2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形综合解答题》专题训练(附答案).pdf

2022-2023 学年九年级数学中考复习相似三角形综合解答题专题训练（附答案）1如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接 DE，过顶点 B 作 BFDE，垂足为 F，BF 分别交 AC 于 H，交 CD 于 G（1）求证：BGDE；（2）若点 G 为 CD 的中点，求的值；（3）在（2）的条件下，求的值 2如图，在ABC 中，AC4，BC3，ACB90，D 是边 AC 上一动点（不与点 A、C 重合），CEBD，垂足为 E，交边 AB 于点 F（1）当点 D 是边 AC 中点时，求 DE，EC 的值；（2）设 CDx，AFy，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当EFD 与EFB 相似时，求线段 CD 的长 3如图ABC 中，ABAC5，BC6，射线 AD 平行于 BC，点 P、Q 分别是射线 AD 与边 AB 上的两个动点，且保持 APBQ，过点 P 作 AC 平行线分别交 AB、BC 于点 E、F（1）设 APx，AEy，试求 y 关于 x 的函数关系式；（2）当APQ 为直角三角形时，求 AP 的长；（3）联结 FQ，问：是否可能使APQ 与BQF 相似？若能请求出此时 AP 的长；若不能，请说明理由 4如图，已知在ABC 中，ACB90，BC2，AC4，点 D 在射线 BC 上，以点 D为圆心，BD 为半径画弧交边 AB 于点 E，过点 E 作 EFAB 交边 AC 于点 F，射线 ED 交射线 AC 于点 G（1）求证：EFGAEG；（2）设 FGx，EFG 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式并写出定义域；（3）联结 DF，当EFD 是等腰三角形时，请直接写出 FG 的长度 5如图，在 RtABC 中，ACB90，AC10cm，BC15cm，点 P 从 A 出发沿 AC 向C 点以 1 厘米/秒的速度匀速移动；点 Q 从 C 出发沿 CB 向 B 点以 2 厘米/秒的速度匀速移动点 P、Q 分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为 t 秒（1）当 t4 时，求线段 PQ 的长度（2）当 t 为何值时，PCQ 是等腰三角形？（3）当 t 为何值时，PCQ 的面积等于 16cm2？（4）当 t 为何值时，PCQACB 6如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，B90，点 P 在 BC 边上，当APD90 时，可知ABPPCD（不要求证明）（1）探究：如图，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当BCAPD 时，求证：ABPPCD（2）拓展：如图，在ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上若BCDPE45，BC8，CE6，则 DE 的长为 7如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO 是矩形，点 A，C 的坐标分别是A（0，2）和 C（2，0），点 D 是对角线 AC 上的一动点（不与 A，C 重合），连接 BD，作 DEDB，交 x 轴于点 E，以线段 DE，DB 为邻边作矩形 BDEF（1）填空：点 B 的坐标为 ；（2）是否存在这样的点 D，使得DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）求证：；设 ADx，矩形 BDEF 的面积为，求 x 的值（可利用的结论）8在四边形 ABCD 中，ABAD，BCCD（1）如图 1，请连接 AC，BD，求证：AC 垂直平分 BD；（2）如图 2，若BCD60，ABC90，E，F 分别为边 BC，CD 上的动点，且EAF60，AE，AF 分别与 BD 交于 G，H，求证：AGHAFE；（3）如图 3，在（2）的条件下，若 EFCD，直接写出的值 9某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：（1）如图 1，正方形 ABCD 