2022-2023学年山西省大同市高二上学期11月期中考试数学试题(含答案).pdf
大同市 2022-2023 年度高二期中测试题（卷）数 学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知平面和平面的法向量分别为(3,1,5)m，(6,2,10)n ，则（）A B C与相交但不垂直 D以上都不对 2椭圆22221xyab和2222(0)xyab 具有（）A相同的离心率 B相同的焦点 C相同的顶点 D相同的长、短轴 3直线34xyb与圆222210 xyxy 相切，则b的值是（）A2或 12 B2 或12 C2或12 D2 或 12 4已知点(1,3)A，(2,1)B，若过点(2,1)P的直线l与线段 AB 相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A12k B2k C12k 或2k D122k 5在空间四边形 OABC 中，OAa，OBb，OCc，点M在 OA 上，且2OMMA，N为 BC 中点，则MN（）A121232abc B211322abc C112223abc D221332abc 6 设抛物线22ypx上的三个点12,3Ay，21,By，33,2Cy到该抛物线的焦点的距离分别为1d，2d，3d，若1d，2d，3d的最大值为 3，则p的值为（）A32 B2 C3 D143 7设1F和2F为双曲线22221(0,0)xyabab的两个焦点，若点(0,2)Pb，1F，2F是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A3yx B217yx C33yx D213yx 8鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥如图，在鳖臑PABC中，PA 平面ABC，2ABBCPA，D，E 分别是棱 AB，PC 的中点，点F是线段 DE 的中点，则点F到直线 AC 的距离是（）A38 B64 C118 D224 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9设0r，圆22(1)(3)zxyr与圆2216xy的位置关系不可能是（）A内切 B相交 C外切 D外离 10若方程22131xytt所表示的曲线为C，则下面四个命题错误的是（）A若C为椭圆，则13t B若C为双曲线，则3t 或1t C曲线C可能是圆 D若C为椭圆，且长轴在y轴上，则12t 11若实数 x，y 满足2220 xyx，则（）A1yx的最大值为3 B1yx的最小值为3 C1yx的最大值为33 D1yx的最小值为33 12已知P是椭圆22194xy上一点，椭圆的左、右焦点分别为1F，2F，且121cos3F PF，则（）A12PFF的周长为 12 B1 22 2PF FS C点P到x轴的距离为2 105 D122PF PF 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13直线1l，2l的斜率1k，2k是关于k的方程2240kkm的两根，若12ll，则m _ 14已知(1,0,1)a，(2,1,1)b ，(3,1,0)c，则2abc等于_ 15已知双曲线22142xy被直线截得的弦 AB，弦的中点为(4,2)M，则直线 AB 的斜率为_ 16如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，1ADAB，ADAB，45BCD，将ABD沿对角线BD 折起，设折起后点A的位置为A，并且平面A BD平面 BCD则下面四个命题中正确的是_（把正确命题的序号都填上）BA DC；三棱锥ABCD的体积为22；BACA；平面A BC平面A DC 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）已知(1,0)A，(1,0)B，C为平面内的一个动点，且满足2ACBC（1）求点C的轨迹方程；（2）若直线l为10 xy，求直线l被曲线C截得的弦的长度 18（12 分）如图，在正方体1111ABCDABC D中，E为1DD的中点 （1）求证：1BD 平面 ACE；（2）求直线 AD 与平面 ACE 所成角的正弦值 19（12 分）已知点0,2A，椭圆2222:1(0,0)xyEabab的离心率为22，F是椭圆E的右焦点，直线 AF 的斜率为 2，O 为坐标原点（1）求 E 的方程；（2）设过点(0,3)P且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点 M、N，且8 27MN，求k的值 20（12 分）如图，在三棱锥PABC中，侧面 PAC 是等边三角形，ABBC，PAPB （1）证明：平面PAC 平面 ABC；（2）若 AC=2AB，则在棱 PC 上是否存在动点M，使得平面 MAB 与平面 ABC 所成二面角的大小为 45 21（12 分）已知抛物线2:2(0)C ypx p上的一点(2,)Mm到它的焦点的距离为21（1）求p的值；（2）过点(2,)()Nt tR作抛物线C的切线，切点分别为 P，Q，求证：直线 PQ 过定点 22（12 分）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为62，且过点(4 2,2 2)P（1）求双曲线C的方程；（2）过1F的两条相互垂直的直线分别交双曲线于点 A，B 和点 C，D，M、N 分别为 AB、CD 的中点，连接MN，过坐标原点O作 MN 的垂线，垂足为H，问：是否存在定点G，使得GH为定值？