2021-2022学年河北省名校联盟高一下学期4月联考数学试题(含解析).pdf
河北省高一年级 4 月联考 数学 注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一册第五章至第二册第七章 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1第 24 届冬季奥林匹克运动会，即 2022 年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事北京时间 2 月 8 日，中国选手谷爱凌摘得冬奥会自由式滑雪大跳台金牌谷爱凌夺冠的动作叫“向左偏转偏轴转体1620”，即空中旋转1620，则cos1620 （）A1 B1 C12 D12 2 记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2,5,45abB，则sin A（）A25 B105 C55 D35 3 已知复数12,z z在复平面内对应的点关于原点对称，若212023(12i)iz，则2z对应的点位于（）A第四象限 B第三象限 C第二象限 D，第一象限 4已知平面内的三点(2,3),(1,),(7,)ABm Cn，若 A，B，C 三点共线，则3mn（）A6 B6 C3 D3 5若sin7cos0，则2cos 2cos2（）A310 B310 C1350 D1350 6在ABC中，边AB的中点为 D，若 O 为ABC的重心，则OD（）A1136ABAC B1136ACAB C1163ACAB D1163ABAC 7已知为锐角，13cos313，则tan（）A38 B37 C3 34 D3 35 8 记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2120,2,2 73AcADAC BD，则ABC的周长为（）A14 B82 13 C15 D737 二、选择题：本题共 4 小题，每个小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9已知角的终边经过点(1,4)，则（）A4 17sin17 B17cos17 Ctan4 D3 34sin434 10已知平面内三点(0,1),(2,5),(1,4)ABC，则（）A(3,1)BC BACBC C|2 5ACBC DAB与BC的夹角为34 11记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是（）A若60,20,30Aab，则ABC无解 B若150,3,4Aab，则ABC有一解 C若45,2,3Aab，则ABC有两解 D若60,12,8Aab，则ABC有两解 12已知函数()2cos()10,02f xx的图象经过原点，且恰好存在 2 个00,1x，使得()f x的图象关于直线0 xx对称，则（）A3 B的取值范图为58,33 C一定不存在 3 个10,1x，使得()f x的图象关于点1,1x 对称 D()f x在10,4上单调递减 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13函数11()cos22f xx的一个周期可以是_ 14 已知复数(23i)1iz，则z的虚部为_；若13za为纯虚数，则实数a _，（本题第一空 3 分，第二空 2 分）15甲、乙两艘渔船从点 A 处同时出海去捕鱼，乙渔船往正东方向航行，速度为 15 公里每小时，甲渔船往北偏东30方向航行，速度为 20 公里每小时，两小时后，甲渔船出现故障停在了 B 处，乙渔船接到消息后，立刻从所在地 C 处开往 B 处进行数援，则乙渔船到达甲渔船所在位置至少需要_小时（参考数据：取133.6）16 已知正方形ABCD的边长为 2，正方形ABCD的内切圆圆上有一动点 E，平面内有一动点 P，则()()PAPEPBEP的最大值为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）已知复数13i(22i)iz （1）求|z；（2）若128i(,)mznzm nR，求2mn的值 18（12 分）已知函数2()6sincos6 3cos3 3f xxxx（1）求()f x的单调递增区间；（2）将()f x图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移4个单位长度，得到函数()g x的图象，求()g x在,12 24上的值域 19（12 分）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sin(2sinsin)cos(2coscos)BCBBCB（1）求 A 的大小：（2）若4,8abc，求sinsinCB的值 20（12 分）已知向量3(sin,cos),(3,1),0,2axx bx（1）若b在a上的投影向量的模为 1，求 x 的值；（2）若()()akbakb，求k 的值 21（12 分）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2,3AAD为边BC上的中线，A 的角平分线AE交BC于点 E（1）若7,3ac，求AD的值；（2）若6AE，求ABC面积的最小值 22（12 分）如图，在ABC中，4,3,60,3,2ABACBACADDB AEEC，P 为线段DE上的一动点 （1）若APxAByAC，求89xy的值；（2）求PB PC的最小值 河北省高一年级 4 