中，EFGH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交AD，BC 于点 G，H，则 EF GH；（填“”“”或“”）（2）如图 2，矩形 ABCD 中，EFGH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，H，求证：；（3）如图 3，四边形 ABCD 中，ABCADC90，BC3，CD5，AD7.5，AMDN，点 M，N 分别在边 BC，AB 上，求的值 10已知：如图，在 RtACB 中，C90，AC3cm，BC3cm，点 P 由 B 点出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 2cm/s；点 Q 由 A 点出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为 t（s）（0t3），解答下列问题：（1）如图，连接 PC，当 t 为何值时APCACB，并说明理由；（2）如图，当点 P，Q 运动时，是否存在某一时刻 t，使得点 P 在线段 QC 的垂直平分线上，请说明理由；（3）如图，当点 P，Q 运动时，线段 BC 上是否存在一点 G，使得四边形 PQGB 为菱形？若存在，试求出 BG 长；若不存在请说明理由 11在ABC 中，D 是 BC 的中点，且 ADAC，DEBC，与 AB 相交于点 E，EC 与 AD相交于点 F，过 C 点作 CGAD，交 BA 的延长线于 G，过 A 作 BC 的平行线交 CG 于 H 点（1）若BAC90，求证：四边形 ADCH 是菱形；（2）求证：ABCFCD；（2）若 DE3，BC8，求FCD 的面积 12（1）问题解决 如图（1），AD 是等边三角形ABC 的中线，将 BC 边所在直线绕点 D 顺时针旋转 30，交边 AB 于点 M，交射线 AC 于点 N，试证明：AMNDMA；（2）问题变式 如图（2），AD 是ABC 的中线，将 BC 边所在直线绕点 D 顺时针旋转 角，交边 AB 于点 M，交射线 AC 于点 N，设 AMxAB，ANyAC（x，y0）求证：x+y2xy；（3）问题拓展 如图（3），AD 是ABC 的中线，当 G 是 AD 上任意一点时（点 G 不与 A 重合），过点 G的直线交边 AB 于 M，交射线 AC 于点 N，设 AGnAD，AMxAB，ANyAC（x，y0），试探究 x、y之间的数量关系？并说明理由 13已知 ABAC，DBDE，BACBDE （1）如图 1，60，探究线段 CE 与 AD 的数量关系，并加以证明；（2）如图 2，120，探究线段 CE 与 AD 的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，结合上面的活动经验探究线段 CE 与 AD 的数量关系为 （直接写出答案）14在平行四边形 ABCD 中，AD8，DC6，FED 的顶点在 BC 上，EF 交直线 AB 于 F点（1）如图 1，若FEDB90，BE5，求 BF 的长；（2）如图2，在AB上取点G，使BGBE，连接EG，若BFED60，求证：；（3）如图 3，若ABC90，点 C 关于 BD 的对称点为点 C，CC交 BD 于点 M，对角线 AC、BD 交于点 O，连接 OC交 AD 于点 G，求 AG 的长 15如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 BECF，连接AE、BF 交于点 P（1）如图，判断 AE 和 BF 之间的数量关系和位置关系，并证明；（2）如图，连接 AF，点 M 是 AF 中点，若 BE2，CE3，求线段 PM 的长度；（3）如图，作 CQBF 于点 Q，若QABQEC，求证：点 E 是 BC 中点 16（1）【问题发现】如图 1在 RtABC 中，ABAC，BAC90，点 D 为 BC 的中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF，点 E 与点 A 重合，易知ACFBCE，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将正方形 CDEF 绕点 C 旋转至如图 2 所示的位置，连接 BE、CE、AF、请猜想线段 BE 和 AF 的数量关系，并证明你的结论；（3）【结论运用】在（1）（2）的条件下，若ABC 的面积为 2 时，当正方形 CDEF 旋转到 B、E、F 