2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用—仰角俯角问题》解答题专题提升训练(附答案).pdf

2022-2023 学年九年级数学中考复习解直角三角形的应用仰角俯角问题 解答题专题提升训练（附答案）1课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度如图，在距离旗杆 15 米的 A处用测角仪（离地高度为 1.6 米）测得旗杆顶端的仰角为 43，求旗杆 CD 的高度（结果精确到 0.1）（参考值：sin430.688，cos430.718，tan430.947）2如图，斜坡 OM 的坡角MON30，在坡面 B 处有一棵树 BA，小彭在坡底 O 处测得树梢 A 的仰角为 45，沿坡面 OM 上行 30 米到达 D 处，测得ADB30（1）求 DA 的长；（2）求树 BA 的高度（结果保留根号）3定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动 他们利用无人机在点 P 处测得定都阁顶端 A 的俯角 为 45，定都阁底端 B 的俯角 为 60，此时无人机到地面的垂直距离 PC 为米，求定都阁的高 AB（结果保留根号）4某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥如图，该河旁有一座小山，山高 BC80m，坡面 AB 的坡度 i1：0.7（注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点 C、A 与河岸 E、F 在同一水平线上，从山顶 B 处测得河岸 E 和对岸 F 的俯角分别为DBE45，DBF26.7（1）求山脚 A 到河岸 E 的距离；（2）若在此处建桥，试求河宽 EF 的长度（参考数据：sin26.70.45，cos26.70.89，tan26.70.50）5如图，为测量太阳能路灯电池板离地面的高度，在点 A 处安置测倾器，已知测倾器的高度为 1.6 米，测得点 M 的仰角MBC30，在与点 A 相距 3.5 米的点 D 处用测倾器测得点 M 的仰角MEC45（点 A，D，N 在一条直线上），求电池板离地面的高度 MN（结果精确到 0.1 米参考数据：1.41，1.73）6 数学兴趣小组测量建筑物 AB 的高度 如图，在建筑物 AB 前方搭建高台 CD 进行测量 高台 CD 到 AB 的距离 BC 为 6 米，在高台顶端 D 处测得点 A 的仰角为 40，测得点 B 的俯角为 30（1）填空：ADB ；（2）求建筑物 AB 的高度（结果保留整数）（参考数据：sin400.64，cos400.77，tan400.84，1.73）7 如图是某景区的观光扶梯建设示意图 起初工程师计划修建一段坡度为 3：2 的扶梯 AB，扶梯总长为米 但这样坡度太陡，扶梯太长容易引发安全事故 工程师修改方案：修建 AC、DE 两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯 AC 和平台 CD 形成的ACD为 135，从 E 点看 D 点的仰角为 30，AC 段扶梯长 20 米（参考数据：，）（1）求点 A 到 BE 的距离（2）DE 段扶梯长度约为多少米？（结果保留 1 位小数）8如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 34m，从甲建筑物的顶部 A 处测得乙建筑物的顶部 D 处的俯角为 48，测得乙建筑物的底部 C 处的俯角为 58，求乙建筑物的高度 CD（结果精确到 0.1m参考数据：sin480.74，cos480.67，tan481.11，sin580.85，cos580.53，tan581.60）9如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点 B 处的求救者后，又发现点 B 正上方点 C 处还有一名求救者，在消防车上点 A 处测得点 B 和点 C 的仰角分别为 45和 65，点 A 距地面 2.5 米，点 B 距地面 10.5 米，为救出点 C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度 BC 约为多少米？