2022-2023学年苏科版九年级数学下册《6-7用相似三角形解决问题》解答题优生辅导训练(附答案).pdf

2022-2023 学年苏科版九年级数学下册6.7 用相似三角形解决问题 解答题优生辅导训练（附答案）1感知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，B90，点 P 在 BC 边上，当APD90时，可知ABPPCD（不要求证明）探究：如图，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当BCAPD 时，求证：ABPPCD 拓展：如图，在ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上若BCDPE45，BC6，BD4，则 DE 的长为 2如图，矩形 OABC 的顶点 O、A、C 都在坐标轴上，点 B 的坐标为（8，3），M 是 BC 边的中点（1）求出点 M 的坐标和COM 的周长；（2）若点 Q 是矩形 OABC 的对称轴 MN 上的一点，使以 O、M、C、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点 Q 的坐标；（3）若 P 是 OA 边上一个动点，它以每秒 1 个单位长度的速度从 A 点出发，沿 AO 方向向点 O 匀速运动，设运动时间为 t 秒是否存在某一时刻，使以 P、O、M 为顶点的三角形与COM 相似或全等？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由 3在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与 A，B 重合），分别连接 ED、EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形ABCD 的边 AB 上的“强相似点”解决问题：（1）如图 1，ABDEC70，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明理由；（2）四边形 AOBC 在平面直角坐标系中的位置如图 2 所示，若点 A，B，C 的坐标分别为（6，8）、（25，0）、（19，8），则在四边形 AOBC 的边 OB 上是否存在强相似点？若存在，请求出其坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 3，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 F 处，若点 F 恰好是四边形 ABCE 的边 AB 上的一个强相似点，则 AB 与 BC 的数量关系为 4课本中有一道作业题：有一块三角形余斜 ABC，它的边 BC120mm，高 AD80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC上（1）加工成的正方形零件的边长是多少 mm？【探索发现】（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图，问这个矩形的最大面积是多少？如果 BCa，高 ADh，则矩形 PQMN 面积的最大值为 （用含 a，h 的代数式表示）【实际应用】（3）现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB60cm，BC100cm，CD70cm，且BC60，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M、N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积 5如图，小明想用镜子测量一棵松树的高度，但树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是小明两次利用镜子，第一次他把镜子放在 C 点，人在 F 点正好在镜子中看见树尖 A；第二次把镜子放在 D 点，人在 H 点正好在镜子中看到树尖 A已知小明的眼睛距离地面的距离 EF1.68 米，量得 CD10 米，CF1.2 米，DH3.6 米，利用这些数据你能求出这棵松树的高度吗？试试看（友情提示：ACBECF，ADFGDH）6太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的 C 处垂直于地面竖立了高度为 2 米的标杆 CD，这时地面上的点 E，标杆的顶端点 D，舍利塔的塔尖点 B 正好在同一直线上，测得 EC4 米，将标杆 CD 向后平移到点 G 处，这时地面上的点 F，标杆的顶端点 H，舍利塔的塔尖点 B 正好在同一直线上（点 F，点 G，点 E，点 C 与塔底处的点 A 在同一直线上），这时测得 FG6 米，GC53 米 请你根据以上数据，计算舍利塔的高度 AB 7如图，平面直角坐标系中，在四边形 OABC 中，BCOA，OCAB，OA7，AB4，COA60，点 P 是 x 轴上一个动点，点 P 不与点 O、A 重合，连接 CP，点 D 是边AB 上一点，连接 PD（1）求点 B 的坐标；（2）若OCP 是等腰三角形，求此时点 P 的坐标；（3）当点 P 在边 OA 上，CPDOAB，且时，求此时点 P 的坐标 8已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形，ACB90，点 A，C 的坐标分别为 A（3，0），C（1，0），（1）求直线 AB 的解析式；（2）在 x 轴上确定一点 D，连接 DB，使得ADB 与ABC 相似，并求出点 D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如 P，Q 分别是 AB 和 AD 上的动点，连接 PQ，设 APDQm，问是否存在这样的 m 使得APQ 与ADB 相似？