点共线时，直接写出线段 AF 的长 17阅读下面材料：数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形 ABCD，ADBC，ABAD，E 为对角线 AC 上一点，BECBAD2DEC，探究 AB 与 BC 的数量关系 某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小柏：“通过观察和度量，发现ACBABE”；小源：“通过观察和度量，AE 和 BE 存在一定的数量关系”；小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段 AB 与 BC 的数量关系”；老师：“保留原题条件，如图 2，AC 上存在点 F，使 DFCFkAE，连接 DF 并延长交BC 于点 G，就可以求的值”（1）求证：ACBABE；（2）探究线段 AB 与 BC 的数量关系，并证明；（3）若 DFCFkAE，求的值（用含 k 的代数表示）18在 RtABC 中，ACB90，ACBC2，点 P 为边 BC 上的一动点（不与点 B、C重合），点 P 关于直线 AC、AB 的对称点分别为 M、N，联结 MN 交边 AB 于点 F，交边AC 于点 E（1）如图 1，连接 BN，当点 P 为边 BC 的中点时，求MBN 的大小及的值；（2）联结 FP，设 CPx，SMPFy，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域：（3）联结 AM，当点 P 在边 BC 上运动时，AEF 与ABM 是否一定相似？若是，请证明；若不是，请求出当AEF 与ABM 相似时 CP 的长 19阅读下列材料，并按要求解答 模型介绍 如图，C 是线段 AB 上一点，E、F 在 AB 同侧，且ABECF90，看上去像一个“K”，我们称图为“K”型图 性质探究 性质 1：如图，ACEBFC；模型应用 应用：如图，在四边形 ABCD 中，ADC90，AD1，CD2，BC2，AB5求 BD（1）请你完成性质 1 的证明过程；（2）请解答模型应用提出的问题 20定义：如图 1，ABC 是等腰三角形，ABAC，点 P 为ABC 内一点，若ABPPCB（或PBCACP），则称点 P 为等腰ABC 的底角准卡点 （1）如图 2，ABC 中，若BAC90，ABAC，连接 AP，BPA90（）若 P 是底角准卡点求证：BPCCPA；（）若 AP：BP1：2，求证：点 P 是底角准卡点（2）如图 3，点 P 是等腰ABC 底角准卡点，ABAC过点 A 作 ADBC 交 BP 延长线于点 D，连接 CD，M 是 BC 的中点，连接 PM求证：BPMADC 参考答案 1（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，BCD90，BCCD，BFDF，BFD90BCD，CBGCDE，在BCG 和DCE 中，BCGDCE（ASA），BGDE；（2）四边形 ABCD 是正方形，ABCD，ABCD，点 G 是 CD 中点，ABCD2CG，ABCD，CHGAHB，；（3）设 CGDGa，则 BC2a，BGa，BCGDFG90，BGCDGF，BCGDFG，GFa，由（2）知，HGBGa，2解：（1）如图 1，AC4，D 是 AC 的中点，DCAC2，ACB90，BC3，BD，BDCF，SBCDCDBCBDCE，23CE，CE，由勾股定理得：DE；（2）如图 2，过 F 作 FNAC 于 N，由勾股定理得：AB5，FNBC，ANFACB，FN，同理 AN，NCFCBD，FNCDCB90，FNCDCB，y（0 x4）；（3）DEFBEF90 EFD 与EFB 相似，要分两种情况：当DEFBEF 时，如图 3，FDEFBE，BFDF，DEBECE，BDCDBC45，DCBC3，当DEFFEB 时，如图 4，FDEBFE，DFEFBE，FDE+DFE90，DFB90，DFAACB90，AA，AFDACB，5y164x，由（2）知：y，由得：，2x2+9x180，（2x3）（x+6）0，x1，x26（舍），CD，综上所述，当EFD 与EFB 相似时，线段 CD 的长是或 3 3解：（1）ACPF，APCF，四边形 ACFP 是平行四边形，APCFx，BF6x，AEy，AB5，BE5y，APBF，yx（2）作 AHBC 于 H ACAB，AHCB，CHBH3，AH4，cosB，当APQ90时，APBC，PAQB，cosPAQcosB，解得 