2022-2023学年九年级数学中考复习《最值、存在性问题》专题提升训练(附答案).pdf

2022-2023 学年九年级数学中考复习最值、存在性问题专题提升训练（附答案）一选择题 1如图，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A，B，C 三点不在同一条直线上，当ABC 的周长最小时点 C 的坐标是（）A（0，3）B（0，2）C（0，1）D（0，0）2如图五边形 ABCDE 中，BAE120，BE90，ABBC，AEDE，在 BC、DE 上分别找一点 M、N，使得AMN 的周长最小时，则AMN+ANM 度数为（）A90 B100 C110 D120 3如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，AC4，BC 的中点为 D将ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到FEC，EF 的中点为 G，连接 DG在旋转过程中，DG 的最大值是（）A4 B6 C2+2 D8 4如图，边长为 2a 的等边三角形 ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连接 MB，将线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 HN则在点 M 运动过程中，线段 HN长度的最小值是（）Aa Ba C D 5如图所示，在平面直角坐标系中，直线 OM 是正比例函数 yx 的图象，点 A 的坐标为（1，0），在直线 OM 上找点 N，使ONA 是等腰三角形，符合条件的点 N 的个数是（）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二填空题 6如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上且 CE1，长为的线段 MN 在 AC上运动，当四边形 BMNE 的周长最小时，则 tanMBC 的值是 7如图，线段 AB 的长为 2，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形ACD 和BCE，那么 DE 长的最小值是 8如图，直线 yx+6 上有一动点 P，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线坐标于点 M、N，线段 MN 长度最小值为 9 如图，点 P 是抛物线 yx2+2x+2 在第一象限上的点，过点 P 分别向 x 轴和 y 轴引垂线，垂足分别为 A，B，则四边形 OAPB 周长的最大值为 10 如图，在平面直角坐标系中，矩形 AOBC 的顶点 A，B 的坐标分别是 A（0，4），B（，0），作点 A 关于直线 ykx（k0）的对称点 P，POB 为等腰三角形，则点 P 的坐标为 11如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，A（0，3），C（4，0），点 P 为直线 AB 上一动点，将直线 OP 绕点 P 逆时针方向旋转 90交直线 BC 于点 Q，当POQ 为等腰三角形时，点 P 坐标为 12如图，在平面直角坐标系中，A、B 为正比例函数图象上的两点，且 OB2，AB 点 P 在 y 轴上，BPA 是以B 为顶角的等腰三角形，则 OP 的长为 13如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABDC 的边 AB 在 x 轴上，顶点 C 在 y 轴上，A（6，0），C（0，8），抛物线 yax210ax+c 经过点 C，且顶点 M 在直线 BC 上，则抛物线解析式为 ；若点 P 在抛物线上且满足 SPBDSPCD，则点 P 的坐标为 14 如图，抛物线 yx22x+与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、B（B 点在 A 点的右侧）若点 P 是抛物线对称轴上的一动点，则OCP 的面积为 ；若点 P（1，a）是抛物线对称轴上的一动点，且满足PBC 的面积为 2，则 a 的值为 15如图，四边形 OABC 是正方形，点 A 在双曲线上，点 P，Q 同时从点 A 出发，都以每秒 1 个单位的速度分别沿折线 AOOC 和 ABBC 