如存在，请直接写出 m 的值；如不存在，请说明理由 9阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的 4 名同学选择了测量学校里的四棵树的高度在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米，甲树的影长为 4.08 米（如图 1）小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图 2），墙壁上的影长为 1.2 米，落在地面上的影长为 2.4 米 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图 3），测得此影子长为 0.2 米，一级台阶高为 0.3 米，落在地面上的影长为 4.4 米 小明：测得丁树落在地面上的影长为 2.4 米，落在坡面上影长为 3.2 米（如图 4）身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为 2m（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米（2）画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度（3）请选择丙树的高度为 A6.5 米 B5.75 米 C6.05 米 D7.25 米（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看 10已知两条平行线 l1、l2之间的距离为 6，截线 CD 分别交 l1、l2于 C、D 两点，一直角的顶点 P 在线段 CD 上运动（点 P 不与点 C、D 重合），直角的两边分别交 l1、l2与 A、B两点 （1）操作发现 如图 1，过点 P 作直线 l3l1，作 PEl1，点 E 是垂足，过点 B 作 BFl3，点 F 是垂足 此时，小明认为PEAPFB，你同意吗？为什么？（2）猜想论证 将直角APB 从图 1 的位置开始，绕点 P 顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当 AE 满足什么条件时，以点 P、A、B 为顶点的三角形是等腰三角形？在图 2 中画出图形，证明你的猜想（3）延伸探究 在（2）的条件下，当截线 CD 与直线 l1所夹的钝角为 150时，设 CPx，试探究：是否存在实数 x，使PAB 的边 AB 的长为 4？请说明理由 11如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，F 是 CD 上一点，连接 AE、AF、EF （1）如图 1，若AEBAEF，求证：AF 平分EFD（2）如图 2，若B90，连接 BD 分别交 AF、AE 于 M、N 两点，连接 ME，若 MEAF 于 M，求证：EAF45（3）在（2）的条件下，若 BM：EF4：5，AEF 的面积为 15 时，求 AE 的长度 12如图 1，ABC 与CDE 都是等腰直角三角形，直角边 AC、CD 在同一条直线上，点M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE、BD（1）猜想：PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 （直接写出结论）（2）现将图 1 中的CDE 绕着点 C 顺时针旋转（090），得到图 2，AE 与MP、BD 分别交于点 G、H，请判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）若图 2 中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BCkAC，CDkCE，如图 3，写出 PM 与 PN 的数量关系，并加以证明 13如图 1 所示，在ABC 中，点 O 是 AC 上一点，过点 O 的直线与 AB，BC 的延长线分别相交于点 M，N【问题引入】（1）若点 O 是 AC 的中点，求的值；温馨提示：过点 A 作 MN 的平行线交 BN 的延长线于点 G【探索研究】（2）若点 O 是 AC 上任意一点（不与 A，C 重合），求证：1；【拓展应用】（3）如图 2 所示，点 P 是ABC 内任意一点，射线 AP，BP，CP 分别交 BC，AC，AB于点 D，E，F，若，求的值 14ABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，以 D 为顶点作MDNB （1）如图（1）当射线 DN 经过点 A 时，DM 交 AC 边于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE 相似的三角形（2）如图（2），将MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM，DN 分别交线段 AC，AB 于E，F 点（点 E 与点 A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（3）在图（2）中，若 ABAC10，BC12，当 SDEFSABC时，求线段 EF 的长 15（一）结论猜想 如图 1，在等腰 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 F 是 AC 边上一点（点 F 不与A、C 重合），以 CF 为一边在ABC 左侧作正方形 CFED，连接 BF、AD，BF 交 AD 于点 O，直接写出 BF 与 AD 的数量关系及所在直线的位置关系：（二）探究验证 如图 2，将（一）中的正方形 CFED 绕点 C 逆时针旋转一定角度，BF 与 AD、AC 交于点O、H，（一）中的结论是否改变？并写出理由；（三）拓展延伸 如图 3，将（二）中的等腰 RtABC 改为 RtABC，ACB90，正方形CFED 改为矩形 CFED，CF，CD2，BF 与 AD、AC 交于点 O、H，判断 BF 与 AD间的数量关系，并写出理由 16（1）问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，DPCAB90，求证：ADBCAPBP；（2）探究：如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当DPCAB时，上述结论是否依然成立？说明理由（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图 3，在ABD 中，AB6，ADBD5，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A出发，沿边 AB 向点 B 运动，且满足CPDA，设点 P 的运动时间为 t（秒），当 DC4BC 时，求 t 的值 17 善于学习的小敏查资料知道：对应角相等、对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形 她想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，于是提出如下两个问题，请你帮她解决 问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？从特殊情形入手探究假设在梯形 ABCD 中，ADBC，AB6，BC8，CD4，AD2，MN 是中位线（如图（1）所示），根据相似梯形的定义，请你说明梯形 AMND 与梯形 ABCD 是否相似 一般性结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形 （填“一定相似”、“一定不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明）问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？从特殊平行线入手探究：梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形 （填“一定相似”、“一定不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明）从特殊梯形入手探究：在梯形 ABCD 中，ADBC，AB6，BC8，CD4，AD2，你能找到与梯形底边平行的直线 PQ，点 P、Q 在梯形的两腰上（如图（2）所示），使得梯形 APQD 与梯形 PBCQ 相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由 一般性结论：对于任意梯形，一定 （填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线 PQ，使截得的两个小梯形相似若存在，则 （设 ADa，BCb，用含 a，b 的式子表示，不要求证明）18已知直线 mn，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点，CD 与直线 m、n 不垂直，点 P 为线段 CD 的中点（1）操作发现：直线 lm，分别交 m、n 于点 A、B，当点 B 与点 D 重合时（如图 1），连接 PA，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系：（2）猜想证明：在图 1 的情况下，把直线 l 向右平移到如图 2 的位置，试问（1）中的PA 与 PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）延伸探究：在图 