结果保留整数，参考数据：tan652.1，sin650.9，cos650.4，1.4）10太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯如图，某种型号太阳能路灯的支架 CD 与灯柱 AB 的夹角BCD60，支架 CD3 米，小明同学在距灯柱 10 米的E 处，用测角仪测得路灯 D 的仰角为 48，已知测角仪 EF 的高度为 1.2 米，求路灯 D距地面 AE 的高度（结果精确到 0.1 米，参考数据：1.73，sin480.74，cos480.67，tan481.11）11如图，贵阳中天 201 大厦是我省著名的建筑物之一，是全球最高的筒式悬挂结构的建筑大厦，座落在贵阳市观山湖公园，高度为 201 米而命名在大厦 DE 右侧有一观景山，一游客乘坐游船驶向大厦，在 A 点处测得大厦顶端 D 的仰角为 49，测得观景山顶端 C的仰角为 30，游船以每分钟 5 米的速度匀速行驶了 16 分钟到达 B 点处，此处测得观景山顶端 C 的仰角为 45（点 A、B、E 点在同一直线上）（1）试求观景山 CE 的高度；（2）若大厦的底部与湖面在同水平线上，顶端 D 处测得观景山底端 G 的俯角为 84.3，BF3 米，则求观景山的宽度 GF 的长？（结果精确到 1 米）（参考数据：1.73，sin490.754，cos490.656，tan491.15sin84.30.995，cos84.30.099，tan84.310.0）12如图，AB、CD 为两个建筑物，建筑物 AB 的高度为 80m，从建筑物 AB 的顶部 A 点测得建筑物CD的顶部C点的俯角EAC为30，测得建筑物CD的底部D点的俯角EAD为 60（1）求两建筑物底部之间的水平距离 BD；（2）求建筑物 CD 的高度 13如图，一栋楼房上悬挂了一盏激光灯已知 CD 为 0.3m，测角仪支架 AE 和 BF 的高为1.5m，小欢在 E 处测得激光灯底部点 D 的仰角为 22，小乐在 F 处测得激光灯顶部点 C的仰角为 45，AB6m请根据相关测量信息，求出激光灯底部点 D 到地面的距离 DH的长（图中点 A，B，C，D，E，F，H 在同一平面内参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40）14如图是北京大学正西门，它已成为了北京大学的标志性建筑之一，门正中悬挂着“北京大学”的匾额，牌匾微向前倾斜，给人们的瞻望提供极为恰当的角度，也会使人顿生一种庄严肃穆之感 线段 BC 是悬挂在北大正西门 AM 上的匾额的截面示意图 已知 BC1米，MBC37，从水平地面点 D 处看点 C，仰角ADC45，从点 E 处看点 B，仰角AEB58，且 DE2.8 米，若 A、D、E 三点在一条直线上，则匾额悬挂的高度AB 的长约是多少米？（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin580.85，cos580.53，tan581.60）15如图，在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD，CD13 米，坡比 DE：EC1：，高为DE，在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 64，在斜坡上的点 D 处测得楼项 B 的仰角为 45，其中 A、C、E 在同一直线上（1）求斜坡 CD 的高度 DE；（2）求大楼 AB 的高度（参考数据：sin640.9，tan642）16周末的时候，万州二中初三数学兴趣小组的同学小明在太白公园锻炼身体，看见一颗很高的古树，于是他就想用刚学完的数学知识解直角三角形测量一下古树的高度如图所示，他从古树的底部 C 走了 30 米到达了斜坡的底部 B，然后又沿着斜坡走了 20 米到达顶部 A，已知斜坡 AB 的坡度 i1：（指坡面的铅垂高度与水平宽度的比），这时身高（AM 的高度）1.7m 的小明测得古树顶端 D 的仰角为 31（参考数据：1.73，sin310.52，cos310.86，tan310.60）（1）求小明从点 B 走到点 A 的过程中，他上升的铅垂高度；（2）求古树 CD 的高度（结果保留一位小数）17如图（1）是某古城门修复后的照片，某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该城门楼的高度 