向终点 C 移动，设运动时间为 t秒 若点 P 运动在 OA 上，当 t 秒时，PAQ 的面积是正方形 OABC 的面积的；当 t 秒时，PAQ 一边上中线的长恰好等于这边的长 16如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC16cm，AD 为 BC 边上的高动点 P从点 A 出发，沿 AD 方向以cm/s 的速度向点 D 运动，设ABP 的面积为 S1，矩形PDFE 的面积为 S2，运动时间为 t 秒（0t8），当 t2 秒时，S1：S2 ，当 t 秒时，S12S2 17如图，边长为 4cm 的正方形 ABCD 先向右平移 1cm，再向上平移 2cm，得到正方形 ABCD，则阴影部分的面积为 cm2 18如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 20cm，AC 与MN 在同一条直线上，开始时点 A 与点 N 重合，让ABC 以 2cm/s 的速度向左运动，最终点 A 与点 M 重合，则重叠部分面积 y（cm2）与时间 t（s）之间的函数关系式为 三解答题 19如图，BA、BC 是两条公路，在两条公路夹角内部的点 P 处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，请用尺规作图确定两个加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法）20如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小；当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3）当 AM+BM+CM 的最小值为 2+2 时，求正方形的边长 21已知：在ABC 中，BCa，ACb，以 AB 为边作等边三角形 ABD探究下列问题：（1）如图 1，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，ab3，且ACB60，则 CD ；（2）如图 2，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时，ab6，且ACB90，则 CD ；（3）如图 3，当ACB 变化，且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的ACB 的度数 22在ABC 中，ACB90，BAC30，将ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，旋转角为（0180），得到ABC（1）如图 1，当 ABAC 时，设 AC 与 AB 相交于点 D证明：BCD 是等边三角形；（2）如图 2，连接 AA、BB，设ACA和BCB的面积分别为 SACA和 SBCB 求：SACA与 SBCB的比；（3）如图 3，设 AC 中点为 E，AB中点为 P，BCa，连接 EP，求：角 为多少度时，EP 长度最大，并求出 EP 的最大值 23如图，经过原点的抛物线 yx2+bx（b2）与 x 轴的另一交点为 A，过点 P（1，）作直线 PNx 轴于点 N，交抛物线于点 B点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C连接CB，CP（1）当 b4 时，求点 A 的坐标及 BC 的长；（2）连接 CA，求 b 的适当的值，使得 CACP；（3）当 b6 时，如图 2，将CBP 绕着点 C 按逆时针方向旋转，得到CBP，CP与抛物线对称轴的交点为 E，点 M 为线段 BP（包含端点）上任意一点，请直接写出线段 EM 长度的取值范围 参考答案 一选择题 1解：作 B 点关于 y 轴对称点 B点，连接 AB，交 y 轴于点 C，此时ABC 的周长最小，点 A、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），B点坐标为：（3，0），AE4，则 BE4，即 BEAE BAE 为等腰直角三角形 ABE45 BOC是等腰直角三角形 BOCO3，点 C的坐标是（0，3），此时ABC 的周长最小 故选：A 2解：作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A，A，连接 AA，交 BC 于 