2 的情况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得APB90（如图 3），若两平行线 m、n 之间的距离为 2k，求证：PAPBkAB 19【定义】已知 P 为ABC 所在平面内一点，连接 PA，PB，PC，在PAB，PBC 和PAC 中，若存在一个三角形与ABC 相似（全等除外），那么就称 P 为ABC 的“共相似点”，根据“共相似点”是否落在三角形的内部，边上或外部，可将其分为“内共相似点”，“边共相似点”或“外共相似点”（1）据定义可知，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）共相似点【探究 1】用边共相似点探究三角形的形状（2）如图 1，若ABC 的一个边共相似点 P 与其对角顶点 B 的连线，将ABC 分割成的两个三角形恰与原三角形均相似，试判断ABC 的形状，并说明理由【探究 2】用内共相似点探究三角形的内角关系（3）如图 2，在ABC 中，ABC，高线 CD 与角平分线 BE 交于点 P，若 P是ABC 的一个内共相似点，试说明点 E 是ABC 的边共相似点，并直接写出A 的度数【探究 3】探究直角三角形共相似点的个数（4）如图 3，在 RtABC 中，C90，A30，BC，若PBC 与ABC相似，则满足条件的 P 点共有 个，顺次连接所有满足条件的 P 点而围成的多边形的周长为 20若平面直角坐标系中的点作如下平移：沿 x 轴方向平移的数量为 a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿 y 轴方向平移的数量为 b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对a，b叫做这一平移的“平移量”规定“平移量”a，b与“平移量”c，d的加法运算法则为a，b+c，da+c，b+d（1）若动点 P 从坐标点 M（1，1）出发，按照“平移量”2，0平移到 N，再按照“平移量”1，2平移到 G，形成MNG，则点 N 的坐标为 ，点 G 的坐标为 （2）若动点 P 从坐标原点出发，先按照“平移量”m 平移到 B，再按照“平移量”n 平移到 C；最后按照“平移量”q 平移回到点 O 当OBCMNG（在（1）中的三角形）且相似比为 2：1 时，请你直接写出“平移量”m ，n ，q （3）在（1）、（2）的前提下，请你在平面直角坐标系中画出OBC 与MNG 21已知：将一副三角板（RtABC 和 RtDEF）如图摆放，点 E，A，D，B 在一条直线上，且 D 是 AB 的中点将 RtDEF 绕点 D 顺时针方向旋转角（090），在旋转过程中，直线 DE，AC 相交于点 M，直线 DF，BC 相交于点 N，分别过点 M，N作直线 AB 的垂线，垂足为 G，H（1）当 30时（如图），求证：AGDH；（2）当 60时（如图），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当 090（如图）时，求证：AGHBGDDH 参考答案 1解：感知：APD90，APB+DPC90，B90，APB+BAP90，BAPDPC，ABCD，B90，CB90，ABPPCD 探究：APCBAP+B，APCAPD+CPD，BAP+BAPD+CPD BAPD，BAPCPD BC，ABPPCD，拓展：同探究的方法得出，BDPCPE，点 P 是边 BC 的中点，BPCP3，BD4，CE，BC45，A180BC90，即 ACAB 且 ACAB6，AEACCE6，ADABBD642，在 RtADE 中，DE 故答案是：2解：（1）四边形 OABC 是矩形，CBOACBOA，B 点坐标为（8，3），M 为 BC 中点，M 点坐标为（4，3），0CAB3，CMBC4，在 RrOMC 中，C90，OM5，OMC 的周长OM+CM+CO 3+4+512，点 M 的坐标为（4，3），OMC 的周长为 12（2）如图，分情况讨论：当四边形是以OC，OM为边的平行四边形COMQ，则 MQOC，MQOC3，此时 Q 点坐标为（4，6），当四边形是以OC，CM为边的平行四边形COMQ，则 Q 点与对称轴 MN 与 x 轴的交点，此时 Q 点坐标为（4，0）；当四边形是以 OM，CM 为边的平行四边形 CMOQ，这时 Q 点不在对称轴 MN 上，不符合条件；综上所述，符合条件的点 Q 的坐标为（4，6），（4，0）（3）存在如图，由题意知MOP 不可能等于 90，分两种情况：当PMO90时，OMPMCO，OP，APOAOP，当MPO90时，OMPMOC，OPMC4，APOAOP844，综上所述，当 t 为 4s 或s 时，OMP 与MOC 相似 3解：（1）点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点 理由：A70，ADE+DEA110 DEC70，BEC+DEA110 ADEBEC AB，ADEBEC 点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点（2）点 A，B，C 的坐标分别为（6，8）、（25，0）、（19，8），OABC10，OB25，AOBCBO，设在 