2021-2022学年北京市通州区九年级(上)期末数学试卷(学生版+解析版).pdf

第1页（共30页）2021-2022 学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题。（本题共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1（2 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，关于 a，c 的符号判断正确的是（）Aa0，c0 Ba0，c0 Ca0，c0 Da0，c0 2（2 分）如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若 tan=23，则满足条件的 是（）A B C D 3（2 分）在半径为 6cm 的圆中，120的圆心角所对的弧长是（）A4cm B3cm C2cm Dcm 4（2 分）如图，点 A，B，C 均在O 上，连接 OA，OB，AC，BC，如果 OAOB，那么C 的度数为（）第2页（共30页）A22.5 B45 C90 D67.5 5（2 分）如图，在ABCD 中，E 为 BC 的中点，DE、AC 交于点 F，则的值为（）A1 B13 C23 D12 6（2 分）如图，AB 是O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，DC 切O 于点 C，若D30，CD23，则 AC 等于（）A6 B4 C23 D3 7（2 分）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置 AB 绕点 O 旋转到 AB的位置已知 AO4 米，若栏杆的旋转角AOA47，则栏杆端点 A 上升的垂直距离 AH 为（）A4sin47米 B4cos47米 C4tan47米 D447米 8（2 分）某同学将如图所示的三条水平直线 m1，m2，m3的其中一条记为 x 轴（向右为正方向），三条竖直直线 m4，m5，m6的其中一条记为 y 轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 yax22ax+1（a0）的图象，那么她所选择的 x 轴和 y 轴分别为直线（）第3页（共30页）Am1，m4 Bm2，m5 Cm3，m6 Dm2，m4 二、填空题。（本题共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）9（2 分）如图，在量角器的圆心 O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，从量角器的点A 处观测，当量角器的 0 刻度线 AB 对准旗杆顶端时，铅垂线对应的度数是 40，则此时观测旗杆顶端的仰角度数是 10（2 分）如图，在ABC 中，C90，AB10，在同一平面内，点 O 到点 A，B，C的距离均等于 a（a 为常数）那么常数 a 的值等于 11（2 分）在ABC 中，C90，tanA=43，BC8，那么 AC 的长为 12（2 分）已知 P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线 yx24x+1 上，那么 x1+x2 13（2 分）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜 C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A 如果他的眼睛到地面的距离ED1.6m，同时量得他到平面镜 C 的距离 DC2m，平面镜 C 到旗杆的底部 B 的距离 CB15m，那么旗杆高度 AB m 第4页（共30页）14（2 分）如图，过点 A（0，4）作平行于 x 轴的直线 AC 分别交抛物线 y1x2（x0）与y2=142(0)于 B、C 两点，那么线段 BC 的长是 15（2 分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图 1，点 P 表示筒车的一个盛水桶如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方若圆被水面截得的弦 AB 长为 8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m 16（2 分）如图，ABC 的两条中线 BE，CD 交于点 M某同学得出以下结论：DEBC；ADEABC；=14；第5页（共30页）=13 其中结论正确的是：（只填序号）三、解答题。（本题共 68 分，第 1718 题，每小题 5 分，第 1923 题，每小题 5 分，第2427 题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 yx2+mx+n 的图象经过点 A（0，1），B（3，4）求此二次函数的表达式及顶点的坐标 18（5 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC12，BC5求 sinA，cosA 和 tanA 19（6 分）如图，MAN30，点 B、C 分别在 AM、AN 上，且ABC40（1）尺规作图：作CBM 的角平分线 BD，BD 与 AN 相交于点 D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求证：ABCADB 20（6 分）已知关于 x 的二次函数 yx24x+m（1）如果二次函数 yx24x+m 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB2，求 m 的值；（2）若对于每一个 x 值，它所对应的函数值都不小于 1，求 m 的取值范围 第6页（共30页）21（6 分）已知：A，B 是直线 l 上的两点 求作：ABC，使得点 C 在直线 l 上方，且 