2022-2023学年九年级数学中考复习《因式分解的应用》解答题专题提升训练(附答案).pdf

2022-2023 学年九年级数学中考复习因式分解的应用解答题专题提升训练（附答案）1已知 a，b，c 是ABC 的三边长，且满足 a2+b24a8b+200，c3cm，求ABC 的周长 2已知ABC 的三边分别为 a，b，c，且 a+b3，ab1，c（1）求 a2+b2的值；（2）试判断ABC 的形状，并说明理由 3分解因式 x24y22x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：x24y22x+4y（x+2y）（x2y）2（x2y）（x2y）（x+2y2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：a24ab2+4；（2）ABC 三边 a，b，c 满足 a2abac+bc0，判断ABC 的形状 4阅读：多项式 ax2+bx+c（a0），当 a、b、c 取某些实数时，ax2+bx+c 是完全平方式 例如：a1、b2、c1 时，ax2+bx+cx22x+1（x1）2，发现：（2）2411 a1、b6、c9 时，ax2+bx+cx2+6x+9（x+3）2，发现：6241919、b12、c4 时，ax2+bx+c9x2+12x+4（3x+2）2，发现：122494 根据阅读解答以下问题（1）分解因式：16x224x+9 ；（2）若多项式 ax2+bx+c（a0）是完全平方式，则 a、b、c 之间存在某种关系，用等式表示 a、b、c 之间的关系：；（3）在实数范围内，若关于 x 的多项式 4x2+mx+25 是完全平方式，求 m 值；（4）求多项式：x2+y24x+6y+15 的最小值 5 如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m 的大正方形，两块是边长都为 n 的小正方形，五块是长为 m，宽为 n 的全等小长方形，且 mn（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式 2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ；（2）若每块小长方形的周长是20cm且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40cm2，求这张长方形纸板的面积是多少平方厘米？6阅读下列材料：因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如 x22xy+y216我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解 过程如下：x22xy+y216（xy）216（xy+4）（xy4）这种因式分解的方法叫分组分解法 利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）因式分解：a26ab+9b225；（2）因式分解：x24y22x+4y；（3）ABC 三边 a，b，c 满足 a2+c2+2b22ab2bc0，判断ABC 的形状并说明理由 7对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图 1可以得到（a+b）2a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图 2 中所表示的数学等式；（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）若 a+b+c10，ab+ac+bc35，利用得到的结论，求 a2+b2+c2的值 8阅读理解：材料 1：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如 x24y22x+4y，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了：x24y22x+4y（x+2y）（x2y）2（x2y）（x2y）（x+2y2）这种分解因式的方法叫分组分解法 材料 2：对于 x3（n2+1）x+n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3（n2+1）x+n x3n2xx+n x（x2n2）（xn）x（x+n）（xn）（xn）（xn）（x2+nx1）解决问题：（1）分解因式：a24ab2+4；x35x+2（2）ABC 三边 a，b，c 满足 a2abac+bc0，判断ABC 的形状 9阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解 例 1：“两两分组”：ax+ay+bx+by 解：原式（ax+ay）+（bx+by）a（x+y）+b（x+y）（a+b）（x+y）例 2：“三一分组”：2xy+x21+y2 解：原式x2+2xy+y21（x+y）21（x+y+1）（x+y1）归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：（1）分解因式：x2xy+5x5y；m2n24m+4；（2）已知ABC 的三边 a，b，c 满足 a2b2ac+bc0，试判断ABC 的形状 10通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数等式，例如图 1 可以得到（a+2b）（a+b）a2+3ab+2b2（1）图 2 所表示的数学等式为 （2）利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知 a+b+c11，ab+bc+ac38，求 a2+b2+c2的值；（3）如图 3，将两个边长分别为 a 和 b 正方形拼在一起，B、C、G 三点在同一直线上，连接 BD 和 BF，若这两个正方形的边长满足 a+b10，ab20、求出阴影部分的面积 11如图，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形，如图（2）是由图（1）中阴影部分拼成的一个长方形（1）请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？