OB 上存在强相似点 E，当时，点 E 为强相似点，可得：E1（5，0），E2（20，0）（3）点 E 是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，AEMBCEECM，BCEECMAEM 由折叠可知：ECMDCM，ECMDCM，CECD，BCEBCD30，BECEAB 在 RtBCE 中，tanBCEtan30，故答案为：4解：（1）如图 1，设正方形的边长为 xmm，则 PNPQEDx，AEADED80 x，PNBC，APNABC，即，解得 x48 加工成的正方形零件的边长是 48mm；（2）设 PNx，矩形 PQMN 的面积为 S，由条件可得APNABC，即，解得：PQhx 则 SPNPQx（hx）x2+hx，故 S 的最大值为；故答案为：；（3）如图 2，延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EHBC 于点 H，BC，EBEC，BC100cm，且 EHBC，BHCHBC50cm，tanB，EHBH5050cm，由（2）知，矩形 PQMN 的最大面积为BCEH1250cm2，答：该矩形的面积为 1250cm2 5解：根据反射定律可以推出ACBECF，ADBGDH，ABBC，EFBC，GHBC，BACFEC、ADBGDH，设 ABx，BCy，解得：答；这棵松树的高约为 7 米 6解：EDCEBA，FHGFBA，DCHG，CA106（米），AB55（米），答：舍利塔的高度 AB 为 55 米 7（1）如图 1，过 B 作 BFOA，COA60，OCAB，BAO60，AB4，AFAB2，BFAF2，AO7，OF5，（2）当 OCOP4 时，P（4，0），（4，0）当 OCCP4 时，COP60，OCP 是等边三角形，P（4，0），当 CPOP 时，OCPCOP60，COP 是等边三角形，P（4，0），即：满足条件的点 P 的坐标为（4，0），（4，0）；（3）CPDOAB60，COACPDOAB，AOC+OCPAPD+DPC，OCPAPD，OPCADP，OPAPADOC，OP（7OP）6，OP27OP+60，OP11，OP26，P（1，0）P（6，0）8解：（1）A（3，0），C（1，0），AC4，BC43，B（1，3），设直线 AB 的解析式为 ykx+b，直线 AB 的解析式为 yx+（2）若ADB 与ABC 相似，当点 D 与 C 重合时，ADBABC，此时 D（1，0），过点 B 作 BDAB 交 x 轴于 D，ABDACB90，如图 1，此时，即 AB2ACAD ACB90，AC4，BC3，AB5，254AD，AD，ODADAO3，点 D 的坐标为（，0）即：符合条件的 D（，0）和（1，0）（3）APDQm，AQADQDm、若APQABD，如图 2，则有，APADABAQ，m5（m），解得 m、若APQADB，如图 3，则有，APABADAQ，5m（m），解得：m，当点 D 与 C 重合时，可得 m或 m 综上所述：符合要求的 m 的值为或或或 9解：（1）一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米，甲树的影长为 4.08 米，甲树的高度为：4.080.85.1（m）故答案为：5.1；（2）如图 1：设 AB 为乙树的高度，BC2.4，四边形 AECD 是平行四边形，AECD1.2 由题意得：，解得：BE3，故乙树的高度 ABAE+BE4.2 米；（3）如图 2，设 AB 为丙树的高度，EF0.2，由题意得：，DE0.25（m），则 CD0.25+0.30.55（m），四边形 AGCD 是平行四边形，AGCD0.55（m），又由题意得，所以 BG5.5（m），所以 ABAG+BG0.55+5.56.05（m），故选：C（4）如图 3：设 AB 为丁树的高度，BC2.4m，CD3.2m，四边形 AECF 是平行四边形，AECF，由题意得：，解得：BE3（m），解得 CF2.56（m），故 AECF2.56 米，故丁树的高度 ABAE+BEBE+CF5.56（米）10解：（1）如图（1），由题意，得：EPA+APF90，FPB+APF90，EPAFPB，又PEAPFB90，PEAPFB；（2）证明：如图 2，APB90，要使PAB 为等腰三角形，只能是 PAPB，当 AEBF 时，PAPB，EPAFPB，PEAPFB90，AEBF，PEAPFB，PAPB；（3）如图 2，在 RtPEC 中，CPx，PCE30，PEx，由题意，PE+BF6，BFAE，AE6x，当 AB4 时，由题意得 PA2，RtPEA 中，PE2+AE2PA2，即（x）2+（6x）28，整理得：x212x+560，0，没有实数根，不存在满足条件的实数 x 11（1）证明：如图 1 中，作 AMBC 于 M，ANEF 于 N，AHCD 于 H 四边形 ABCD 是菱形，ABCBCDAD，S菱形ABCDBCAMCDAH，AMAH，AEBAEF，AMEB，ANEF AMAN，ANAH，ANFEAHFD，FA 平分EFD （2）证明：如图 2 中，取 AE 的中点 O，连接 OB、OM 四边形 ABCD 是菱形，ABC90，四边形 