ACBC，ACB30 作法：分别以 A，B 为圆心，AB 长为半径画弧，在直线 l 上方交于点 O，在直线 l 下方交于点E；以点 O 为圆心，OA 长为半径画圆；作直线 OE 与直线 l 上方的O 交于点 C；连接 AC，BC ABC 就是所求作的三角形（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明 证明：连接 OA，OB OAOBAB，OAB 是等边三角形 AOB60 A，B，C 在O 上，ACB=12AOB（）（填推理的依据）ACB30 由作图可知直线 OE 是线段 AB 的垂直平分线，第7页（共30页）ACBC（）（填推理的依据）ABC 就是所求作的三角形 22（6 分）如图，在O 中，点 E 是弦 CD 的中点，过点 O，E 作直径 AB（AEBE），连接 BD，过点 C 作 CFBD 交 AB 于点 G，交O 于点 F，连接 AF求证：AGAF 23（6 分）已知一个二次函数的表达式为 y（xa）（x1）（1）当 a3 时，若 P（1，b），Q（m，b）两点在该二次函数图象上，求 m 的值；（2）已知点 A（1，0），B（2，0），二次函数 y（xa）（x1）的图象与线段 AB只有一个公共点，直接写出 a 的取值范围 24（7 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，BAC75，ABC45，连接 AO 并延长交O 于点 D，过点 C 作O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E（1）求证：ADEC；（2）若 AD6，求线段 AE 的长 第8页（共30页）25（7 分）二次函数 yax2+bx+a（a0）的图象与 y 轴交于点 A，将点 A 向右平移 4 个单位长度，得到点 B，点 B 在二次函数 yax2+bx+a（a0）的图象上（1）求点 B 的坐标（用含 a 的代数式表示）；（2）二次函数的对称轴是直线 ；（3）已知点（m1，y1），（m，y2），（m+2，y3）在二次函数 yax2+bx+a（a0）的图象上若 0m1，比较 y1，y2，y3的大小，并说明理由 26（7 分）如图，O 为四边形 ABCD 内一点，E 为 AB 的中点，OAOD，OBOC，AOB+COD180（1）若BOEBAO，AB=22，求 OB 的长；（2）用等式表示线段 OE 和 CD 之间的关系，并证明 第9页（共30页）27（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，给出如下定义：若点 P 在图形 M 上，点 Q 在图形 N上，称线段 PQ 长度的最小值为图 形 M，N 的“近距离”，记为 d（M，N），特别地，若图形 M，N 有公共点，规定 d（M，N）0 已知：如图，点 A（2，0），B（0，23）（1）如果O 的半径为 2，那么 d（A，O），d（B，O）；（2）如果O 的半径为 r，且 d（O，线段 AB）0，求 r 的取值范围；（3）如果 C（m，0）是 x 轴上的动点，C 的半径为 1，使 d（C，线段 AB）1，直接写出 m 的取值范围 第10页（共30页）2021-2022 学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题。（本题共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1（2 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，关于 a，c 的符号判断正确的是（）Aa0，c0 Ba0，c0 Ca0，c0 Da0，c0【解答】解：抛物线开口向上，a0，抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方，c0，故选：B 2（2 分）如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若 tan=23，则满足条件的 是（）A B C D【解答】解：A观察图形可得 tan=32，不符合题意；第11页（共30页）B观察图形可得 tan=23，符合题意；C观察图形可得 tan=12，不符合题意；D观察图形可得 tan=13，不符合题意 故选：B 3（2 分）在半径为 6cm 的圆中，120的圆心角所对的弧长是（）A4cm B3cm C2cm Dcm【解答】解：半径为 6cm 的圆中，120的圆心角所对的弧长是1206180=4（cm），故选：A 4（2 分）如图，点 A，B，C 均在O 上，连接 OA，OB，AC，BC，如果 OAOB，那么C 的度数为（）A22.5 B45 C90 D67.5【解答】解：OAOB，AOB90，C=12AOB45，故选：B 5（2 分）如图，在ABCD 中，E 为 BC 的中点，DE、AC 交于点 F，则的值为（）A1 B13 C23 D12【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，ECFDAF，BEEC，第12页（共30页）EF：FDEC：AD1：2，故选：D 6（2 分）如图，AB 是O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，DC 切O 于点 C，若D30，CD23，则 AC 等于（）A6 B4 C23 D3【解答】解：如图，连接 OC，DC 是O 的切线，OCCD，D30，DOC60，OAOC，OCAOAC30，DOAC，ACCD23，故选：C 7（2 分）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置 AB 绕点 O 旋转到 AB的位置已知 AO4 米，若栏杆的旋转角AOA47，则栏杆端点 A 上升的垂直距离 AH 为（）A4sin47米 B4cos47米 C4tan47米 D447米【解答】解：在 RtAOH 中，OA4 米，AHO90，AOA47，第13页（共30页）sinAOA=，AHOAsinAOA4sin47（米）故选：A 8（2 分）某同学将如图所示的三条水平直线 m1，m2，m3的其中一条记为 x 轴（向右为正方向），三条竖直直线 m4，m5，m6的其中一条记为 y 轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 yax22ax+1（a0）的图象，那么她所选择的 x 轴和 y 轴分别为直线（）Am1，m4 Bm2，m5 Cm3，m6 Dm2，m4【解答】解：yax22ax+1a（x1）2+1a，顶点坐标为（1，1a），a0，抛物线与 m5的交点为顶点，m4为 y 轴，1a1，m2为 x 轴，故选：D 二、填空题。