2022-2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用》解答专题提升训练题(附答案).pdf

2022-2023 学年九年级数学中考复习 解直角三角形的应用 解答专题提升训练题（附答案）1生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳篷，如图 1现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳篷 如图 2，AB 表示窗户的高，CD 表示遮阳篷，且 AB1.5m，遮阳篷与窗户所在平面的夹角BCD 等于 75已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为 30；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为 60，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳篷的宽度 CD 2万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构 某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基 A 处起飞，沿直线飞行 120 米至点 B，在此处测得楼基 A 的俯角为 60，再将无人机沿水平方向向右飞行 30 米至点 C，在此处测得楼顶 D 的俯角为 30，请计算万楼主楼 AD 的高度（结果保留整数，1.41，1.73）3海绵拖把一般由长杆、U 型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用图 1，图 2，图 3 是其挤水原理示意图，A、B 是拖把上的两个固定点，拉杆 AP 一端固定在点 A，点 P 与点 B 重合（如图1），拉动点 P 可使拉杆绕着点 A 转动，此时点 C 沿着 AB 所在直线上下移动（如图 2）已知 AB10cm，连杆 PC 为 40cm，FG4cm，MN8cm当 P 点转动到射线 BA 上时（如图 3），FG 落在 MN 上，此时点 D 与点 E 重合，点 I 与点 H 重合 （1）求 ME 的长；（2）转动 AP，当PAC53时，求点 C 的上升高度；求点 D 与点 I 之间的距离（结果精确到 0.1）（sin53，cos53，2.45，10.05）4大约公元前 600 年，几何学家泰勒斯第一个测量出了金字塔的高度如图，他首先测量了金字塔正方形底座的边长为 230 米，然后他站立在沙地上的点 B处，请人不断测量他的影子 BC当他的影子 BC和身高 AB相等时，立刻测量出该金字塔塔尖 P 的影子 A与相应底棱中点 B 的距离约为 22.2 米此时点 A 与点 B 的连线恰好与相应的底棱垂直，即正方形底座中心 O 与 A 和 B 在一条直线上聪明的小明根据老师的讲述，迅速画出图所示的测量金字塔高度的平面图形，请你根据这个平面图形计算出该金字塔的高度 5如图，在苏州工业园区的金鸡湖东岸，有一座世界最大的水上摩天轮“苏州之眼”，其直径为 120m，旋转 1 周用时 24min小明从摩天轮的底部（与地面相距 0.5m）出发开始观光（1）4min 后小明离地面多高？（2）摩天轮转动 1 周，小明在离地面 90.5m 以上的空中有多长时间？6如图，点 A、B 均为格点，线段 AB 与网格线交于点 D仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示（1）将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90得线段 AC；（2）在 AC 上找一点 E，使ABEACD；（3）在 BC 上取一点 P，使 tanBAP 7一辆自行车竖直摆放在水平地面上如图所示，右边是它的示意图，横梁 AC 平行于水平面 MN，现测得 BC80cm，CAB60，ACB50，B 到 MN 的距离 BE30cm，AD 为可调节高度，经研究发现，当坐垫高度为身高的 0.6 倍时，骑行者最舒适，现一身高 170cm 的同学骑车，当 AD 长约为多少时，可以使骑行者最舒适？