若存在，求定点G的坐标；若不存在，请说明理由 大同市 2022-2023 年度高二期中测试题（数学）参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1B 2A 3D 4D 5B 6C 7C 8B 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9CD 10AD 11CD 12BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13-2 143 10 151 16 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）解：（1）由题意可设点C的坐标为(,)x y，由2ACBC及两点间的距离公式可得 22(1)(0)xy222(1)(0)xy，整理得22610 xyx （5 分）（2）圆心3,0到直线:10l xy 的距离002230 122AxByCdAB，所以弦的长度2222 6rd（10 分）18（12 分）解：（1）证明：连接 BD 交 AC 于点F，连接 EF，则1EFBD，1BD 平面ACE，EF 平面ACE，1BD 平面 ACE（6 分）（2）以 D 为原点，DA、DC、1DD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则(0,0,0)D，(0,1,0)C，(1,0,0)A，10,0,2E，所以(1,0,0)DA，11,0,2EA，10,1,2EC 设(,)nx y z为平面 ACE 的法向量，所以0,0,n EAn EC即10,210,2xzyz令2z，则1x，1y，所以(1,1,2)n，所以cos,DA n 1661 14DA nDA n，所以直线 AD 与平面 ACE 所成角的正弦值为66（12 分）19（12 分）解：（1）由离心率22cea，得2ac，直线 AF 的斜率为0(2)20c，解得1c，2a，2221bac，椭圆E的方程为2212xy（4 分）（2）答案设直线:3l ykx，11,M x y，22,N xy，则223,1,2ykxxy整理得22124 340kxkx，M、N是不同的两点，判别式22(4 3)4 4120kk ，得21k，1224 312kxxk，122412x xk，2222212121224118 2114127kkMNkxxkxxx xk，整理得421732kk570，解得23k 或21917k （舍去），3k （12 分）20（12 分）解：（1）证明：取 AC 的中点O，连接 PO，BO，因为PAC为等边三角形，所以POAC，在RtABC中，有OAOBOC，又因为PAPBPC，所以POAPOBPOC，所以90POBPOA，即POOB，又因为POAC，ACOBO，所以PO 平面 ABC，又因为PO 平面 PAC，所以平面PAC 平面 ABC（6 分）（2）不妨设4PA，在RtABC中，1cos2ABCABAC，所以60CAB，在底面 ABC 内作ODAC于点O，则 OD，OC，OP 两两垂直，以点O为原点，OD 所在的直线为x轴，OC 所在的直线为y轴，OP 所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,2,0)A，(3,1,0)B，(0,2,0)C，(0,0,2 3)P 所以(3,1,0)AB，(0,4,0)AC，(0,2,2 3)AP，(0,2,2 3)PC，设(0,2,2 3)(01)PMPC，则(0,22,2 32 3)AMAPPM，设平面 MAB 的法向量为(,)mx y z，所以30(22)(2 32 3)0m ABxym AMyz，令1x，可得33y，1z ，所以(1,33,1)m，易知平面 ABC 的一个法向量为(0,0,1)n，所以22212cos45|cos,|2(1)(33)(1)m nm nm n ，整理可得231030，即(31)(3)0，解得13或3（舍去）所以13PMPC，所以当13PMPC时，二面角MABC的大小为 45（12 分）21（12 分）解：（1）抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，2212p，12p，2p （2）证明：由题意得，过点N的抛物线的切线的斜率存在，故可设切线方程为(2)ytk x，代入24yx得，24480kyytk 直线与拋物线C相切，0,0,k 得164(48)0ktk，即2210ktk 12tkk，代入24480kyytk并化简得220yk，解得2yk，设直线 NP，NQ 的斜率分别为1k，2k，则1212k k 21112,Pkk，22212,Qkk，当12kk时，直线 PQ 的方程为122112212222111kkyxkkkk，整理得，1222112112122111k kyxxkkkkkkk，即2112122212121112121121211 2211211kkkkyxxxkkkkkkkkkkkkkkkk 121212121(2)xxkkkkkk 直线 PQ 过定点(2,0)当1222kk时，直线 PQ 的方程为2x，过点(2,0)综上可得，直线 PQ 过定点(2,0)（12 分）22（12 分）解：（1）由题可知，222222226,216,3281,8,24,ceaababccab 所以双曲线C的方程是221168xy（4 分）（2）答案存在定点(2 6,0)G，使得GH为定值 由题意可知，若直线 AB 和 CD 其中一条没有斜率，则H点的坐标为(0,0)，直线 MN 的方程为0y 当直线 AB 和 CD 的斜率都存在时，因为点1(2 6,0)F，所以设直线 AB 的方程为(2 6)(0)yk xk，则直线 CD 的方程为1(2 6)yxk，设,AAA xy，,BBB xy，,MMM xy，联立22(2 6),1168yk xxy得22221 28 616 310kxk xk，所以228 612ABkxxk，2216 311 2ABkx xk，故224 61 2Mkxk，224 62 612Mkykk 设,CCC xy，,DDD xy，,NNN xy，同理可得28 62CDxxk，2216 32CDkx xk，故24 62Nxk，214 62 62Nykk 所以MNMNMNyykxx22222224 614 62 62 61 224 64 6211 22kkkkkkkkkk，所以直线 MN 的方程为222224 64 62 6121221kkkykxkkk，化简得2(4 6)21kyxk，可知直线 MN 过定点(4 6,0)R 又OHMN，所以点H的运动轨迹是以点(2 6,0)为圆心，4 6OR 为直径的圆，所以存在定点(2 6,0)G，使得GH为定值2 6（12 分）