x 当AQP90，易知 cosPAQ，解得 x，综上所述，当APQ 为直角三角形时，AP 的长为或（3）连接 FQ APBC，PAQFBQ，当，APQ 与BQF 相似，方程无解，此种情形不存在 当，APQ 与BQF 相似，解得 x，当 PA时，APQ 与BQF 相似 4（1）证明：EDBD，B2，ACB90，B+A90 EFAB，BEF90，1+290，A1，EGFAGE，EFGAEG；（2）解：作 EHAF 于点 H，如图 1，在 RtABC 中，AB2，EFGAEG，EAFCAB，RtAEFRtACB，即，EG2x，AG4x，AFAGFG3x，EFx，AEx，EHBC，即，EHx，AHx，yFGEHxxx2（0 x），（3）解：CGAGAC4x4，GHAGAH4xxx，当 EDEFx 时，如图 1，则 BDDEx，DC2x，CDEH，GCDGHE，即（2x）：x（4x4）：x，解得 x；当 DEDF 时，如图 2，作 DMEF 于 M，则 EMEFx，DEMA，DEMBAC，即，解得 DEx，BDDEx，CD2x，CDEH，GCDGHE，即（2x）：x（4x4）：x，解得 x；当 FEFD 时，如图 3，作 FNEG 于 N，则 ENDN，NEFA，NEFCAB，即，解得 ENx，DE2ENx，BDDEx，CD2x，CDEH，GCDGHE，即（2x）：x（4x4）：x，解得 x；综上所述，FG 的长为或或 5解：（1）当 t4 时，由运动知，AP4cm，PCACAP6cm、CQ248cm，PQ10cm；（2）由运动知，APt，PCACAP10t、CQ2t，PCQ 是等腰三角形，PCCQ，10t2t，t；（3）由运动知，APt，PCACAP10t、CQ2t，SPQCPCCQt（10t）16，t12，t28，当 t8 时，CQ2t1615，舍去，当 t2 时，PQC 的面积等于 16cm2；（4）由运动知，APt，PCACAP10t、CQ2t，PCQACB，AC10，BC15，t 6解：APD90，APB+DPC90，B90，APB+BAP90，BAPDPC，ABCD，B90，CB90，ABPDCP（1）探究：APCBAP+B，APCAPD+CPD，BAP+BAPD+CPD BAPD，BAPCPD BC，ABPPCD，（2）拓展：同探究的方法得出，BDPCPE，点 P 是边 BC 的中点，BPCP4 CE6，BD，BC45，A180BC90，即 ACBC 且 ACBC8，ADABBD8，AEACCE2，在 RtADE 中，DE 故答案是：7解：（1）四边形 AOCB 是矩形，BCOA2，OCAB2，BCOBAO90，B（2，2）故答案为：（2，2）（2）存在理由如下：如图 1，连接 BE，取 BE 的中点 K，连接 DK、KC BDEBCE90，KDKBKEKC，B、D、E、C 四点共圆，DBEDCE，EDCEBC，tanACO，ACO30，ACB60 如图 1 中，当 E 在线段 CO 上时，DEC 是等腰三角形，观察图象可知，只有 EDEC，DBEDCEEDCEBC30，DBCBCD60，DBC 是等边三角形，DCBC2，在 RtAOC 中，ACO30，OA2，AC2AO4，ADACCD422，当 AD2 时，DEC 是等腰三角形 如图 2 中，当 E 在 OC 的延长线上时，DCE 是等腰三角形，只有 CDCE，DBCDECCDE15，ABDADB75，ABAD2，综上所述，满足条件的 AD 的值为 2 或 2（3）证明：由（2）可知，当 E 在线段 CO 上或在 OC 的延长线上时，B、D、E、C四点共圆，DBEDCO30，tanDBE，如图 2 中，作 DHAB 于 H 在 RtADH 中，ADx（0 x4），DAHACO30，DHADx，AHx，BH2x，在 RtBDH 中，BD，DEBD，矩形 BDEF 的面积为2（x26x+12），当矩形 BDEF 的面积为时，有（x26x+12），解得 x12，x24（不合题意），x 的值为 2 8（1）证明：如图 1 中，连接 BD、AC ABAD，点 A 在线段 BD 的垂直平分线上，CBCD，点 C 在线段 BD 的垂直平分线上，AC 是线段 BD 的垂直平分线，即 AC 垂直平分线段 BD（2）如图 2 中，将ABE 绕点 A 逆时针旋转 120得到ADM连接 AC 交 BD 于 O B、D 关于 AC 对称，ABCADC90，BCD60，BAD120，EAF60，BAE+DAFDAF+DAM60，FAEFAM，ADMABE90ADF，F、D、M 