M，交 ED 于 N，则 AA即为AMN 的周长最小值作 EA 延长线 AH，BAE120，HAA60，A+AHAA60，AMAA，NAEA，且A+MAAAMN，NAE+AANM，AMN+ANMA+MAA+NAE+A2（A+A）260120，故选：D 3解：ACB90，A30，ABACcos3048，BCACtan3044，BC 的中点为 D，CDBC42，连接 CG，ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到FEC，EF 的中点为 G，CGEFAB84，由三角形的三边关系得，CD+CGDG，D、C、G 三点共线时 DG 有最大值，此时 DGCD+CG2+46 故选：B 4解：如图，取 BC 的中点 G，连接 MG，旋转角为 60，MBH+HBN60，又MBH+MBCABC60，HBNGBM，CH 是等边ABC 的对称轴，HBAB，HBBG，又MB 旋转到 BN，BMBN，在MBG 和NBH 中，MBGNBH（SAS），MGNH，根据垂线段最短，MGCH 时，MG 最短，即 HN 最短，此时BCH6030，CGAB2aa，MGCGa，HN，故选：D 5解：直线 OM 是正比例函数 yx 的图象，图形经过（1，），tanAON2 AON260，若 AO 作为腰时，有两种情况，当 A 是顶角顶点时，N 是以 A 为圆心，以 OA 为半径的圆与 OM 的交点，共有 1 个，当 O 是顶角顶点时，N 是以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆与 MO 的交点，有 2 个；此时 2 个点重合，若 OA 是底边时，N 是 OA 的中垂线与直线 MO 的交点有 1 个 以上 4 个交点有 2 个点重合故符合条件的点有 2 个 故选：A 二填空题 6解：作 EFAC 且 EF，连接 DF 交 AC 于 M，在 AC 上截取 MN，延长 DF交 BC 于 P，作 FQBC 于 Q，作出点 E 关于 AC 的对称点 E，则 CECE1，将MN 平移至 EF处，则四边形 MNEF为平行四边形，则当 BM+ENBM+FMBF时四边形 BMNE 的周长最小，由FEQACB45，可求得 FQEQ1，DPCFPQ，DCPFQP，PFQPDC，解得：PQ，PC，由对称性可求得 tanMBCtanPDC 故答案为 7解：法一、如图，延长 AD、BE，记两延长线的交点为 F，连接 FE，等腰直角三角形ACD 和BCE，ADCCEB90，ACDBCEA45，DCECDFCEF90，四边形 DCEF 是矩形，AFB 是等腰直角三角形，DEFC，当 FCAB 时，FC 最小，此时 FCDE1 故答案为：1 法二、如图，连接 DE 设 ACx，则 BC2x，ACD 和BCE 分别是等腰直角三角形，DCA45，ECB45，DC，CE（2x），DCE90，故 DE2DC2+CE2x2+（2x）2x22x+2（x1）2+1，当 x1 时，DE2取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为 1 故答案为：1 8解：方法一：过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线坐标于点 M、N，连接 MN，设 P 点坐标为：（x，x+6），则 NO2+MO2NM2，NM2（x+6）2+x2x2+9x+36，此函数最小值为：，MN 长度为正数，MN 故答案为：方法二：MNPO，当 PO直线 yx+6 时，OP 最小，即 MN 最小，可得直线 yx+6 与 y 轴交点为：（0，6），与 x 轴交点为：（8，0），则 6810OP，解得：OP 故答案为：9解：设 P（x，x2+2x+2），四边形 OAPB 周长2PA+2OA2x2+4x+4+2x2x2+6x+42（x）2+，当 x时，四边形 OAPB 周长有最大值，最大值为 故答案为：10解：矩形 AOBC 的顶点 A，B 的坐标分别是 A（0，4），B（，0），OA4，OB4，点 P 关于直线 ykx（k0）与点 A 对称，OPOA4，POB 为等腰三角形 BPBO，OPPB，OBOP（不成立，因为 OA4，OB4）当 BPBO4时，如图，作 PHOB，BGOP 垂足分别为 H、G，OGPGOP2 BG2 OPBGOBPH 即 424PH PH OH，点 P 坐标为（，），（，），当 OPPB4 时，如图，作 PFOB 