2022-2023学年人教版九年级数学下册《27-2相似三角形》解答题专题训练(附答案).pdf

2022-2023 学年人教版九年级数学下册27.2 相似三角形解答题专题训练（附答案）1如图，在 RtABC 中ACB90，CDAB 于 D已知 AC6，AD2，求 AB？2如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜手电筒的灯泡在点 G 处，手电筒的光从平面镜上点 B 处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点 E 处点 E 到地面的高度 DE3.5m，点 F 到地面的高度 CF1.5m，灯泡到木板的水平距离 AC5.4m，墙到木板的水平距离为 CD4m已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D 在同一水平面上（1）求 BC 的长（2）求灯泡到地面的高度 AG 3现有一块直角三角形木板，它的两条直角边分别为 3 米和 4 米要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人加工方法分别如图 1 和图 2 所示请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求 4如图，ABCDEF，点 C 在 AE 上，点 G 在 EF 上，AF、BG 交于点 D，已知 CD5米，EG6 米，GF9 米，求 AB 的长 5已知：如图，ABC 中，AD 是角平分线，点 E 在 AC 上，ADEB，求证：AD2AEAB 6如图，ABC 中，C90，AC6cm，BC8cm，点 P 从点 A 出发沿 AC 边向点 C以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动（1）若 P，Q 两点同时出发，几秒后可使PQC 的面积为 8cm2？（2）若 P，Q 两点同时出发，几秒后 PQ 的长度为 3cm 7如图，点 B、D、E 在一条直线上，BE 交 AC 于点 F，且BADCAE（1）求证：ABCADE；（2）求证：AEFBCF 8如图，在 43 的正方形方格中，ABC 和DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上（1）填空：ABC ，BC ；（2）判断ABC 与DEC 是否相似，并证明你的结论 9如图，点 C、D 在线段 AB 上，PCD 是等边三角形，且ACPPDB（1）求APB 的大小（2）说明线段 AC、CD、BD 之间的数量关系 10如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得 1 米长的竹竿竖直放置时影长 1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为 21 米，留在墙上的影高为 2 米，求旗杆的高度 11 为了测量校园内水平地面上的一棵树的高度，小明在距树 5 米处立了一根高为 3 米的标杆，然后小明前后调整自己的位置，当小明与标杆相距 1 米时，小明眼睛 A、标杆顶端 F、树的顶端 E 在同一直线上，已知小明的眼睛距地面 1.5 米，求树的高度 12为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度 EF在第一次测量中，小颖来回走动，走到点 D 时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点 H，其中 DH1m随后，组员在直线 DF 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线 DF 上的对应位置为点 G镜子不动，小颖从点 D 沿着直线 FD 后退 5m 到 B 点时，恰好在镜子中看到顶端 E 的像与标记 G 重合，此时 BG2m 如图，已知 ABBF，CDBF，EFBF，小颖的身高为 1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计根据以上信息，求广告牌的高度 EF 13如图，矩形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，DFAE 于 F（1）ABE 与ADF 相似吗？