OC如图（2）所示，他们沿坡度 i1：的登城阶梯从底部的 A 处前行 6 米到达 P 处（AP6 米），测得城门楼最高点 C 的仰角为 60，楼底部 B的仰角为 35（测量员的身高忽略不计），已知城门楼高 BC10 米，求城门楼距离地面的高度 OC（结果保留整数 参考数据：1.73，sin350.57，cos350.82，tan350.70）18如图，嘉琪要利用无人机测量他家所住楼房（BC）的高度在楼前的地平面上选定点O，OB36m嘉琪遥控无人机停留在点 O 正上方的 A 处时（OA60m），测得楼房顶端C 点处的俯角为 45以点 O 为原点，OB 所在直线为 x 轴、OA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系（1）求楼房（BC）的高度；（2）求 OC 所在直线的解析式；（3）若无人机从 A 处沿 x 轴的正方向以 5m/s 的速度水平飞行为保证无人机始终能观察到地面上的 O 处，最多能飞行多长时间？19重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点 A 处观测到文峰塔最高点P的仰角为45，再沿正对文峰塔的方向前进10m至B处测得最高点P的仰角为60，小航先在点 C 处竖立长为 2.6m 标杆 FC，再后退至其眼睛所在位置点 D、标杆顶 F、最高点 P 在一条直线上，此时测得最高点 P 的仰角为 30，已知两人身高均为 1.6m（头顶到眼睛的距离忽略不计）（1）求文峰塔 PQ 的高度（结果保留一位小数）；（2）测量结束时小宇站在点 E 处（点 E 在点 B 的正下方），小航站在点 C 处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为 1.5m/s，小航速度是其 2 倍，谁先到达塔底？请说明理由（参考数据：1.732）20交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图测速仪 C 和测速仪 E 到路面之间的距离 CDEF7m，测速仪 C 和 E之间的距离 CE750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪 C 处测得小汽车在隧道入口 A 点的俯角为 25，在测速仪 E 处测得小汽车在 B 点的俯角为60，小汽车在隧道中从点 A 行驶到点 B 所用的时间为 38s（图中所有点都在同一平面内）（1）求 A，B 两点之间的距离（结果精确到 1m）；（2）若该隧道限速 22m/s，判断小汽车从点 A 行驶到点 B 是否超速？通过计算说明理由（参考数据：1.7，sin250.4，cos250.9，tan250.5，sin650.9，cos650.4，tan652.1）参考答案 1解：由题意得 BD15，AB1.6，过点 A 作 AECD，交 CD 于点 E，CAE43，CEAEtan43150.94714.2（m）CDCE+EDCE+AB1.6+14.215.8（m）答：旗杆高度约 15.8m 2解：（1）由题意得：AON45，OD30 米，MON30，AODAONMON453015，ADB 是AOD 的一个外角，OADADBAOD15，AODOAD15，ODAD30 米，DA 的长为 30 米；（2）过点 D 作 DHON，交 AB 的延长线于点 H，BDHMON30，ADB30，ADHADB+BDH60，由题意得：AHD90，在 RtADH 中，AD30 米，AHADsin603015（米），DHADcos603015（米），在 RtBDH 中，BHDHtan30155（米），ABAHBH15510（米），树 BA 的高度为 10米 3解：如图：延长 BA 交 PD 于点 E，由题意得：BEP90，EBPC46米，EPA45，EPB60，在 RtEBP 中，EP46（米），在 RtEAP 中，AEEPtan4546146（米），ABEBAE（4646）米，定都阁的高 AB 为（4646）米 4解：（1）在 RtABC 中，BC80，AB 的坡度 i1：0.7，AC56，在 RtBCE 中，BC80，BECDBE45，CBE90BEC904545，BECCBE，CEBC80，AECEAC805624（m），答：山脚 A 到河岸 E 的距离为 24m；（2）在 RtBCF 