ABCD 是正方形，DBC45，ABEAME90，OAOEOBOM，A、B、E、M 四点共圆，MAEEBM45（3）解：如图 3 中，如图将ADM 顺时针旋转 90得到ABK BAD90，MAN45，DAM+BAN45，DAMBAK，BAN+BAK45，NAKMAN45，ANAN，AKAM，ANKANM，MNKN，ABKADM45ABD，KBN90，KN2BN2+BK2，DMBK，MN2BN2+DM2，MANNBE，ANMBNE，AMNBENAEF，AMNEAF，AMNAEF，EFMN，BM：EF4：5，BM：MN4：5，BM：NM8：5，设 BM8k，NM5k，则 BN3k，DM4k，DFAB，2，设 MFy，则 AMME2y，AFEM15，3b2b15，b25，b0，b，AMEM2，AEAM2 12解：（1）PMPN，PMPN，理由如下：ACB 和ECD 是等腰直角三角形，ACBC，ECCD，ACBECD90 在ACE 和BCD 中，ACEBCD（SAS），AEBD，EACCBD，点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，PMBD，PNAE，PMPM，PMBD，PNAE，AEBD，NPDEAC，MPABDC，EAC+BDC90，MPA+NPC90，MPN90，即 PMPN 故答案是：PMPN，PMPN（2）ACB 和ECD 是等腰直角三角形，ACBC，ECCD，ACBECD90 ACB+BCEECD+BCE ACEBCD ACEBCD AEBD，CAECBD 又AOCBOE，CAECBD，BHOACO90 点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点，PMBD，PMBD；PNAE，PNAE PMPN MGE+BHA180 MGE90 MPN90 PMPN （3）PMkPN ACB 和ECD 是直角三角形，ACBECD90 ACB+BCEECD+BCE ACEBCD BCkAC，CDkCE，k BCDACE BDkAE 点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点，PMBD，PNAE PMkPN 13解：（1）方法一：过点 A 作 MN 的平行线交 BN 的延长线于点 G，设 NGx，则 BN3x，O 是 AC 中点，且 AGMN，ON 是ACG 中位线，CNNGx，；方法二：过点 A 作 AGMN 交 BN 延长线于点 G，GBNM，又BB，ABGMBN，11，即，同理，在ACG 和OCN 中，O 为 AC 中点，AOCO，NGCN，；（2）由（1）知，、，1；（3）在ABD 中，点 P 是 AD 上的一点，过点 P 的直线与 AC、BD 的延长线相交于点 C，由（2）得1，在ACD 中，点 P 是 AD 上一点，过点 P 的直线与 AC、CD 的延长线分别相交于点 E、B，由（2）得1，14解：（1）图（1）中与ADE 相似的有ABD，ACD，DCE 理由如下：ABAC，D 为 BC 的中点，ADBC，BC，BADCAD，又MDNB，ADEABD，同理可得：ADEACD，MDNCB，B+BAD90，ADE+EDC90，BMDN，BADEDC，BC，ABDDCE，ADEDCE，（2）BDFCEDDEF，证明：B+BDF+BFD180 EDF+BDF+CDE180，又EDFB，BFDCDE，由 ABAC，得BC，BDFCED，BDCD，又CEDF，BDFCEDDEF （3）连接 AD，过 D 点作 DGEF，DHBF，垂足分别为 G，H ABAC，D 是 BC 的中点，ADBC，BDBC6 在 RtABD 中，AD2AB2BD2，AD8，SABCBCAD12848 SDEFSABC4812 又ADBDABDH，DH4.8，BDFDEF，DFBEFD DGEF，DHBF，DHDG4.8 SDEFEFDG12，EF5 15解：（一）四边形 CDEF 是正方形，CDCF，ACDACB90，在ACD 与BCF 中，ACDBCF，BFAD，DACCBF，CBF+CFBDAC+AFO90，ADBF；故答案为：BFAD，ADBF；（二）结论不变，理由：四边形 CFED 是正方形，CFCD，DCF90，ACB90，ACB+ACFDCF+FCA，即BCFACD，在ACD 与BCG 中，ACDBCF，BFAD，DACFBC，FBC+BHC90，BHCAHO，DAC+AHO90，AOH90，BFAD；（三）ADBF，理由：四边形 CDEF 是矩形，DCF90，ACB90，ACDBCF，CF，CD2，ACDBCF，16解：（1）如图 1，DPCAB90，ADP+APD90，BPC+APD90，ADPBPC，ADPBPC，ADBCAPBP；（2）结论 ADBCAPBP 仍然成立 理由：如图 2，BPDDPC+BPC，BPDA+ADP，DPC+BPCA+ADP DPCAB，BPCADP，ADPBPC，ADBCAPBP；（3）如图 3，DC4BC，又ADBD5，DC4，BC1，由（1）、（2）的经验可知 ADBCAPBP，51t（6t），解得：t11，t25，t 的值为 1 秒或 5 秒 17解：问题一：两个梯形的腰相等，即腰的比是 1：2，而上底的比是 