月联考 数学参考答案 1B cos1620cos9cos1 2B 由正弦定理sinsinabAB，得10sinsin5aABb 3C 因为221214i4i3i4i43iiiz，所以243iz 故2z对应的点位于第二象限 4A 由题意得(3,3),(93)ABmACn ，因为 A，B，C 三点共线，所以3(3)9(3)nm，得36mn 5D 由题意得tan7 所以222222sincoscos2tan113cos 2cos2sincostan150 6D 由题意得111111()333263ODCDCBBDABACABABAC 7D 由题意得，3为第二象限角，所以tan2 33，所以tan33 33tantan33513tan3 8B 由 B2222cosBDABADAB ADA，得22240ADAD，得4AD，所以6b 由2222 cos52abcbA，得2 13a 故ABC的周长为82 13 9AC 由题意得4 17sin17，17cos17，tan4，223 34sinsincos4242434 10BCD 由题意得向量(2,4),(1,3),(3,1)ABACBC，A 错误因为0AC BC，所以ACBC，B 正确因为(4,2)ACBC，所以|2 5ACBC，C 正确因为2cos2|AB BCABBCAB BC ，所以AB与BC的夹角为34，D 正确 11AC 因为3 3sinsin14bBAa，所以ABC无解A 正确150A，因为21sinsin32bBAa，所以30,BABC无解B 错误因为3sinsin2bBAa，所以60A 或120，ABC有两解，C 正确 因为3sinsin,3bBAaba，所以 B 为锐角，ABC有一解，D 错误 12ABD 因为(0)2cos10,02f，得3，A 正确由0,1x，得,333x，所以233，得5833，B 正确 当5323时，存在 3 个10,1x，使得()f x的图象关于点1,1x 对称C 错误因为10,4x，所以1,33 43x，又5833，所以31443，所以()f x在10,4上单调递减，D 正确 134（答案不唯一）符合4k（k Z且0k）即可 14113；5 由题意得1i(1i)(23i)51i23i(23i)(23i)1313z，所以 z 的虚部为113因为135izaa为纯虚数，所以50a，即5a 152.4 由题可知40,30,60ABACBAC由余弦定理得2222cos601300BCABACAB AC，得10 13BC，乙渔船到达甲渔船所在位置至少需要的时间为10 132 132.4153小时 163 如图，建立直角坐标系，得点(1,1),(1,1)AB，因为圆 O 为单位圆，所以设(cos,sin)E其中0,2)，则(1cos,1sin),(1cos,1sin)EAEB ，其中()()12sin3PAPEPBEPEA EB 17解：（1）因为213i2i2i3iz ，所以2|3110z （2）由题意得3iz，所以(33)()i128imznzmnmn，所以3312,8,mnmn 得6,2,mn 所以210mn 18解：（1）()3sin 23 3cos2f xxx 6sin 23x，由222()232kxkkZ，得5()1212kxkkZ，故()f x的单调递增区间为5,()1212kkkZ（2）由题意得，2()6sin 46sin 4433g xxx，因为,12 24x，所以254,336x，max()6sin62g x，min5()6sin36g x，故()g x在,12 24上的值域为3,6 19解：（1）由题意得222sinsinsin2coscoscosBCBBCB，得222sinsin2coscossincos1BCBCBB，得2(coscossinsin)2cos1BCBCA，所以1cos2A，即60A （2）由余弦定理2222cos16abcbcA，得2()1630bcbc 因为8bc，所以16bc，由正弦定理8 3sinsinsin3abcABC，得33sin,sin88BbCc，所以33sinsin644CBbc 20解：（1）由题意得22|sincos1axx，所以|3sincos|2sin16|a ba bxxxa，即1sin62x 又因为30,2x，所以5,663x 所以566x或76，即23x或（2）因为24b，所以222()()0akbakbak b，得2140k，即12k 21解：（1）由余弦定理29491cos232bAb，得2340(8)(5)0bbbb，即5b 由题意得1()2ADABAC，两边平方得221|2|cos|4ADABABACBACAC 1119923 525422 （2）因为111sinsinsin222ABCSbcBACb AECAEc AEBAE，所以6()bcbc 因为6()12bcbcbc，所以144bc，当且仅当12bc时，等号成立，所以13sin36 324ABCSbcBACbc，故ABC面积的最小值为36 3 22解：（1）设DPDE，则32()43DPDEAEADABAC，因为APADDP 332332443443ABABACABAC，所以33442,3xy 得896xy（2）因为113212(31)444343PBDBDPABDEABABACABAC，1231(1)(1)3343PCPEECDEACACABAC 31(1)(32)43ABAC 所以22321(1)(31)(32)1213316912PB PCABACAB AC 2211133(1)(31)2(32)121337222 211289289728112112 所以PB PC的最小值为289112