（结果保留一位小数，参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19，1.73）8如图，一扇窗户打开后可以用窗钩 AB 将其固定，窗钩的一个端点 A 固定在窗户底边 OE上，且与转轴底端 O 之间的距离为 20cm，窗钩的另一个端点 B 在窗框边上的滑槽 OF 上移动，滑槽 OF 的长度为 17cm，AB、BO、AO 构成一个三角形当窗钩端点 B 与点 O 之间的距离是 7cm 的位置时（如图 2），窗户打开的角AOB 的度数为 37求窗钩 AB 的长度（精确到 1cm）（参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75）9图 1 是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，两条等长的钢条按图 1 的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位图 2 是其示意图，经测量BAC100，车位锁的底盒 BC60cm（1）求 AB 的长；（结果精确到 0.1）（2）若一辆汽车的底盘高度为 26cm，当车位锁上锁时，这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin400.64，cos400.77，tan，400.84）10图 1 是某校花的警示牌，可近似地看成由一个正方形和矩形拼接而成现将其简化抽象成图 2，量得正方形 ABCD 的边长为 40cm，矩形 EFGH 的边 FGAB，EF16cm（1）连接 BF，CG，直接写出 BF 与 CG 的关系：；（2）若点 D 到点 G 所在的水平线的垂线段为 DM，点 E 为 BC 的中点，HGM50，求点 A 到直线 GM 的距离（结果精确到 0.1cm参考数据：sin500.766，cos500.643，tan501.192）11图 1 是货物传送机械上的一种翻转装置，它可以使物体在传送带上实现翻转图 2 是其截面简化示意图，已知连杆 OA50cm，载物直角面 ABC 中ABC90，其中点O 固定，点 B 在水平杆 OM 上左右滑动，ABBC30cm当载物面 BC 与水平杆 OM 重合时为初始位置，载物面 BC 与水平杆 OM 垂直时完成翻转（1）直接写出点 B 与点 O 的之间距离 d 的取值范围是 ；（2）当点 B 由初始位置向右滑动 10cm 时，求载物面 BC 与水平杆 OM 的夹角CBM 的度数（结果精确到 0.1，参考数据：sin72.50.95，cos72.50.30，tan72.53.18）12 如图 1 是一种利用风力带动风车叶片旋转，再通过增速机将旋转的速度提升来促使发电机发电的装置，图 2 是其结构示意图，风车的三个叶片 OAOBOC20m，每两个叶片之间的夹角为 120，点 O 为叶片旋转的轴心，管状塔 OM 垂直于山顶水平地面，OM60m（1）在图 2 中，若BOM20，则COM 的度数为 ，点 B 到地面的距离可表示为 ；（2）在图 2 的基础上，风车三个叶片顺时针旋转 90后，求风车最高点到地面的距离 （参考数据：sin500.766，cos500.643，tan501.192，结果保留一位小数）13 如图 1 所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后，然后再慢慢回收 图 2 为示意图，已知 DE，DC 在初始位置，DEDC60cm，点 B、C、G 在同一直线上，ABBG，A46，DCG95（1）当 DE，DC 在初始位置时，求点 D 到 AC 的距离；（2）当双腿伸直后，如图 3，点 E，D 分别从初始位置运动到点 E，D，假设 E、D、C三点共线，求此时点 E 上升的竖直高度（结果保留整数）（参考数据：sin410.66，cos410.75，tan410.87，cos440.72，sin440.69，tan440.97）14图 1 是笔记本电脑放在散热支架上的实物图，实物图的侧面可抽象成图 2，结点 B，C，D 处可转动，支撑架 ABBCCD28cm，面板 DE28cm，若 DE 始终与 AB 平行（1）直接写出ABC，BCD，CDE 之间的数量关系；（2）若ABCBCDCDE，电脑显示屏宽 EF26cm，且DEF105，求笔记本电脑显示屏的端点 F 到 AB 的距离（结果精确到 0.1cm参考数据：sin750.97，cos750.26，1.73）15某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼 AB 的高度如图，小明同学站在点 D 处，将含 45角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线 CA 上沿教学楼向前走 7.7 米到达点 F 处，将含 30角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线 EA 上 已知小明眼睛到地面的距离为 1.6 米，求教学楼 AB 的高度（点 D，F，B 在同一水平线上结果精确到 0.1，参考数据：1.73，1.41）16道闸杆，在生活中很常见又称为八角杆，经过铝合金挤压成型后经喷涂，贴红色反光膜而成主要是跟道闸配套使用，广泛应用于公路收费站停车场、小区等用于管理车辆的出入，可单独通过无线遥控实现起落杆也可以通过停车场管理系统实行自动管理状态如图 1，是某停车场使用的直杆型道闸杆，图 2 是示意图已知道闸杆 CD 平行于地面且距离地面的高度 BC 为 1 米（1）一辆长是 4.20 米宽是 180 米高是 1.80 米的箱式小货车要沿宽度为 3 米的道路 AB的中心线进入停车场则道闸杆 CD 至少需要绕点 C 顺时针方向旋转多少度，小货车才能安全通过？