（2）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1（3）若图（1）中的阴影部分的面积是 12，ab3，求 a4b4的值 12阅读理解：若 x 满足（9x）（x4）4，求（4x）2+（x9）2的值 解：设 9xa，x4b，则（9x）（x4）ab4，a+b（9x）+（x4）5，（9x）2+（x4）2a2+b2（a+b）22ab522417 迁移应用：（1）若 x 满足（2020 x）2+（x2022）210，求（2020 x）（x2022）的值；（2）如图，点 E，G 分别是正方形 ABCD 的边 AD、AB 上的点，满足 DEk，BGk+1（k 为常数，且 k0），长方形 AEFG 的面积是，分别以 GF、AG 作正方形 GFIH 和正方形 AGJK，求阴影部分的面积 13阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说“数缺形时少直观，形缺数时难入微”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：；（2）解决问题：如果 a+b10，ab12，求 a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8x）和（x2），且（8x）2+（x2）220，求这个长方形的面积 14如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块，其中有 2 块是边长为 a 厘米的大正方形，2 块是边长都为 b 厘米的小正方形，5 块是长为 a 厘米，宽为 b 厘米的相同的小长方形，且 ab（1）观察图形，可以发现代数式 2a2+5ab+2b2可以因式分解为 （2）若图中阴影部分的面积为 20 平方厘米，大长方形纸板的周长为 24 厘米，求图中空白部分的面积 15阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式（a22a1）（a22a+3）+4 进行因式分解的过程 解：设 a22aA，原式（A1）（A+3）+4（第一步）A2+2A+1（第二步）（A+1）2（第三步）（a22a+1）2（第四步）（a1）4 回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填代号）A提取公因式 B平方差公式 C两数和的完全平方公式 D两数差的完全平方公式（2）请你模仿以上方法，分解因式：（x24x3）（x24x+11）+49 16代数中的很多等式可以用几何图形直观表示，这种思想叫“数形结合”思想 如：现有正方形卡片 A 类、B 类和长方形 C 类卡片若干张，如果要拼成一个长为 2（a+b），宽为（a+2b）的大长方形，可以先计算（2a+b）（a+2b）2a2+5ab+2b2，所以需要 A、B、C 类卡片 2 张、2 张、5 张，如图 2 所示；（1）如果要拼成一个长为（a+3b），宽为（a+b）的大长方形，那么需要 A、B、C 类卡片各多少张？并画出示意图（2）由图 3 可得等式：；（3）利用（2）中所得结论，解决下面问题，已知 a+b+c11，ab+bc+ac38，求 a2+b2+c2的值；（4）小明利用 2 张 A 类卡片、3 张 B 类卡片和 5 张长方形 C 类卡片去拼成一个更大的长方形，那么该长方形的较长的一边长为 （用含 a、b 的代数式表示）17所谓完全平方式，就是对一个整式 M，如果存在另一个整式 N，使 MN2，则称 M 是完全平方式，如：x4（x2）2、x2+2xy+y2（x+y）2，则称 x4、x2+2xy+y2是完全平方式（1）下列各式中是完全平方式的编号有 a2+4a+4b2；4x2；x2xy+y2；y210y25；x2+12x+36；2a+49（2）已知 a、b、c 是ABC 的三边长，满足 a2+b2+2c22c（a+b），判定ABC 的形状（3）证明：多项式 x（x+4）2（x+8）+64 是一个完全平方式 18如图，在边长为单位 1 的小正方形组成的 1010 网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），点 A 和点 B 分别在网格的格点上（1）分解因式 2a218；（2）若 2a2180，且点 A（a，2）在第二象限，点 B（a+5，1）在第四象限，请求出点 A 和点 B 的坐标，并在所给的网格中画出平面直角坐标系；（3）在（2）的条件下，已知点 A（a，4）是点 A 关于直线 l 的对称点，点 C 在直线l 上，且ABC 的面积为 6，直接写出点 C 的坐标 19阅读：因为（x+3）（x2）x2+x6，说明 x2+x6 有一个因式是 x2；当因式 x20，那么多项式 