共线，FAFA，AEAM，FAEFAM，AFEAFM，CADCAB60EAF，GAODAF，AGO+GAO90，AFD+FAD90，AGOADF，AGHAFE，GAHFAE，AGHAFE（3）解：如图 3 中，连接 AC 交 BD 于 O，作 HMAD 于 M EFCD，EFD90，由（2）可知AFDAFEAGO45，ADF90，ADDF，设 HMAMa，则 DH2a，DMa，在 RtACD 中，ACD30，AD（1+）a，CDBDAD（3+）a，在 RtAOD 中，ADO30，AD（1+）a，AOOGADa，ODOAa，OHODDHa2aa，GHOG+OHa，9解：（1）如图 1 中，过点 A 作 APGH，交 BC 于 P，过点 B 作 BQEF，交 CD 于 Q，交 BQ 于 T 四边形 ABCD 是正方形，ABDC，ADBCABBC，ABPC90 四边形 AGHP、四边形 BEFQ 都是平行四边形，APGH，EFBQ 又GHEF，APBQ，PBT+ABT90，ABT+BAT90，CBQBAT，在ABP 和BCQ 中，ABPBCQ，APBQ，EFGH，故答案为（2）过点 A 作 APEF，交 CD 于 P，过点 B 作 BQGH，交 AD 于 Q，如图 2，四边形 ABCD 是矩形，ABDC，ADBC 四边形 AEFP、四边形 BHGQ 都是平行四边形，APEF，GHBQ 又GHEF，APBQ，QAT+AQT90 四边形 ABCD 是矩形，DABD90，DAP+DPA90，AQTDPA PDAQAB，；（3）过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 平行于 BC 的直线于 R，交 BC 的延长线于 S，如图 3，则四边形 ABSR 是平行四边形 ABC90，ABSR 是矩形，RS90，RSAB，ARBS AMDN，由（1）中的结论可得，设 SCx，则 ARBS3+x，ADCRS90，ADR+RAD90，ADR+SDC90，RADCDS，ARDDSC，DRx，DS（x+3），在 RtARD 中，AD2AR2+DR2，7.52（x+3）2+（x）2，整理得 13x2+24x1890，解得 x3 或，AR6，ABRS，10解：（1）在 RtACB 中，C90，AC3cm，BC3cm，AB6，由运动知，BP2t，AQt，AP62t，APCACB，t；（2）存在，理由：如图，由运动知，BP2t，AQt，AP62t，CQ3t，点 P 是 CQ 的垂直平分线上，QMCMCQ（3t）（3t），AMAQ+QMt+（3t）（t+3）过点 P 作 PMAC，ACB90，PMBC，t1（3）不存在，理由：由运动知，BP2t，AQt，AP62t，假设线段 BC 上是存在一点 G，使得四边形 PQGB 为平行四边形，PQBG，PQBG，APQABC，t，PQ，BP2t3，PQBP，平行四边形 PQGB 不可能是菱形 即：线段 BC 上不存在一点 G，使得四边形 PQGB 为菱形 11（1）证明：CGAD，AHCD，四边形 ADCH 是平行四边形 BAC90，D 是 BC 的中点，ADCD，四边形 ADCH 是菱形；（2）解：ADAC，ADCACD，D 是 BC 的中点，DEBC，BECE，BFCD，ABCFCD；（3）解：过 A 作 AMCD，垂足为 M ADAC，DMCM，BD：BM2：3，EDBC，EDAM，BDEBMA，ED：AMBD：BM2：3，DE3，AM4.5，ABCFCD，BC2CD，（）2 SABCBCAM84.518，SFCDSABC 12证明：（1）如图 1，ABC 是等边三角形，AD 是等边三角形ABC 的中线，MAD30，ACD60，将 BC 边所在直线绕点 D 顺时针旋转 30，CDN30，DCN120，ANM30，AMDNMA，AMNDMA；（2）如图 2，作 CFAB 交 MN 于点 F，CFNAMN，AD 是ABC 的中线，BDCD，CFAB，DBMDCF，DMBDFC，在CFD 和BMD 中，CFDBMD（AAS），BMCF，即，x+y2xy；（3）x、y之间的数量关系为：nx+ny2xy 理由如下：如图 3，过点 D 作 MN的平行线，交直线 AB 于点 M，交直线 AC 于点 N，则，设 AMxAB，ANyAC，n，即 x，y，由（2）知 x+y2xy；+即 nx+ny2xy 13（1）CEAD，理由为：证明：连接 BC，BE，如图 1 所示，ABAC，DBDE，BACBDE60，ABC 与BDE 