垂足为 F OFFBOB2 PF2 点 P 坐标为（2，2），（2，2）；综上所知点 P 坐标为（，），（，），（2，2）或（2，2）故答案为：（，），（，），（2，2）或（2，2）11解：POQ 是等腰三角形，若 P 在线段 AB 上，OPQ90 POPQ，又OAPPBQ，OAPPBQ PBAO，即 34m，m1，即 P 点坐标（1，3）；（8 分）若 P 在线段 AB 的延长线上，PQ 交 CB 的延长线于 Q，POPQ，又AOPBPQ，AOPBPQ，AOPB，即 3m4，即 P 点的坐标（7，3）；当 P 在线段 BA 的延长线上时，显然不成立；故点 P 坐标为 P1（1，3），P2（7，3）故答案为：P1（1，3），P2（7，3）12解：设 B 点的坐标为（m，n），B 为正比例函数图象上的点，且 OB2，解得：或（舍去），点 B 的坐标为（1，），设 P 点坐标为（0，a），由题意，BPA 是以B 为顶角的等腰三角形，BPPA，|AB|，整理得（a）21，解得 a+1 或1，则 OP 的长为+1 或1，故答案为+1 或1 13解：yax210ax+c，对称轴为直线 x5 设 M 的坐标为（5，n），直线 BC 的解析式为 ykx+b，解得 y2x+8 点 M 在直线 y2x+8 上，n25+82 又抛物线 yax210ax+c 经过点 C 和 M，解得 抛物线的函数表达式为 yx24x+8；A（6，0），C（0，8），AC10，四边形 ABCD 是菱形，CDAB，C（0，8），点 D 的坐标是（10，8）；由题意可 P 在抛物线 yx24x+8 上，且到 BD，CD 所在直线距离相等，所以 P 在二次函数与 BD、CD 所在的直线的夹角平分线的交点上，而BD、CD所在的直线的夹角平分线有两条：一条是AD所在的直线，解析式为yx+3，另外一条是过 D 且与 BC 平行的直线，解析式为：y2x+28，联立，解得：（舍）或，联立，解得：（舍）或 所以当PBD 与PCD 的面积相等，点 P 的坐标为 P1（，），P2（5，38）故答案为：yx24x+8；P1（，），P2（5，38）14解：抛物线解析式为 yx22x+，抛物线对称轴为直线 x1，点 C 的坐标为（0，），SOCP1；令 x22x+0，解得：x1，x2，故点 A 的坐标为（，0），点 B 的坐标为（，0），设直线 BC 与抛物线对称轴交于点 D，其解析式为 ykx+b，将点 B、点 C 坐标代入可得：，解得：，故直线 BC 的解析式为 yx+，则点 D 的坐标为（1，），PD|a|，则 SPBCSPDC+SPDBPDOM+PDBMPDOB|a|2，解得：a或 a 故答案为：，、15解：（1）连接 AC，交 OB 于点 H，如图 1，四边形 OABC 是正方形，OAABBCOC，OHAH，OHAH 点 A 在反比例函数 y的图象上，SOHA9 OHAH9OHAH，OHAH3OA6 ABBCOCOA6 由题可知：APAQt，SAPQS正方形OABC629 t29t3 t0，t3 当 t3时，APQ 的面积等于正方形 OABC 的面积的（2）若点 P 在 OA 上，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，一腰上的中线大于腰长（斜边大于直角边），因此不存在一边上中线的长等于这边的长 若点 P 在 OC 上，若 PQ 边上的中线 AG 长等于 PQ 长，如图 2 四边形 OABC 是正方形，AOBO，AOPABQC90 OPBQt6，APAQ G 为 PQ 的中点，APAQ，AGPQ，PGQG AGPQ，AP2AG2+PG2PQ2+（PQ）2PQ2 0A2+OP2（PC2+CQ2）62+（t6）2（12t）2+（12t）2 整理得：t232t+1920 解得：t124，t28 6t12，t8 若 AP 边上的中线 QM 长等于 AP 长，如图 3 APAQ，APQM，AQQM 过点 Q 作 QNAP，垂足为 N，AQQM，QNAP，ANMNANAP QNAP，NQ2AQ2AN2AP2（AP）2AP2 NQAP SAPQAPQNS正方形OABCSAOPSPCQSABQ，62+（t6）2626（t6）（12t）26（t6）整理得：（4+）t2（12+48）t+720 解得：t1306，t2618 6t12，t306 综上所述：当 t8 或 306时，APQ 一边上的中线长恰好等于这条边的长 故答案为：3；8 或 306 16解：RtABC 