x2+x6 的值也为 0，利用上面的结果求解：（1）多项式 A 有一个因式为 x+m（m 为常数），当 x ，A0；（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为 x2，面积为 x2+kx14，求 k 的值；（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x1），体积为 4x3+ax27x+b，试求 a，b 的值 20在“整式的乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明例如，利用图 1 中边长分别为 a，b 的正方形，以及长为 a，宽为 b 的长方形卡片若干张拼成图 2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：（a+b）2a2+2ab+b2 请你解答下面的问题：（1）利用图 1 中的三种卡片若干张拼成图 3，可以解释等式：；（2）利用图 1 中的三种卡片若干张拼出一个面积为 2a2+5ab+2b2的长方形，请你分析这个长方形的长和宽 参考答案 1解：a2+b24a8b+200 a24a+4+b28b+160（a2）2+（b4）20，又（a2）20，（b4）20 a20，b40，a2，b4，ABC 的周长为 a+b+c2+4+39（cm）答：ABC 的周长为 9cm 2解：（1）a+b3，ab1，a2+b2（a+b）22ab927；（2）ABC 是直角三角形，理由：a2+b27，c2（）27，a2+b2c2，ABC 是直角三角形 3解：（1）a24ab2+4 a24a+4b2（a2）2b2（a+b2）（ab2）（2）a2abac+bc0，a（ab）c（ab）0，（ab）（ac）0，ab0 或 ac0，ab 或 ac，ABC 是等腰三角形 4解：（1）16x224x+9（4x3）2；（2）b24ac；故答案为（4x3）2；b24ac；（3）因为 m24425，所以 m20；（4）x2+y24x+6y+15（x2）2+（y+3）2+2，因为（x2）20，（y+3）20，所以当 x2，y3 时，x2+y24x+6y+15 有最小值 2 5解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2（2m+n）（m+2n），故答案为（2m+n）（m+2n）；（2）m2n240，（m+n）（mn）40，m+n20210，mn4，解得 m7，n3，2m+n17，m+2n13，纸板的面积（2m+n）（m+2n）1713221（平方厘米）答：纸板的面积为 221 平方厘米 6解：（1）a26ab+9b225，（a3b）225，（a3b5）（a3b+5）；（2）x24y22x+4y，（x2y）（x+2y）2（x2y），（x2y）（x+2y2）；（3）ABC 是等边三角形，理由如下：a2+c2+2b22ab2bc0，（a22ab+b2）+（c22bc+b2）0，（ab）2+（bc）20，（ab）20，（bc）20，ab0，且 bc0，ab，且 bc，abc，ABC 是等边三角形 7解：（1）边长为（a+b+c）的正方形的面积为：（a+b+c）2，分部分来看的面积为 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）（a+b+c）2（a+b+c）（a+b+c）a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）a+b+c10，ab+ac+bc35，a2+b2+c2（a+b+c）22ab2bc2ac 102235 30，a2+b2+c2的值为 30 8解：（1）a24ab2+4 a24a+4b2（a2）2b2（a+b2）（ab2）；x35x+2 x34xx+2（x34x）（x2）x（x24）（x2）x（x+2）（x2）（x2）（x2）（x2+2x1）；（2）a2abac+bc0，a2ab（acbc）0，a（ab）c（ab）0，（ab）（ac）0，ab0，或者 ac0，即：ab，或者 ac，ABC 是等腰三角形 9解：（1）x2xy+5x5y（x2xy）+（5x5y）x（xy）+5（xy）（xy）（x+5）；m2n24m+4（m24m+4）n2（m2）2n2（m2+n）（m2n）；（2）a2b2ac+bc0，（a2b2）（acbc）0，（a+b）（ab）c（ab）0，（ab）（a+bc）0，a，b，c 是ABC 的三边，a+bc0，ab0，ab，即ABC 是等腰三角形 10解：（1）由题意得：正方形的面积边长边长各个部分面积的和，（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 故答案为：（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（2）a+b+c11，ab+bc+ac38，112a2+b2+c2+238，a2+b2+c245（3）由题意得：S阴SBCD+S正CEFGSBGF，S阴a2+b2（a+b）b（a2ab+b2）（a2+2ab+b23ab）（a+b）2ab a+b10，ab20，S阴1022020 答：阴影部分的面积为 20 11解：（1）图 1 中阴影部分的面积是 a2b2，图 2 