都为等边三角形，ABCDBE60，ABBC，DBBE，ABCDBCDBEDBC，即ABDCBE，在ABD 与CBE 中，ABDCBE（SAS），CEAD；（2）CEAD，理由为：连接 BC、BE，过点 A 作 AFBC，垂足为点 F，如图 2 所示，ABAC，DBDE，BACBDE120，ABC 与DBE 为相似的等腰三角形，即ABCDBE30，ABCDBCDBEDBC，即ABDCBE，且，ABDCBE，在 RtABF 中，由ABF30，得到BAF60，2sin60，即 CEAD；（3）CE2ADsin理由为：连接 BC、BE，过点 A 作 AFBC，垂足为点 F，如图 3 所示，ABAC，DBDE，BACBDE，ABC 与DBE 为相似的等腰三角形，即ABCDBE90，ABCDBCDBEDBC，即ABDCBE，且，ABDCBE，在 RtABF 中，由ABF90，得到BAF，2sin，2sin，即 CE2ADsin 故答案为：CE2ADsin 14（1）解：如图 1 中，四边形 ABCD 是矩形，BC90，ADBC8，BE5，ECBCBE853，DEF90，FEB+DEC90，DEC+EDC90，BEFEDC，EBFDCE，BF（2）证明：如图 2，在 AB 上取点 G，使 BGBE，连接 EG，则BEG 为等边三角形，BGEBEG60，EGF180BGE120 四边形 ABCD 为平行四边形，B60，C120EGF，CED+CDE60 DEF60，BEG60，GEF+CED180606060，CDEGEF，CDEGEF，BEGE，（3）解：如图 3 中，由题意得，BD 为线段 CC的垂直平分线，设 CC与 BD 交点为 M，ABC90，平行四边形 ABCD 为矩形，BD10，OCACBD5，CM，OM，点 O 为 AC 的中点，点 M 为 CC的中点，AC2OM，且 ACBD，AGCDGO，AGAD 15解：（1）AEBF，AEBF，证明：四边形 ABCD 是正方形，ABBC，ABCBCD90，BECF，ABEBCF（SAS），AEBF，BAECBF，ABP+CBF90 BAE+ABP90 APB90，AEBF；（2）四边形 ABCD 是正方形，BCDCAD，由（1）知，AEBF，BE2，CE3，BECF，DFDCCFBCBECE3，ADBCBE+CE2+35，在 RtADF 中，由勾股定理得，AF，在 RtAPF 中，APF90，点 M 是 AF 中点，；（3）CQBF，BQCBCF90，又CBQFBC，CBQFBC，ABBC，BECF，QABQEC，BECE，点 E 是 BC 中点 16解：（1）BEAF，理由是：在 RtABC 中，ABAC，根据勾股定理得，BCAB，又点 D 为 BC 的中点，ADBC，ABAD，四边形 CDEF 是正方形，AFEFAD，ABAF，即 BEAF，故答案为：BEAF；（2）BEAF 证明：在 RtABC 中，ABAC，ABCACB45，sinABC，在正方形 CDEF 中，FECFED45，在 RtCEF 中，sinFEC，FCEACB45，FCEACEACBACE，FCAECB，ACFBCE，BEAF；（3）SABC2，AB2，分两种情况：当点 E 在线段 BF 上时，如图 2，由（1）知，CFEFCD，在 RtBCF 中，CF，BC2，根据勾股定理得，BF，BEBFEF，由（2）知，BEAF，AF1，当点 E 在线段 BF 的延长线上时，如图 3，在 RtABC 中，ABAC2，ABCACB45，sinABC，在正方形 CDEF 中，FECFED45，在 RtCEF 中，sinFEC，FCEACB45，FCB+ACBFCB+FCE，FCAECB，ACFBCE，BEAF，在 RtBCF 中，CF，BC2，根据勾股定理得，BF，BEBF+EF，BEAF，AF+1 即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点在同一直线上时，线段AF的长为 1或 17（1）证明：BECBAD，BADBAE+DAE，BECABE+BAE，DAEABE，ADBC，DAEACB，ACBABE；（2）解：BC2AB，理由如下：证明：在 BE 上取点 H，使 BHAE，ABAD，HBAEAD，BHAE，ABHDAE（SAS），AHBAED，AHB+AHE180，AED+DEC180，AHEDEC，BEC2DEC，BEC2AHE，BECAEH+AHE，AEHAHE，AEEH，AEEHBH，BE2AE，ABEACB，BAECAB，ABEACB，BC2AB；（3）解：如图 2，连接 