请说明理由（2）若 AB6，AD12，BE8，求 DF 的长 14在矩形 ABCD 中，AB6，AD4，点 M 为 AB 边上一个动点，连接 DM，过点 M 作MNDM，且 MNDM，连接 DN（1）如图，连接 BD 与 BN，BD 交 MN 于点 E求证：ABDMND；（2）如图，当 AM4BM 时，求证：A，C，N 三点在同一条直线上 15 如图，已知矩形 DEFG 的边 DE 在ABC 的边 BC 上，顶点 G，F 分别在边 AB、AC 上，ABC 的高 AH 交 GF 于点 l（1）求证：BDEHDHCE；（2）设 DEnEF（n 为正实数），求证：16已知：如图，矩形 ABCD 中 AB4，AD12，点 P 是线段 AD 上的一动点（点 P 不与点 A，D 重合），点 Q 是直线 CD 上的一点，且 PQBP，连接 BQ，设 APx，DQy（1）求证：ABPDPQ（2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围（3）并求出当 y 取何值，ABPPBQ（4）若点 Q 在 DC 的延长线上，则 x 的取值范围 （不必写出过程）17如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+3 与 x 轴交于点 C，与直线 AD 交于点 A（，），点 D 的坐标为（0，1）（1）求直线 AD 的解析式；（2）直线 AD 与 x 轴交于点 B，若点 E 是直线 AD 上一动点（不与点 B 重合），当BOD与BCE 相似时，求点 E 的坐标 18在 RtABC 中，C90，AC20cm，BC15cm现有动点 P 从点 A 出发，沿 AC向点 C 方向运动，动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CB 也向点 B 方向运动如果点 P 的速度是 4cm/秒，点 Q 的速度是 2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为 t 秒 求：（1）用含 t 的代数式表示 RtCPQ 的面积 S；（2）当 t3 时，P、Q 两点之间的距离是多少？（3）当 t 为多少时，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？19如图，在边长为 1 的 55 的正方形网格上有两个三角形，它们顶点都在格点上 （1）ABC 与DEF 是否相似？请说明理由；（2）还能在网格上画出与ABC 相似的三角形吗？还能画出几种大小不同的？试着在备用图上画出来（三个顶点都在格点上哟）20在ABC 中，ACB90，点 E 是斜边 AB 的中点，AB10，BC8，点 P 在 CE 的延长线上，过点 P 作 PQCB，交 CB 的延长线于点 Q，设 EPx（1）如图 1，求证：ABCPCQ；（2）如图 2，连接 PB，试用含 x 的代数式表示PBE 的面积；（3）如图 3，过点 B 作 BFAB 交 PQ 于点 F若BEFA，试求 x 的值 参考答案 1解：ACB90，CDAB，AC2ADAB，又 AC6，AD2，AB18 2解：（1）由题意可得：FCDE，则BFCBED，故，即，解得：BC3；（2）AC5.4m，AB5.432.4（m），光在镜面反射中的入射角等于反射角，FBCGBA，又FCBGAB，BGABFC，解得：AG1.2（m），答：灯泡到地面的高度 AG 为 1.2m 3解：图 1 加工的方法合理 设图 1 加工桌面长 xm，FDBC，RtAFDRtACB，AF：ACFD：BC，即（4x）：4x：3，解得 x，设图 2 加工桌面长 ym，过点 C 作 CMAB，垂足是 M，与 GF 相交于点 N，GFDE，CGFCAB，CN：CMGF：AB，（CMy）：CMy：AB AB 由面积相等可求得 CM2.4，故此可求得 y；很明显 xy，故 x2y2，图 1 加工的方法合理 4解：CDEF，ACDAEF，即，ABEF，ADBFDG，即，解得，AB4.5（米）5证明：AD 是角平分线，BADDAC，又ADEB，ABDADE，AD2AEAB 6 解：P 点的移动速度为 1cm/s，Q 点的移动速度为 2cm/s，所以设 CP6x，则 CQ2x，（1）PQC 的面积为 8cm2，即2x（6x）8，解得 x2 或 4，故 2 秒或 4 秒后PQC 的面积为 8cm2；（2）PQ 的长度为 3cm 即（2x）2+（6x）245，解得 x3 或 x（舍去），故 3 秒后 PQ 的长度为 3cm 7（1）BADCAE BAD+CADCAE+CAD 即BACDAE 在ABC 和ADE 中，BACDAE，ABCADE；（2）ABCADE，CE、在AEF 和BFC 中，CE，AFEBFC，AEFBCF 8解：（1）BCG 是等腰直角三角形，GBC45，ABG90，ABCGBC+ABG90+45135；在 RtBHC 中，BH2，CH2，BC2 