请通过计算说明（参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75）（2）车辆进入该停车场时，系统会扫描车牌号码并自动起杆；而离开停车场时，需要扫码支付停车费用之后，人工遥控起杆落杆已知车辆进入时的平均通过速度是离开时平均通过速度的2倍，20辆车组成的车队连续进入停车场比连续离开停车场所需时间少100秒，求进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数 17图 1 是某种路灯的实物图图 2 是该路灯的平面示意图MN 为立柱的一部分，灯臂AC，支架 BC 与立柱 MN 分别交于点 AB，灯臂 AC 与支架 BC 交于点 C（1）已知MAC60，ACB15 AC40cm，求支架 BC 的长（结果精确到 1cm；参考数据：1.41，1.73，2.45）（2）某小区第一次用 8000 元购进一批该型号的路灯第二次正好赶上商家搞活动所有商品一律八折销售该小区仍然用 8000 元购进第二批该型号的路灯，但所购数量比第一次多 8 个，求该小区两次共购进该型号的路灯多少个 18如图 1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图 2，结点 F，G，H，M，N 可随着伸缩杆 EF 的伸缩转动，从而控制篮球圈 ON 离地面 AB 的高度，ONAB，主杆 AHAB，G，C，D 均在主干 AH 上，结点 N，G，F 共线，DEAB，经测量，AD150cm，DCCGGHMNGF50cm，MHNGGD，NGD33，此时，EFAH（结果保留小数点后一位）（1）M ，EF 与 AB 的位置关系 ；求 EF 的长度（2）在图 1 的基础上，调节伸缩杆 EF，得到图 3，图 4 是图 3 的示意图，经测量，此时，篮球圈 ON 离地面 AB 的高度刚好达到国际标准 305cm，求 NF 绕着 G 点顺时针旋转的度数（参考数据：sin570.84，cos570.55，tan571.54）19 随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志者我国已进入“双航母”时代 已知“山东舰”舰长 BD 为 315m，航母前端点 E 到水平甲板 BD 的距离 DE 为 6m，舰岛顶端A到BD的距离是AC，经测量，BAC71.6，EAC80.6（参考数据：sin71.60.95，cos71.60.32，tan71.63.01，sin80.60.99，cos80.60.16，tan80.66.04）（1）若设 ACxm，用含 x 的代数式表示 BC 与 CD 的长度（2）请计算舰岛 AC 的高度（结果精确到 1m）20 小聪家想在某市买一套能全年正午都有太阳照射的新房 勤于思考的小聪通过查阅资料发现：我们北半球冬至日正午太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小，楼房的影子会最长，如果这一天正午有太阳照射，那么整年都不会有问题（1）五一假期他们来到正在销售的 A 楼盘该楼盘每幢楼均为 17 层，层高 3 米，南、北楼的间距为 60 米小聪爸妈想在中间这幢楼购房如果是你，你将建议父母选择第几层以上？说明你的理由（该市区所在纬度约是32.5N，冬至日的正午太阳高度角为9032.523.534，sin340.6，cos340.8，tan340.7）（2）假如每平方米单价 y 元与楼层 n 层之间满足关系 y60（n15）2+16375小聪爸妈期望每平方米单价不超过 13000 元，请你帮助小聪家设计一下购买商品房楼层的方案 参考答案 1解：过点 D 作 DEAC 于点 E，由题意，DBC60，BAD30，AB1.5m，DBCBAD+ADB60，BDAADB30，ABBD1.5m，BEBDcos600.75（m），DEBE0.75（m），BCD75，CAD30，ADC180753075，ADAC2DE1.5，ECACAE1.51.50.751.52.25，CD 2解：由题意可得，在 RtABE 中，AB120 米，ABE60，BE60（米），AEsin60AB（米），在 RtCDE 中，DCE30，CEBE+CB60+3090（米），DEtan30CE30（米），ADAEDE603052（米）答：万楼主楼 AD 的高度约为 52 米 3解：（1）由图 1 可知，PAAB10（cm），图 3 中，PGPC40（cm），ME40+10+104020（cm），ME 的长为 20cm；（2）如图 2，过点 P 作 PQAC 于点 Q A53，AP10cm，PQPQsin53100.88cm，AQAPcos53100.66cm AC45.2cm，C 上升了 4.8cm 根据题意如图：当 P 点转动到射线 BA 上时（如图 3），FG 落在 MN 上，此时点 D 与点 E 重合，点 