2022-2023学年九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》选择题专题提升训练(附答案).pdf

2022-2023 学年九年级数学中考复习 轴对称最短路径问题 选择题专题提升训练（附答案）1如图，在锐角三角形 ABC 中 AB5，ABC 的面积 15，BD 平分ABC，若 M、N 分别是 BD、BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值为（）A3 B4 C5 D6 2如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 6，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交边 AC、AB 于点 E，F，若 D 为 BC 边的中点，M 为线段 EF 上一动点，若三角形 CDM 的周长的最小值为 13，则等腰三角形 ABC 的面积为（）A78 B39 C42 D30 3如图，在四边形 ABCD 中，ABC60，BD 平分ABC，BCDCBD，BC24，P，Q 分别是 BD，BC 上的动点，当 CP+PQ 取得最小值时，BQ 的长是（）A8 B10 C12 D16 4 如图，等边三角形 ABC 的边长为 2，A、B、A1三点在一条直线上，且ABCA1BC1 若D 为线段 BC1上一动点，则 AD+CD 的最小值是（）A3 B4 C5 D6 5如图，在ABC 中，ABAC，AD12，D 是 BC 的中点，EF 垂直平分 AB，交 AB 于点E，交 AC 于点 F，在 EF 上确定一点 P，使 PB+PD 最小，则这个最小值为（）A10 B11 C12 D13 6如图，在四边形 ABCD 中，AC90，B，在 AB、BC 上分别找一点 E、F，使DEF 的周长最小此时，EDF（）A B90 C D1802 7如图，AOB30，M，N 分别是边 OA，OB 上的定点，P，Q 分别是边 OB，OA 上的动点，记OPM，OQN，当 MP+PQ+QN 最小时，则关于，的数量关系正确的是（）A60 B+210 C230 D+2240 8如图，高速公路的同一侧有 A，B 两城镇，它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为AC2km，BD4km，CD8km要在高速公路上 C，D 之间建一个出口 P，使 A，B 两城镇到 P 的距离之和最小，则这个最短距离为（）A8km B10km C12km D14km 9现需要在某条街道 l 上修建一个核酸检测点 P，向居住在 A，B 小区的居民提供核酸检测服务，要使 P 到 A，B 的距离之和最短，则核酸检测点 P 符合题意的是（）ABCD 10如图，在平面直角坐标系中，RtAOB 的直角顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，点C为线段OA上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）A3 B C2 D 11如图，AOB30，点 P 是AOB 内的一个定点，OP12cm，点 C、D 分别是 OA、OB 上的动点，连接 CP、DP、CD，则CPD 周长的最小值为（）A10cm B12cm C15cm D24cm 12如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，Q 是线段 CD 上的一点，其中 DQ2CQ，点 P是对角线 BD 上的任意一点，过点 P 作 PEAB 于点 E，作 PFAD 于点 F，则 PQ+EF的最小值为（）A2 B2 C+3 D 13如图，在等边PQB 中，点 A 为 PQ 上一动点（不与 P，Q 重合），再以 AB 为边作等边ABC，连接 PC有以下结论：PB 平分ABC；AQCP；PCQB；PBPA+PC；当 BCBQ 时，ABC 的周长最小其中一定正确的有（）A B C D 14如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC8，点 E、F 分别是边 BC、CD 上的动点，且 EF4，点 M 是 EF 的中点，点 Q 是 AB 的中点，连接 PQ、PM，则 PQ+PM 的最小值为（）A10 B C8 D 15如图，过边长为 2 的等边三角形 ABC 的顶点 C 作直线 lBC，然后作ABC 关于直线l 对称的ABC，P 为线段 AC 上一动点，连接 AP，PB，则 AP+PB 的最小值是（）A4 B3 C2 D1 16如图，A（2，3）、B（3，2）是平面直角坐标系中的两点，在 x 轴上有一点 C 能使AC 与 BC 