（本题共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）9（2 分）如图，在量角器的圆心 O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，从量角器的点A 处观测，当量角器的 0 刻度线 AB 对准旗杆顶端时，铅垂线对应的度数是 40，则此时观测旗杆顶端的仰角度数是 50 第14页（共30页）【解答】解：根据题意可知：如图，过点 O 作 OCOD，COD90，AOD40，BOC50，答：此时观测旗杆顶端的仰角度数是 50 10（2 分）如图，在ABC 中，C90，AB10，在同一平面内，点 O 到点 A，B，C的距离均等于 a（a 为常数）那么常数 a 的值等于 5 【解答】解：在同一平面内，点 O 到点 A，B，C 的距离均等于 a（a 为常数），OAOBOC，ABC 是直角三角形，C90，AB10，OAOBOC=12AB5，常数 a 的值等于：5，第15页（共30页）故答案为：5 11（2 分）在ABC 中，C90，tanA=43，BC8，那么 AC 的长为 6 【解答】解：在ABC 中，C90，tanA=43，BC8，AC=843=6，故答案为：6 12（2 分）已知 P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线 yx24x+1 上，那么 x1+x2 4 【解答】解：P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线 yx24x+1 上，抛物线的对称轴为直线 x=1+22=421，x1+x24，故答案为：4 13（2 分）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜 C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A 如果他的眼睛到地面的距离ED1.6m，同时量得他到平面镜 C 的距离 DC2m，平面镜 C 到旗杆的底部 B 的距离 CB15m，那么旗杆高度 AB 12 m 【解答】解：ABBD，DEBD，ABCEDC90，ACBDCE，ABCEDC，=，1.6=152，DE12，故答案为：12 第16页（共30页）14（2 分）如图，过点 A（0，4）作平行于 x 轴的直线 AC 分别交抛物线 y1x2（x0）与y2=142(0)于 B、C 两点，那么线段 BC 的长是 2 【解答】解：点 A（0，4），把 y4 代入 y1x2（x0）得 x24，解得：x2，B（2，4），把 y4 代入 y2=142(0)得14x24（x0），解得：x4，C（4，4），BC422，故答案为：2 15（2 分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图 1，点 P 表示筒车的一个盛水桶如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方若圆被水面截得的弦 AB 长为 8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 2 m 【解答】解：过 O 点作半径 ODAB 于 E，如图，第17页（共30页）AEBE=12AB=1284，在 RtAEO 中，OE=2 2=52 42=3，EDODOE532（m），答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 2m 16（2 分）如图，ABC 的两条中线 BE，CD 交于点 M某同学得出以下结论：DEBC；ADEABC；=14；=13 其中结论正确的是：（只填序号）【解答】解：BE 和 CD 为ABC 的中线，DE 为ABC 的中位线，DEBC，所以正确；ADEABC，所以正确；DE=12BC，DEBC，第18页（共30页）=12，=12，所以错误；=12，+=12+1，即=13，所以正确 故答案为：三、解答题。（本题共 68 分，第 1718 题，每小题 5 分，第 1923 题，每小题 5 分，第2427 题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 yx2+mx+n 的图象经过点 A（0，1），B（3，4）求此二次函数的表达式及顶点的坐标【解答】解：二次函数 yx2+mx+n 的图象经过点 A（0，1），B（3，4）；=19+3+=4，解得：=2=1，yx22x+1，yx22x+1（x1）2，顶点的坐标为（1，0）18（5 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC12，BC5求 sinA，cosA 和 tanA 【解答】解：在 RtABC 中，C90，AC12，BC5 AB=2+2=122+52=13，sinA=513，cosA=1213，tanA=512 19（6 分）如图，MAN30，点 B、C 分别在 AM、AN 上，且ABC40（1）尺规作图：作CBM 的角平分线 BD，BD 与 AN 相交于点 D；（保留作图痕迹，不 