中，BC80，BFCDBF26.7，tanBFC，0.5，CF160，EFCFCE1608080（m），答：河宽 EF 的长度约 80m 5解：延长 BC，交 MN 于点 F，由题意得，ABDEFN1.6 米，ADBE3.5 米，设 EFx 米，则 BFEF+BE（x+3.5）米，在 RtEFM 中，MEF45，FMEFx 米，在 RtBFM 中，tan30，解得 x4.79，MNMF+FN6.4 米 电池板离地面的高度 MN 约为 6.4 米 6解：（1）过点 D 作 DEAB，垂足为 E，由题意得：ADE40，BDE30，ADBADE+BDE40+3070，故答案为：70；（2）由题意得：DEBC6 米，在 RtADE 中，ADE40，AEDEtan4060.845.04（米），在 RtDEB 中，BDE30，BEDEtan30623.46（米），ABAE+EB5.04+3.469（米），建筑物 AB 的高度约为 9 米 7解：（1）过点 A 作 AFEB，垂足为 F，扶梯 AB 的坡度为 3：2，设 AF3x 米，则 BF2x 米，在 RtABF 中，ABx（米），AB10米，x10，x10，AF3x30（米），点 A 到 BE 的距离为 30 米；（2）延长 DC 交 AF 于点 G，过点 D 作 DHEF，垂足为 H，由题意得：DGAG，DHGF，ACD135，ACG180ACD45，在 RtACG 中，AC20 米，AGACsin452010（米），AF30 米，DHGFAFAG（3010）米，在 RtDEH 中，DEH30，DE2DH602031.8（米），DE 段扶梯长度约为 31.8 米 8解：如图，过点 A 作 BC 的平行线与 CD 的延长线交于点 E，根据题意可知：AEBC34 米，在 RtACE 中，AEC90，CAE58，AE34 米，CEAEtanCAE34tan58，同理可得 DE34tan48 CDCEDE34tan5834tan48 34（1.601.11）340.4916.66 16.7（米）答：乙建筑物的高度 CD 约为 16.7 米 9解：如图作 AHCN 于 H 在 RtABH 中，BAH45，BH10.52.58（m），AHBH8（m），在 RtAHC 中，tan65，CH82.116.8（m），BCCHBH16.889（m）10解：如图所示，过点 D 作 DGAE 于 G，过点 F 作 FHDG 于 H，过点 C 作 CMDG于 M，则四边形 ACMG 和四边形 EFHG 都是矩形，CMAG，HFEG，HGEF，BCD60，DCM30，又CMD90，CMCDcosDCM米，米，米，DHHFtanDFH8.2 米，DGDH+GH9.4 米，路灯 D 距地面 AE 的高度为 9.4 米 11解：（1）连接 BC，由题意得：AB16580（米），CEA90，设 CEx 米，在 RtCEB 中，CBE45，BEx（米），AEBE+AB（80+x）米，在 RtCEA 中，CAE30，tan30，解得：x40+40，经检验：x40+40 是原方程的根，CE（40+40）米，观景山 CE 的高度为（40+40）米；（2）由题意得：DGE84.3，在 RtDGE 中，DE201 米，GE20.1（米），由（1）得：BECE40+40109.2（米），BF3 米，GFGE+BEBF20.1+109.23126（米），观景山的宽度 GF 的长约为 126 米 12解：（1）过点 C 作 CFAB，垂足为 F，由题意得：CFBD，BFCD，AECFBD，EACACF30，EADADB60，在 RtABD 中，AB80m，BD（m），两建筑物底部之间的水平距离 BD 为m；（2）由（1）可得：CFBDm，在 RtAFC 中，AFCFtan30（m），BFABAF80（m），BFCDm，建筑物 CD 的高度为m 13解：如图，延长 EF 交 CH 于点 N，则 EFAB6m，CNF90 CFN45，CNNF，设 DNxm，CD0.3m，NFCNCD+DN（x+0.3）m，ENEF+FN6+（x+0.3）（x+6.3）m 在 RtDNE 中，DEN22，DNENtan220.4（x+6.3），0.4（x+6.3）x，解得 x4.2，DN4.2m，DNDN+NH4.2+1.55.7（m），答：点 D 到地面的距离 DH 的长约为 5.7m 14解：过点 C 作 CFAM，CGAD，垂足分别为 