故答案为：135；2；（2）相似理由如下：BC2，EC，又ABCCED135，ABCDEC 9解：（1）PCD 是等边三角形，PCD60，A+APC60，ACPPDB，APCPBD，A+B60，APB120；（2）ACPPDB，CD2ACBD 10解：过 C 作 CEAB 于 E，CDBD，ABBD，EBDCDBCEB90，四边形 CDBE 为矩形，BDCE21，CDBE2，设 AEx，则 1：1.5x：21，解得 x14，旗杆的高 ABAE+BE14+216 米 11解：如图，过 A 作 AH 垂直 ED，垂足为 H，交线段 FC 于点 G，由题知，FGEH，AFGAEH，又因为 AGBC1，HGCD5，GDHCAB1.5，所以，解得：HE9，则 EDDH+HE1.5+910.5（m）答：树 ED 的高为 10.5 米 12解：设广告牌的高度 EF 为 xm，依题意知：DB5m，BG2m，DH1m，ABCD1.5m GDDBBG3m，CDBF，EFBF，CDEF EFHCDH，即 DFx1 由平面镜反射规律可得：EGFAGB ABBF，ABG90EFG EFGABG，即 x3 故广告牌的高度 EF 为 3m 13解：（1）ABE 与ADF 相似理由如下：四边形 ABCD 为矩形，DFAE，ABEAFD90，AEBDAF，ABEDFA（2）ABEADF，在 RtABE 中，AB6，BE8，AE10 DF7.2 答：DF 的长为 7.2 14证明：（1）四边形 ABCD 为矩形，DMMN，ADMN90，AB6，AD4，MNDM，ABDMND；（2）如图，过点 N 作 NFAB，交 AB 延长线于点 F，连接 AC，AN，则NFA90，四边形 ABCD 为矩形，AD4，AB6，AABC90，BCAD4，则ADM+AMD90，AM4BM，AB6，AMAB，又DMMN，DMN90，AMD+FMN90，ADMFMN，ADMFMN，即，MF6，FN，ABCAFN90，ABCAFN，BACFAN，A，C，N 三点在同一条直线上 15（1）证明：四边形 DEFG 是矩形，GDBC，FEBC，DGEF，AHBC，GDAHFE，BDGABH，FECACH，GDFE，BD（CE+EH）CE（BD+DH），BDEHDHCE；（2）证明：DFBC，AGFABC，+1，GFDEnEF，+1，16证明：（1）四边形 ABCD 是矩形，AD90，ABP+APB90，PQD+QPD90，PQBP，DPQ+APB90 APBPQD，ABPDPQ；（2）ABPDPQ，AB4，AD12，即 y3x AP 与 AD 不重合，0 x12；答：y 与 x 的函数关系式为：y3x；自变量 x 的取值范围是：0 x12；（3）假设ABPPBQ，则，即，将 y3x代入上式，解得 x6 将 x6 代入 y3x，解得 y9 答：当 y9 时ABPPBQ；（4）Q 在 DC 的延长线上，y4，即 3x4，解此方程得 62x6+2 故答案为：62x6+2 17解：（1）设直线 AD 的解析式为 ykx+b，将 A（，），D（0，1）代入得：，解得：故直线 AD 的解析式为：yx+1；（2）直线 AD 与 x 轴的交点为（2，0），OB2，点 D 的坐标为（0，1），OD1，yx+3 与 x 轴交于点 C（3，0），OC3，BC5 过点 E 作 EF 垂直于 BC 于 F，BOD 与BEC 相似，BE2，CE，BCEFBECE，EF2，CF1，E（2，2），CE，E（3，）即：E（2，2），或（3，）18解：（1）由题意得 AP4t，CQ2t，则 CP204t，因此 RtCPQ 的面积为 Scm2；（2）当 t3 时，CP204t8cm，CQ2t6cm，由勾股定理得 PQ；（3）分两种情况：当 RtCPQRtCAB 时，即，解得 t3；当 RtCPQRtCBA 时，即，解得 t 因此 t3 或 t时，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似 19解：（1）DE，DF，EF5，AB，AC2，CB，ABCDEF；（2）如图所示：20解：（1）点 E 是斜边 AB 的中点，CE，PCQABC，PQCB，PQC90，又ACB90，PQCACB，ABCPCQ（2）由勾股定理可得 AC6，点 E 是斜边 AB 的中点，AB10，CE5，CBE 的面积682212，PBE 的面积12；（3）FBQ+ABC90，A+ABC90，AFBQ，又ACBEBF90，ABCBFQ，即 ABBQACBF，由ABCPCQ，得到 AB：PCBC：QC，即 10：（5+x）8：（8+BQ），BQ，6BF，解得 BF，FEBA，EBFACB90，ACBEBF，即 解得 x10