BD 交 AC 于点 Q，过点 A 作 AKBD 于点 K，ADAB，DKBD，AKD90，ADABBC，ADBC，ADKCBD，ADKCBD，BDCDKA90，DFFC，FDCFCD，BDC90，FDC+QDF90，DQF+FCD90，QDFDQF，DFFQ，设 AEa，则 DFCFQFka，ADBC，DAQBCQ，AQCQCFQFka，AC3ka，ABEACB，ABa，同理：AFDCFG，2，FGDFka，18解：（1）如图（1），连接 BN，点 P 为边 BC 的中点，CPBPBC1，点 P 与点 M 关于 AC 对称，CMCP1 ACB90，ACBC2，BACABC45，点 P 与点 N 关于 AB 对称，BPBN1，ABNABC45，MBN90，BMCM+BC3；（2）如图（2），过点 F 作 FGBC，设 PGm，BGBPPG2xm，MGMP+PG2x+m，在 RtBFG 中，FBG45，FGBG2xm，在 RtFMG 中，tanM，在 RtMNB 中，tanM，m，FG2x ySMPFMPFG2x2x（0 x2）；（3）AEFBAM，理由：如图（3），连接 AM，AP，AN，BN，点 P 关于直线 AC、AB 的对称点分别为 M、N，AMAPANMACPAC，PABNAB，BACPAC+PAB45，MANMAC+PAC+BAP+NAB2（PAC+PAB）90，AMN45ABC，AFEABC+BMF，AMBAMN+BMF，AFEAMB，EAFABM45，AEFBAM 19（1）证明：如图中，ABECF90，ACE+BCF90，F+BCF90，ACEF，ACEBFC；（2）解：如图中，连接 AC，作 BHDC 交 DC 的延长线与 H 在 RtADC 中，ADC90，AD1，CD2，AC，AC2+BC25+2025，AB25225，AC2+BC2AB2，ACB90，ADCACBCHB90，符合“K”型图，ACDCBH，CH2，BH4，DH4，在 RtBDH 中，BD4 20证明：（1）（）点 P 是底角准卡点，ABPBCP，PBCACP，BAC90，BAP+CAP90BAP+ABP，ABPPAC，PACPBC，BPCCPA；（）如图，AP：BP1：2，设 ABa，BP2a，ABa，ABACa，BCa，ABPPAC，sinABPsinPAC，PEa，AEa，ECa，tanACP，SABCABACAPBP+ACPE+BCPF，aaa2a+aa+aPF，PFa，BFa，tanPBF，tanACPtanPBF，ACPPBF，点 P 是底角准卡点；（2）如图 2，延长 PM 至 E，使 PMME，连接 CE，点 M 是 BC 的中点，BMCM，又PMME，BMPCME，BPMCEM（SAS），BPCE，BPME，PBCBCE，PBCACP，ACPBCE，ACBPCE，ADBC，ADBDBC，DACACBPCE，又ABDBCP，ADBPBC，ADCCEP，ADCE，BPMADC，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF；（2）如图 2，（1）中的结论仍然成立，即 EFBE+DF 理由：延长 FD 到点 G使 DGBE连接 AG，在ABE 和ADG 中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAFBAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF 和AGF 中，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF；（3）如图 3，连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C，AOB30+90+（9070）140，EOF70，EOFAOB，OAOB，OAC+OBC（9030）+（70+50）180，符合探索延伸中的条件，结论 EFAE+BF 成立，即 EF1.5（60+80）210（海里）此时两舰艇之间的距离为 210 海里（4）能力提高 如图 4，作 CDBC，使 CDBM，连接 AD，DN，ABC 是等腰直角三角形，ABAC，BAC90，ABMBCA45，ACDBCDBCA904545，ABMACD，在ABM 和ACD 中，ABMACD（SAS），AMAD，CADBAM，DANCAD+CANBAM+CAN90MAN45，在MAN 和DAN 中，MANDAN（SAS），MNDN，在 RtCDN 中，DN，MN