F、G 由题意知，ABAD，四边形 AGCF 是矩形 CFAG，AFCG，CGD90 在 RtBCF 中，sinCBF，cosCBF，AGCFsinCBFCBsin3710.6（米），BFcosCBFCBcos3710.8（米）在 RtABE 中，tanAEB，AEB58，1.6 AEAB 在 RtCGD 中，ADC45 GDCGAF AFBF+AB0.8+AB，GDAE+EDAGAB+2.80.6，0.8+ABAB+2.80.6，AB3.73（米）答：匾额悬挂的高度 AB 的长约是 3.73 米 15解：（1）在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD，CD13 米，坡度为 5：12，设 DE5x 米，则 EC12x 米，（5x）2+（12x）2132，解得，x1，5x5，12x12，即 DE5 米，EC12 米，故斜坡 CD 的高度 DE 是 5 米；（2）tan64，tan45，DE5 米，CE12 米，2，5，解得，AB34 米，AC17 米，即大楼 AB 的高度是 34 米 16解：（1）作 AECB 交 CB 延长线于 E，设 AExm，则 m，在 RtABE 中，坡 AB20m，AE2+BE2AB2，解得 x10 或 x10（舍），AE10m，即从点 B 走到点 A 的过程中，他上升的铅垂高度为 10m；（2）由已知得到C90，EMN90，四边形 CEMN 是矩形，测得高压电线杆顶端点 D 的仰角为 31，在 RtDMN 中，解得：DNMNtan31（30+10）0.606+1828.38，CDDN+AM+AE28.38+1.7+1040.0840.1（m），答：古树 CD 的高度约为 40.1m 17解：如图：过点 P 作 PDOA，垂足为 D，由题意得：PEOC，PDOE，CPE60，BPE35，斜坡 AP 的坡度 i1：，在 RtAPD 中，tanPAD，PAD30，AP6 米，PDAP3（米），PDOE3 米，设 PEx 米，在 RtCPE 中，CEPEtan60 x（米），在 RtBPE 中，BEPEtan350.7x（米），BC10 米，CEBE10，x0.7x10，解得：x9.7，CEx16.8（米），COCE+OE16.8+320（米），城门楼距离地面的高度 OC 约为 20 米 18解：（1）过点 C 作 CEAO 于点 E，得矩形 OBCE，OBCE36m，由题意可知：ACE45，OA60m，AE60OE60BC，AECE36m，60BC36，BC24m，楼房 BC 的高度 24m；（2）设 OC 所在直线的解析式为 ykx，由题意可知 C（36，24），代入 ykx 得，2436k，解得 k，OC 所在直线的解析式为 yx；（3）如图，直线 AM 交 OC 的延长线于点 F，把 y60 代入 yx 得，60 x，解得 x90，AF90m，90518（s）答：为保证无人机始终能观察到地面上的 O 处，最多能飞行 18s 19解：（1）设 PQ 与 AD 相交于点 G，由题意得：AB10m，BEGQ1.6m，设 BGxm，AGAB+BG（x+10）m，在 RtBPG 中，PBG60，PGBGtan60 x（m），在 RtAPG 中，PAG45，tan451，PGAG，xx+10，x5+5，PGx（15+5）m，PQPG+GQ15+5+1.625.3（m），文峰塔 PQ 的高度约为 25.3m；（2）小宇先到达塔底，理由：设 FC 与 AD 相交于点 H，由题意得：CHBE1.6m，FC2.6m，FHFCCH1（m），在 RtPGD 中，PG（15+5）m，PDG30，DGPG（15+15）m，在 RtDFH 中，DHFH（m），GHDGDH（14+15）m，小宇的速度为 1.5m/s，小航速度是其 2 倍，小航的速度为 3m/s，9.1（s），13.1（s），9.113.1，小宇先到达塔底 20解：（1）由题意得：CAD25，EBF60，CEDF750 米，在 RtACD 中，CD7 米，AD14（米），在 RtBEF 中，EF7 米，BF4.1（米），ABAD+DFBF14+7504.1760（米），A，B 两点之间的距离约为 760 米；（2）小汽车从点 A 行驶到点 B 没有超速，理由：由题意得：7603820 米/秒，20 米/秒22 米/秒，小汽车从点 A 行驶到点 B 没有超速