1：1，因而这两个梯形一定不相似；不相似，故答案为：一定不相似；问题二：不相似；故答案为：一定不相似；梯形 APQD 与梯形 PBCQ 相似，即解得：PQ4 又AP+PB6，AP2，PB4，CD4，又两梯形中对应角相等，梯形 APQD 相似于梯形 PBCQ；（3）如果梯形 APQD梯形 PBCQ，则，ADa，BCb，PQ，故答案为：不存在；18解：（1）如图 1 中，lm，BAC90 又点 P 为线段 CD 的中点，PACDPB 故答案为 PAPB（2）这时 PA 与 PB 的关系式仍然成立，证明如下：如图 2，延长 AP 交直线 n 于点 E mn，ACPPDE，CAPPED，又PCPD，PACPED（AAS）PAPE，即点 P 是 AE 的中点，又ABE90，PAPB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解法二：如图 21，把直线 l 向左平移到经过点 P 的位置，易得 AFBE mn，PCPD，PFPE AFPBE90，PAFPBE（SAS），PAPB 解法三：如图 22，把直线 l 向右平移到经过点 C 的位置，易得 ACBE CED90，PCPD，PCPE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），PCEPEC，90PCE90PEC，即ACPBEP，PACPBE（SAS），PAPB（3）解法一：如图 3，延长 AP 交直线 n 于点 E，作 AF直线 n 于点 F 由（2）得 PAPE，又APB90，BP 是线段 AE 的垂直平分，ABBE，AFEBPE90，AEFBEP，AEFBEP，AEBPAFBE，AF2k，AE2PA，BEAB，2PAPB2kAB，PAPBAB 解法二：如图 31 中，延长 AP 交直线 n 于点 E，作 PHm 于点 H，交直线 n 于点 F PHA90 mn，PCPD，HFk，PHPFk，由（2）得 PAPE APB90，即 BPAE BP 是线段 AE 的垂直平分，ABBE，AEBBAP mn，AEBHAP，BAPHAP，PHAAPB90，AHPAPB，PAPBPHAB，即 PAPBkAB 解法三：如图 32 中，延长 AP 交直线 n 于点 E，作 PHm 于点 H，交直线 n 于点 F PHA90 mn，PCPD，HF2k，PAPE，PHPFk，由（2）得 PAPE APB90，即 BPAE BP 是线段 AE 的垂直平分，ABBE，PAPE，SPABSPEB，即PAPBBEPF，PAPBkAB 19解：（1）根据“共相似点”的定义得：等边三角形不存在共相似点 故答案为：不存在；（2）ABC 是直角三角形，理由如下：根据题意得：ABPACB，ABPC，同理得：CBPA，ABCA+C180ABC，解得：ABC90，ABC 是直角三角形；（3）根据题意得：PBCCAB，PBCA，PCBABC，BE 平分ABC，ABEPBC，AABEPBC，PCBABC2A2PBC，BCEACB，PBCA，BECABC，点 E 是ABC 的边共相似点；CD 是ABC 的高，CDB90，PCB+ABC90，2A+2A90，解得：A22.5；（4）作 CPAB 于 P，则 P 为ABC 的“共相似点”；过 B 作 BC 的垂线与 CP 的延长线的交点是ABC 的“共相似点”；作ABC 的平分线与 AC 的交点 P1是ABC 的“共相似点”；过 C 作 BP1的垂线，垂足是ABC 的“共相似点”；同理：以上四个ABC 的“共相似点”关于直线 BC 的对称点是ABC 的“共相似点”；ABC 的“共相似点”共有 8 个，如图所示：根据等边三角形的性质和直角三角形的性质得：顺次连接所有满足条件的 P 点而围成的多边形的周长为 22+4+26+；故答案为：8；6+20解：（1）动点 P 从坐标点 M（1，1）出发，按照“平移量”2，0平移到 N，再按照“平移量”1，2平移到 G，形成MNG，则点 N 的坐标为（3，1），点 G 的坐标为（4，3），故答案为（3，1），（4，3）（2）OBCMNG（在（1）中的三角形）且相似比为 2：1 时，当OB1C1MNG 时，m4，0，n2，4，q6，4，当OB1C2MNG 时，m4，0，n2，4，q6，4，当OB2C3MNG 时，m4，0，n2，4，q6，4，当OB2C4MNG 时，m4，0，n2，4，q6，4，故答案为4，0或4，0或4，0或4，0；2，4或2，4或2，4或2，4；6，4或6，4或6，4或6，4（3）如图所示OB1C1，OB1C2，OB2C3，OB2C4都满足条件 21（1）证明：AMDA30，MAMD，又MGAD，AGAD，FDB90903060，B60，CDB 是等边三角形，又CHBD，DHBD，D 为 AD 的中点，ADBD，AGDH；（2）解：AGDH，理由为：在AMD 和DNB 中，AMDDNB（ASA），AMDN，又ANDH90906030，AGMDHN90，AGMDHN（AAS），AGDH；（3）证明：在 RtAGM 中，A30，AMG903060B，又AGMNHB90，AGMNHB，MGNHAGHB，GMD+GDM90，HDN+GDM90，GMDHDN，又MGDDHN90，MGDDHN，MGNHGDDH，AGHBDHGH