的长度之和最小，则点 C 的坐标为（）A（2，0）B（1，0）C（1，0）D（0，0）17如图，菱形 ABCD 的边长为 4，DAB60，E 为 BC 的中点，在对角线 AC 上存在一点 P，使PBE 的周长最小，则 PB+PE 的最小值为（）A2 B C4 D2 18如图，在 RtABC 中，A90，M 为 BC 的中点，H 为 AB 上一点，过点 C 作 CGAB，交HM的延长线于点G，若AC10，AB8，则四边形ACGH周长的最小值是（）A28 B26 C22 D18 19如图，正方形 ABCD 的面积为 16，点 E 为正方形内一点，且ABE 为等边三角形，点P 为正方形对角线 AC 上的点，则 PD+PE 的最小值为（）A3 B4 C5 D6 20 如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC8，点 E 为 CD 中点，P、Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ2，当四边形 APQE 周长最小时，BP 的长为（）A1 B2 C2 D4 参考答案 1 解：过 C 作 CEAB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M作 MNBC 于 N，如图：BD 平分ABC，MEAB 于点 E，MNBC 于 N，MNME，CECM+MECM+MN是 CM+MN 最小值，此时 M 与 M重合，N 与 N重合，三角形 ABC 的面积为 15，AB5，5CE15，CE6 即 CM+MN 的最小值为 6 故选：D 2解：连接 AD、AM，等腰三角形 ABC 的底边为 BC，ABAC，D 为 BC 边的中点，且 BC6，CDBDBC63，ADBC，EF 垂直平分 AC，点 M 在 EF 上，CMAM，CM+DM+CDAM+DM+3，AM+DMAD，AM+DM+313，AM+DM 的最小值为 10，AD10，等腰三角形 ABC 的面积为61030，故选：D 3解：如图，作点 Q 关于 BD 的对称点 H，则 PQPH，BHBQ CP+PQCP+PH，当 C、H、P 三点在同一直线上，且 CHAB 时，CP+PQCH 为最短 ABC60，BCH30，BHBC2412，BQ12 故选：C 4解：连接 CA1交 BC1于点 E，直线 lAB，且ABC 与A1BC1关于直线 l 对称，A，B，A1共线，ABCA1BC160，CBC160，C1BA1C1BC，BA1BC，BDCA1，CDDA1，C，A1关于直线 BC1对称，当点 D 与 B 重合时，AD+CD 的值最小，最小值为线段 AA1的长4，故选：B 5解：EF 垂直平分 AB，PAPB，PB+PDPA+PD，当 A，P，D 在同一直线上时，PB+PDPA+PDAD，即 AD 的长度PB+PD 的最小值，PB+PD 的最小值为 12，故选：C 6解：如图，作点 D 关于 BA 的对称点 P，点 D 关于 BC 的对称点 Q，连接 PQ，交 AB 于E，交 BC 于 F，则点 E，F 即为所求 四边形 ABCD 中，AC90，B，ADC180，由轴对称知，ADEP，CDFQ，在PDQ 中，P+Q180ADC 180（180），ADE+CDFP+Q，EDFADC（ADE+CDF）180 1802，故选：D 7解：如图，作 M 关于 OB 的对称点 M，N 关于 OA 的对称点 N，连接 MN交 OA于 Q，交 OB 于 P，则 MP+PQ+QN 最小，易知OPMOPMNPQ，OQPAQNAQN，OQN18030ONQ，OPMNPQ30+OQP，OQPAQN30+ONQ，+18030ONQ+30+30+ONQ210 故选：B 8解：如图所示：作 A 点关于直线 MN 的对称点 A，再连接 AB，交直线 MN 于点 P.则此时 AP+PB 最小，过点 B 作 BDCA 延长线于点 E，AC2km，BD4km，CD8km，AA4km，则 AE6km，在 RtAEB 中，CB10（km），则 AP+PB 的最小值为：10km 故选：B 9解：作 A 点关于直线 l 的对称点，连接对称点和点 B 交 l 于点 P，P 即为所求 故选：A 10解：作点 A 关于直线 OB 的对称点 A，作 AC，AC，ACx 轴交 OB 于 P，连接PA，则 PAPA，PA+PCPA+PCAC，即 PA+PC 的值最小，最小值为线段 AC 的长 B 的坐标为，OA2，AB2，OB4，AOB30，OBC60，AAAB30，由对称可知，APAP，PAAA30，PBA60，PAC30，APAPAB2，PC1，ACPC+AP1+23 即 PA+PC 的值最小值为 3 故选：A 11解：如图，作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P、P，连接 