中阴影部分的面积是（a+b）（ab），a2b2（a+b）（ab），可以验证平方差公式；（2）原式（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1（221）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1（241）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1（281）（28+1）（216+1）（232+1）+1（2161）（216+1）（232+1）+1（2321）（232+1）+1 2641+1 264（3）依题意可得：a2b212，（a+b）（ab）12，ab3，a+b4 联立方程组可得：a，b，a4b4（）4（）4150 12解：（1）设 a2020 x，bx2022，则：a+b2，a2+b210（a+b）2a2+2ab+b2，10+2ab（2）2 ab3（2020 x）（x2022）3（2）设正方形 ABCD 的边长为 x，则 AExk，AGxk1，AEAG1 长方形 AEFG 的面积是，AEAG（AEAG）2AE22AEAG+AG2，AE2+AG21+（AE+AG）2AE2+2AEAG+AG2，（AE+AG）2，AE+AG S阴影部分S正方形GFIHS正方形AGJK AE2AG2（AE+AG）（AEAG）1 13解：（1）如图，写出一个我们熟悉的数学公式：（a+b）2a2+2ab+b2 故答案为：（a+b）2a2+2ab+b2；（2）a+b10，ab12，a2+b2（a+b）22ab1002476；（3）设 8xa，x2b，长方形的两邻边分别是 8x，x2，a+b8x+x26，（8x）2+（x2）2a2+b2（a+b）22ab622ab20，ab8，这个长方形的面积（8x）（x2）ab8 14解：（1）观察图形可得图形面积为 2a2+5ab+2b2，利用长方形面积公式可得面积为（a+2b）（2a+b），2a2+5ab+2b2（a+2b）（2a+b），故答案为：（a+2b）（2a+b）（2）图中阴影部分的面积为 20 平方厘米，2a2+2b220，大长方形纸板的周长为 24 厘米，6a+6b24，联立方程，解得 ab3 空白部分面积为 5ab15 平方厘米 15解：（1）A2+2A+1（A+1）2，第二步到第三步运用了因式分解的“两数和的完全平方公式”，故答案为：C；（2）设 x24xA，（x24x3）（x24x+11）+49（A3）（A+11）+49 A2+8A+16（A+4）2（x24x+4）2（x2）4 16解：（1）（a+3b）（a+b）a2+4ab+3b2，A、B、C 三类卡片各需要 1 张、3 张、4 张；如下图：（2）图 3 是一个边长为（a+b+c）的正方形，它由边长分别为 a，b，c 的 3 个小正方形和边长为 a，b 的 2 个小长方形，边长为 a，c的 2 个小长方形与边长为 b，c 的 2 个小长方形组成，（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 故答案为：（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（3）由（2）知：（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a2+b2+c2（a+b+c）22（ab+ac+bc）12123845（4）2 张 A 类卡片、3 张 B 类卡片和 5 张长方形 C 类卡片的面积和为：2a2+5ab+3c2，又2a2+5ab+3c2（2a+3b）（a+b），长方形的较长的一边长为：2a+3b 画出示意图如下：故答案为：2a+3b 17解：（1）4x2（2x）2，是完全平方式 x2+12x+36（x+6）2，是完全平方式，是完全平方式 故答案是：、（2）a2+b2+2c22ac+2bc，a2+b2+2c22ac2bc0（ac）2+（bc）20 abc ABC 是等边三角形（3）x（x+4）2（x+8）+64 x（x+8）（x+4）2+64（x2+8x）（x2+8x+16）+64（x2+8x）2+16（x2+8x）+64（x2+8x）+82（x2+8x+8）2，多项式 x（x+4）2（x+8）+64 是完全平方式 18解：（1）原式2（a232）2（a+3）（a3）（2）2a2180 a29 a3 点 A（a，2）在第二象限，点 B（a+5，1）在第四象限，5a0 a3 A（3，2），B（2，1）直角坐标系如图所示：（3）由（2）知：a3 A（3，4）直线 l 是线段 AA的垂直平分线 点 B 在直线 l 上，设 C（x，1），则 SABCBC（yAyC）6，BC4 x24 或 2x4 x6 或 x2 C（6，1）或（2，1）19解：（1）由题意，得，当 x+m0 时，A0，xm 时，a0，故答案为：m；（2）由题意得 x2 是 x2+kx14 的一个因式，x2 能整除 x2+kx14，当 x20 时，x2+kx140，x2 时，x2+kx144+2k140，解得：k5；（3）由题意得 x+2，x1 是 4x3+ax27x+b 的一个因式，x+2，x1 能整除 4x3+ax27x+b，x+20，x10，当 x+20 时即 x2 时，4x3+ax27x+b0，4a+b18，当 x10 即 x1 时，4x3+ax27x+b0，a+b3，得 3a15，解得：a5，b2 20解：（1）由题意得：图 3 的面积（2a+b）（a+b），图 3 的面积2a2+3ab+b2，利用图 1 中的三种卡片若干张拼成图 3，可以解释等式：（2a+b）（a+b）2a2+3ab+b2，故答案为：（2a+b）（a+b）2a2+3ab+b2；（2）2a2+5ab+2b2（2a+b）（a+2b），这个长方形的长和宽分别为 2a+b 和 a+2b