD30，BD15.32（海里），AB2BD30.6430.6（海里），答：货轮从 A 到 B 航行的距离约为 30.6 海里 12解：过点 A 作 AECD，垂足为 E，过点 B 作 BFAE，垂足为 F，由题意得：EFBC33.2 海里，AGDC，GADADC53，在 RtABF 中，ABF50，AB40 海里，AFABsin50400.7730.8（海里），AEAF+EF64（海里），在 RtADE 中，AD80（海里），货船与 A 港口之间的距离约为 80 海里 13 解：（1）如图，过点 A 作 AECB，垂足为 E，在 RtABE 中，AB5m，ABE37，sinABE，cosABE，0.60，0.80，AE3m，BE4m，CE6m，在 RtACE 中，由勾股定理 AC36.7m（2）过点 A 作 AFCD，垂足为 F，FDAO1m，CF5m，在 RtACF 中，由勾股定理 AF2m OD24.5m 14解：在 RtBCE 中，BC80m，BECDBE45，CBE45，BECCBE45，CEBC80m 在 RtBCF 中，BC80m，BFCDBF31，tanBFC，CF133.3 EFCFCE133.38053.353（m）答：河宽 EF 的长约为 53m 15解：由题意：DHBF6 米，DBHF1.7 米，PE2.25 米，如图，设直线 DH 交 EG 于 M，交 AC 于 N，则 EMAN 设 ANx，则 PMx+2.25，在 RtAND 中，ADN45，ANNDx，AEMN2，则 MH6+x+28+x，在 RtPHM 中，tan37，解得 x15，ACAN+NC15+1.717（米），故广告牌的高度为 17 米 16解：（1）设 GExm，EGF90，FEG45，EFG 是等腰直角三角形，FGEGxm，在 RtADG 中，DAG30，AGEG+AE（x+1）m，tanDAGtan30，DGAG（x+1）m，FGDGDF，x（x+1）6，解得：x，答：GE 的距离为m；（2）由（1）得：FGGEm，GCAB1.7m，CFFG+GC+1.717.2（m），答：高楼 CF 的高度约为 17.2m 17解：过点 C 作 CFDE 于 F，由题意得，D40，ACB68，在 RtABC 中，CBA90，tanACB，ABCBtan682002.48496（m），BEABAE496200296（m），CFEFEBCBE90，四边形 FEBC 为矩形，CFBE296m，在 RtCDF 中，DFC90，sinD，CD462.5（m），答：观光船从 C 处航行到 D 处的距离约为 462.5m 18解：过点 A 作 AMEH 于 M，过点 C 作 CNEH 于 N，由题意知，AMBH，CNDH，ABMH，在 RtAME 中，EAM26.6，tanEAM，AM12 米，BHAM12 米，BD20，DHBDBH8 米，CN8 米，在 RtENC 中，ECN76，tanECN，ENCNtanECN84.0132.08 米，CDNHEHEN12.9213（米），即古槐的高度约为 13 米 19解：（1）由题意得：CAE15，AB30 米，CBE 是ABC 的一个外角，ACBCBECAE15，ACBCAE15，ABBC30 米，斜坡 BC 的长为 30 米；（2）在 RtCBE 中，CBE30，BC30 米，CEBC15（米），BECE15（米），在 RtDEB 中，DBE53，DEBEtan531520（米），DCDECE201520（米），这棵大树 CD 的高度约为 20 米 20解：过点 A 作 AC 平行于水平桌面，过点 B 作 BCAC 于点 C，再延长 MO 交 AC 于点D，由题意可知：ODAC，AC10cm，OM7.525.5cm，AOM160，AOD180AOM20，ODAC，ADO90，OAD90AOD70，OAB115，BACOABOAD1157045，ABCBAC45，ACBC10cm，在 RtABC 中，cosBAC，AB，AB+AO+OM31.64cm，AO12cm，在 RtAOD 中，cosAOD，ODAOcosAOD12cos2011.28cm，BC+OD+7.511.28+10+7.528.78cm，点 B 到桌面得距离为 28.78cm