PP，由轴对称确定最短路线问题，PP分别与 OA、OB 的交点即为 C、D，CPD 周长的最小值PP，由轴对称的性质，POAPOA，POBPOB，OPOPOP12cm，所以，POP2AOB23060，所以，OPP是等边三角形，PPOP12cm 故选：B 12解：连结 AP、AQ，四边形 ABCD 是边长为 6 正方形，ADCD6，ADQEAF90，DQ2CQ，DQCD64，AQ2，PEAB 于点 E，PFAD 于点 F，PEAPFA90，四边形 AEPF 是矩形，APEF，PQ+APAQ，PQ+EF2，PQ+EF 的最小值为 2，故选：B 13解：点 A 为 PQ 上一动点（不与 P，Q 重合），ABC60，ABP 与PCQ 不一定相等，故不正确；PQB 和ABC 都为等边三角形，PQQBPB，ABCBAC，QQBPABC60，QBA+ABPPBC+ABP60，QBAPBC，QBAPBC（SAS），AQPC，QBPCQBP60，PCQB，PBPQPA+AQPA+PC，都正确，根据垂线段最短可知，当 BAPQ 时，AB 最小，当 BCBQ 时，ABC 的周长最小，故正确 故选：D 14解：作点 A 关于 AD 的对称点 N，N，连接 MN，交 AD 于点 P，则 PNPQ PQ+PMPN+PM，当 M、P、N 在同一直线上时，PN+PMMN 最小，此时 PQ+PM 最小 EF4，C90，点 M 是 EF 的中点，CMEF2，点 M 在以点 C 为圆心，以 2 为半径的圆弧上运动，圆外一点 N 到圆上一点 M 距离的最小值为 CNMN，在矩形 ABCD 中，AB4，BC8，点 Q 是 AB 的中点，BN4+26，CN10，MNCNCM1028 即 PQ+PM 的最小值为 8 故选 C 15解：如图，连接 BP，ABC 与ABC 关于直线 l 对称，ABCABC，ABAB2，ACB60，ACP180ACBACB60，在BCP 和ACP 中，BCAC2，BCPACP60，CPCP，BCPACP（SAS），BPAP，AP+PBBP+PB，由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知，当点 P 与点 C 重合，即点 B，P，B共线时，BP+PB 取得最小值，最小值为 BBBC+BC2+24，即 AP+PB 的最小值为 4 故选：A 16解：作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB 交 x 轴于点 C，此时 AC+BC 最小，如图所示 点 A 的坐标为（2，3），点 A的坐标为（2，3）设直线 AB 的解析式为 ykx+b（k0），将 A（2，3），B（3，2）代入 ykx+b 得，解得，直线 AB 的解析式为 yx1 当 y0 时，x10，解得：x1，当 AC+BC 最小时，点 C 的坐标为（1，0）故选：C 17解：连接 BD，交 AC 于 O，连接 DE 交 AC 于 P，由菱形的对角线互相垂直平分，可得 B、D 关于 AC 对称，则 PDPB，PE+PBPE+PDDE，即 DE 就是 PE+PB 的最小值 四边形 ABCD 是菱形，DCBDAB60，DCBC4，DCB 是等边三角形，BECE2，DECB（等腰三角形三线合一的性质）在 RtCDE 中，DE2 即 PB+PE 的最小值为 2 故选：D 18解：CGAB，BMCG，M 是 BC 的中点，BMCM，在BMH 和CMG 中，BMHCMG（ASA），HMGM，BHCG，AC10，AB8，四边形 ACGH 的周长AC+CG+AH+GHAB+AC+GH18+GH，当 GH 最小时，即 MHAB 时四边形 ACGH 的周长有最小值，A90，MHAB，GHAC，四边形 ACGH 为矩形，GH10，四边形 ACGH 的周长最小值为 18+1028，故选：A 19解：设 BE 与 AC 交于点 P，连接 BD 点 B 与 D 关于 AC 对称，PDPB，PD+PEPB+PEBE 最小 正方形 ABCD 的面积为 16，AB4，又ABE 是等边三角形，BEAB4 故选：B 20解：如图，在 AD 上截取线段 AFPQ2，作 F 点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与BC 交于一点即为 Q 点，过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为 P 点，过 G 点作 BC的平行线交 DC 的延长线于 H 点 GHDF6，EH2+46，H90，GEH45，CEQ45，设 BPx，则 CQBCBPPQ8x26x，在CQE 中，QCE90，CEQ45，CQEC，6x2，解得 x4 故选：D