中，BAC90，ABAC16cm，AD 为 BC 边上的高，ADBDCD8cm，又APtcm，则 S1APBD8t8t，PD8t，PEBC，APEADC，PEAPt，S2PDPE（8t）t16t2t2，当 t2 时，S116，S216222224，S1：S216：242：3，S12S2，8t2（16t2t2），0t8，t6 故答案是：2：3，6 17解：正方形 ABCD 的边长为 4cm，先向右平移 1cm，再向上平移 2cm 可知 BE3cm，DE2cm，S阴影326cm2 故答案为：6 18解：对图中的点进行标注，如图所示，ABC 以每秒 2cm 的速度向左移动，t 秒后，AN2t，AM202t，DMMNBCAC，AC 与 MN 在同一条直线上，DMBC，ADMABC ABC 是等腰直角三角形，ADMABC，ADM 是等腰直角三角形，y（202t）2 故答案：y（202t）2 三解答题 19解：如图所示：M、N 点即为所求 20（1）证明：ABE 是等边三角形，BABE，ABE60 MBN60，MBNABNABEABN 即MBANBE 又MBNB，AMBENB（SAS）（2）解：当 M 点落在 BD 的中点时，A、M、C 三点共线，AM+CM 的值最小如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小 理由如下：连接 MN，由（1）知，AMBENB，AMEN，MBN60，MBNB，BMN 是等边三角形 BMMN AM+BM+CMEN+MN+CM 根据“两点之间线段最短”可知，EC 与 BD 的交点即为所求 M 点，使得 EN+MN+CM 取得最小值，最小值为 EC（3）解：过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F，EBFABFABE906030 设正方形的边长为 x，则 BFx，EF 在 RtEFC 中，EF2+FC2EC2，（）2+（x+x）2（2+2）2 解得 x12，x22（舍去负值）正方形的边长为 2 21解：（1）ab3，且ACB60，ABC 是等边三角形，OC，CD；（2）；（3）以点 D 为中心，将DBC 逆时针旋转 60，则点 B 落在点 A，点 C 落在点 E连接 AE，CE，CDED，CDE60，AECBa，CDE 为等边三角形，CECD 当点 E、A、C 不在一条直线上时，有 CDCEAE+ACa+b；当点 E、A、C 在一条直线上时，CD 有最大值，CDCEa+b；只有当ACB120时，CAE180，即 A、C、E 在一条直线上，此时 AE 最大 ACB120，（7 分）因此当ACB120时，CD 有最大值是 a+b 22（1）证明：如图 1，在ABC 中，ACB90，BAC30，CBA60（直角三角形的两个锐角互余）ABAC，ACACAB，又由旋转的性质知，CABCAB30，ACACAB30，即 30，ACBACB903060，CDB60，在CDB 中，DCBCBDBDC60，BCD 是等边三角形；（2）证明：如图 2，由旋转的性质可知 ACCA，BCCB，又由旋转的性质知，ACABCB ACABCB，SACA：SBCBAC2：BC2：13：1；（3）解：如图，连接 CP，当ABC 旋转到ABC 的位置时，此时 ACA150，EPEC+CPAC+ABa+2aa 即角 150时，EP 长度最大，其最大值是a 23解：（1）b4，抛物线 yx2+4x，在 yx2+4 中，令 y0，得x2+4x0，x10，x24 A（4，0）令 x1，得 y3 B（1，3）对称轴 x2 C（3，3）BC2（2）如图 1，过点 C 作 CDx 轴于点 D，BCP+PCD90，DCA+PCD90，BCPDCA，又CBPCDA90 CBPCDA 在 yx2+bx 中，令 x1，则 yb1 B（1，b1）又对称轴 x，BC2（1）b2，C（b1，b1），CDb1，BCb2，DAON1，BPb11，b3（3）b6，抛物线 yx2+6x 在 yx2+6x 中，令 x1，得 y5 B（1，5）对称轴 x3 C（5，5）BC4，P（1，），P（1，3），BP532，PC2 CP 与抛物线对称轴的交点为 E，EPECPC，如图 2，当 BC 在 CP 上时，且 M 点与 B点重合时线段 EM 最短，EMEP（PCBC）（24）4 如图 3，当 BC 在 PC 延长线上时，且 M 点与 P点重合时线段 EM 最长，EMEC+PC+23 4EM3