I 与点 H 重合，根据勾股定理得：DF（cm），C 上升了 4.8cm，FS4.8cm，EF（cm），EHDI，FESFDT，DT7.7cm，由对称性可知：DI2DT+FG27.7+419.4（cm），点 D 与点 I 之间的距离为 19.4cm 4解：金字塔正方形底座的边长为 230 米，0B115（米），OA0B+AB115+22.2137.2（米），根据题意可得 RtAOP 是等腰直角三角形，OAPO137.2 米 答：该金字塔的高度为 137.2 米 5解：（1）过点 C 作 CEOA，垂足为 E，作 CDAM，垂足为 D 旋转 1 周用时 24min，4min 后AOC 的度数为：36060，在 RtOCE 中，OC60m，AOC60，cosAOC，OE120cos6030m AEOAOE 60.530 30.5（m）四边形 AECD 是矩形，CDAE30.5m 即 4min 后小明离地面 30.5m（2）延长 AO 交圆上点 G，过 OG 的中点 H 作 PQAG，连接 PO、PQ OB60m，AB0.5m，OH30m，AH90.5m PQ 上的点都距离地面 90.5m，弧 PGQ 上的点都大于 90.5m 在 RtOPH 中，OP60m，OH30m，P30 POH60 同理QOH60 POQ120 摩天轮旋转 1 周用时 24min，摩天轮旋转 120用时：248（min）即摩天轮转动 1 周，小明有 8min 在离地面 90.5m 以上的空中 6解：（1）如图，线段 AC 即为所求（2）如图，点 E 即为所求（3）如图，点 P 即为所求 7解：过点 D 作 DHAC 于点 H，延长 EB 交 AC 于 T，过点 D 作 DGEB 于点 G，在 RtBCT 中，BTBCsin5061.6（cm），EG1700.6102cm，GTEGET10261.63010.4（cm），四边形 DHTG 是矩形，DHGT10.4（cm），在 RtADH 中，AD12.0（cm）答：AD 的长约为 12.0cm 8解：根据题意，可知AOB37，OA20cm，OB7cm 过点 A 作 AHOF，垂足为点 H 在 RtOAD 中，sinAOD，ADAOsinAOD20sin3712（cm）同理可得 OD16（cm）由 OB7，得 BD9（cm）在 RtABD 中，答：窗钩 AB 的长度约等于 15cm 9解：（1）过点 A 作 AHBC 于点 H，ABAC，BC60cm，BHHCBC30（cm），在 RtABH 中，BAC100，B40，AB38.9（cm）；（2）在 RtABH 中，AHABsinB50sin4038.90.6424.896（cm），24.89626，当车位锁上锁时，这辆汽车能进入该车位 10解：（1）如图 1 中，结论：BFCG，BFCG 理由：四边形 EFGH 是矩形，EHFG，四边形 ABCD 是正方形，ABBC，ABFG，FGBC，FGBC，四边形 BCGF 是平行四边形，BFCG，BFCG 故答案为：BFCG，BFCG（2）如图 2 中，过点 A 作 AWGM 于 W，过点 D 作 DQAW 于 Q，过点 C 作 CTDM于 T，过点 H 作 HJGM 于 J，交 CT 于 K BEEC20cm，BCEH40cm，CH20（cm），在 RtHGJ 中，HJGHsin5012.26（cm），在 RtCKH 中，KHCHcos5012.86（cm），在 RtCDT 中，DTCDsin5030.64（cm），在 RtAQD 中，AQADcos5025.72（cm），四边形 DQWM，四边形 MTKJ 都是矩形，QWDM，TMJKHJ+KH，QWDMDT+KH+HJ12.26+12.86+30.6455.76（cm），AWAQ+QW55.76+25.7281.5（cm）11解：（1）初始位置时，ABO90，故 OB，完成翻转时，OBOA+AB80，40d80，故答案为 40d80；（2）由（1）知，初始位置时 OB40cm，所以向右滑动 10cm 时，OB50cm，如图，作 AHOM，垂足为 H，设 HBxcm，OA2OH2AB2HB2AH2，502（50 x）2302x2，解得：x9，ABH72.5，CBM9072.517.5 12解：（1）BOC120，BOM20，COMBOCCOM12020100，过点 B 作 OM 的垂线，交 OM 于点 E，在 RtOBE 中，OB20m，OEOBcosBOE20cos20，EMOMOE6020cos20，故答案为：100，6020cos20；（2）如图，当风车的三个叶片顺时针旋转 90后，AOM130，BOM110，COM10，此时点 A 最高，过点 A 作 ADMO，交 MO 的延长线于点 D，则AOD180AOM50，在 RtAOD 中，即 OD20cos5012.86（m），DM12.86+6072.9（m），风车最高点到地面的距离约为 72.9m 13解：（1）如图 2 中，过点 D 作 DHAC 于 H B90，A46，ACB44，DCH180ACBDCG41，在 RtDCH 中，DHCDsin41600.6640（cm），点 D 到 AC 的距离为 40cm（2）如图 3 中，过点 D 作 DHAC 于 H DEDC，DHEC，EHCHCDcos41600.7545（cm），CE120cm，EC90cm，时点 E 上升的竖直高度（12090）sin4421（cm）14解：（1）如图 21 中，结论：ABC+BCD+CDE360 理由：过点 C 作 CTDE，ABDE，CTABDE，CDE+DCT180，ABC+BCT180，ABC+BCD+CDEABC+BCT+DCT+CDE360（2）如图 22 中，连接 BD，过点 C 作 CJBD 于 J，过点 E 作 EHAB 于点 H，过点F 作 FTHE 交 HE 的延长线于 T CDCB，BCD120，CDBCBD30，CDEABC120，ABDBDE90，EHAB，BHE90，四边形 BDEH 是矩形，EHBD2DJ2CDcos302848.44（cm），在 RtEFT 中，FET1059015，TEEFcos15260.9725.43（cm），THTE+EH48.44+25.4373.9（cm）笔记本电脑显示屏的端点 F 到 AB 的距离为 73.9cm 15解：连接 CE 并延长，交 AB 于点 G，设 AGx 米，由题意可知，四边形 CDFE，四边形 CDBG 是矩形，BGCD1.6 米，DFCE7.7 米，CGB90，AGE90，在 RtACG 中，ACG45，CAGACG45，CGAGx（米），EGCGCEx7.7（米），在 RtAEG 中，AEG60，tanAEG，即 EG，x7.7，解得：x，ABAG+BG18.2+1.619.8（米）16解：（1）如图，点 E 为 AB 的中点，则 BEAB1.5 米，在 BE 上取点 F，使 EF0.9 米，则 BFBEEF1.50.90.6（米），过点 F 作 FPAB，交 DC 为点 H，在 FP 上截取 FG1.80 米，则四边形 HFBC 是矩形，故有 HFBC1 米，HGFGHF1.810.8（米），在 RtGHC 中，HC0.6 米，HG0.8 米，tanCGH，CGH37，即GCH903753，道闸杆 CD 至少需要绕点 C 顺时针方向旋转 53，小货车才能安全通过（2）设离开停车场时平均每分钟连续通过的车辆数 x 辆，则进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为 2x 辆，根据题意，得：，解得：x6，经检验，x6 是原方程的根，当 x6 时，2x12，答：进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为 12 辆 17解：（1）过点 C 作 CDMN 于点 D，则CDB90，在 RtACD 中，CAD60，AC40cm，CDACsinCAD40sin6040（cm），ACB15，CBDCADACB45，在 RtBCD 中，BCCD2049（cm），答：支架 BC 的长约为 49cm；（2）设该小区第一次购进该型号的路灯 x 个，根据题意，得：，解得：x32，经检验，x32 是原方程的解，且符合题意，32+32+872（个），答：该小区两次共购进该型号的路灯 72 个 18解：（1）GHMN，MHNG，四边形 GHMN 是平行四边形，NGD33，MHGN147，AHAB，EFAH，EFAB，故答案为：147，垂直；过 G 作 GPEF，垂足为 P，NGD33，FGP57，FPGFsin57500.8442.0cm，GPEF，EFAB，GPAB，又DEAB，GPDE，EFAH，四边形 GDEP 为平行四边形，GDPE，EFDG+PF50+50+42142.0cm；（2）过点 G 作 AB 的平行线 PG，再过点 N 作 PG 的垂线交 PG 于点 P NP305505015055cm，NGGD100cm，cosGNP0.55，GNP57，NGP33，NGD123，PGD1233390，故 NF 绕着 G 点顺时针旋转了 90 19解：（1）作 EHAC 于 H，则四边形 EHCD 是矩形，在 RtABC 中，tanBAC，BCACtan71.63.01xm，在 RtAHE 中，tanEAC，CDEHAHtan80.66.04（x6）（6.04x36.24）m；（2）设 ACxm，四边形 EHCD 是矩形，DECH6m，BDBC+CD315m，BC3.01xm，CD（6.04x36.24）m，3.01x+6.04x36.24315，解得：x39，舰岛 AC 的高度为：39m 20解：（1）过点 B 作 BEMF 于点 E，由题意得，ABE34，BE60 米，tan34，即 ME600.742（米），BDEF173429（米），933（层），答：至少选择 3 层以上（2）由题意得，60（n15）2+1637513000，解得 n7.5，当 n15 时，y 最大，n3，n 可取 4，5，6，7，可以购买 4 层到 7 层的楼房