第19页（共30页）写作法）（2）在（1）所作的图中，求证：ABCADB 【解答】解：（1）如图所示，线段 BD 即为所求；（2）ABC40，MBC140，BD 平分MBC，=12 =70，MBD 是ADB 的一个外角，ADBMBDA703040，ABCADB AA，ABCADB 20（6 分）已知关于 x 的二次函数 yx24x+m（1）如果二次函数 yx24x+m 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB2，求 m 的值；（2）若对于每一个 x 值，它所对应的函数值都不小于 1，求 m 的取值范围 第20页（共30页）【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴为直线=421=2，A，B 两点在 x 轴上（点 A 在点 B 的左侧），且 AB2，A（1，0），B（3，0）把点（1，0）代入 yx24x+m 中得 1241+m0，m3（2）对称轴为直线 x2，把 x2 代入 yx24x+m 中得 ym4，抛物线顶点坐标为（2，m4），抛物线开口向上，函数最小值为 ym4，由题意得 m41，m5 21（6 分）已知：A，B 是直线 l 上的两点 求作：ABC，使得点 C 在直线 l 上方，且 ACBC，ACB30 作法：分别以 A，B 为圆心，AB 长为半径画弧，在直线 l 上方交于点 O，在直线 l 下方交于点E；以点 O 为圆心，OA 长为半径画圆；作直线 OE 与直线 l 上方的O 交于点 C；连接 AC，BC 第21页（共30页）ABC 就是所求作的三角形（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明 证明：连接 OA，OB OAOBAB，OAB 是等边三角形 AOB60 A，B，C 在O 上，ACB=12AOB（同弧所对圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）ACB30 由作图可知直线 OE 是线段 AB 的垂直平分线，ACBC（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）（填推理的依据）ABC 就是所求作的三角形 【解答】解：（1）如图所示：即为补全的图形；（2）证明：连接 OA，OB OAOBAB，OAB 是等边三角形 AOB60 A，B，C 在O 上，第22页（共30页）ACB=12AOB（同弧所对圆周角等于圆心角的一半）ACB30 由作图可知直线 OE 是线段 AB 的垂直平分线，ACBC（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）同弧所对圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 22（6 分）如图，在O 中，点 E 是弦 CD 的中点，过点 O，E 作直径 AB（AEBE），连接 BD，过点 C 作 CFBD 交 AB 于点 G，交O 于点 F，连接 AF求证：AGAF 【解答】证明：AB 为O 的直径，点 E 是弦 CD 的中点，ABCD，=，BF，CFBD，AGFB，AGFF，AGAF 23（6 分）已知一个二次函数的表达式为 y（xa）（x1）（1）当 a3 时，若 P（1，b），Q（m，b）两点在该二次函数图象上，求 m 的值；（2）已知点 A（1，0），B（2，0），二次函数 y（xa）（x1）的图象与线段 AB只有一个公共点，直接写出 a 的取值范围 第23页（共30页）【解答】解：（1）当 a3 时，二次函数表达式为 y（x3）（x1）x24x+3，对称轴为直线 x=42=2，P（1，b），Q（m，b）两点在该二次函数图象上，m22（1），m5（2）y（xa）（x1），抛物线与 x 轴交点坐标为（a，0），（1，0），点（1，0）在线段 AB 上，（a，0）不在线段 AB 上，或（a，0）与（1，0）重合，a1 或 a2 或 a1 24（7 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，BAC75，ABC45，连接 AO 并延长交O 于点 D，过点 C 作O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E（1）求证：ADEC；（2）若 AD6，求线段 AE 的长 第24页（共30页）【解答】（1）证明：连接 OC，CE 是O 的切线，OCE90，=，ABC45，AOC2ABC90，AOC+OCE180，ADEC；（2）解：过点 A 作 AFEC 交 EC 于点 F，第25页（共30页）AOC90，OAOC，OAC45，BAC75，BADBACOAC754530，ADEC，EBAD30，OCE90，AOC90，OAOC，四边形 OAFC 是正方形，AFOA，AD6，AF=12AD3，在 RtAFE 中，sinE=，AE=330=6 25（7 分）二次函数 yax2+bx+a（a0）的图象与 y 轴交于点 A，将点 A 向右平移 4 个单位长度，得到点 B，点 B 在二次函数 yax2+bx+a（a0）的图象上（1）求点 B 的坐标（用含 a 的代数式表示）；（2）二次函数的对称轴是直线 x2；（3）已知点（m1，y1），（m，y2），（m+2，y3）在二次函数 yax2+bx+a（a0）的图象上若 0m1，比较 y1，y2，y3的大小，并说明理由 第26页（共30页）【解答】解：（1）令 x0，ya，点 A 的坐标为（0，a），将点 A 向右平移 4 个单位长度，得到点 B，点 B 的坐标为（4，a）（2）点 A 的坐标为（0，a），B（4，a）x=0+42=2，二次函数的对称轴是直线 x2；故答案为：x2；（3）对称轴是直线 x2，0m1，点（m1，y1），（m，y2）在对称轴 x2 的左侧，点（m+2，y3）在对称轴 x2 的右侧，0m1，1m0，22（m1）3，12m2，0m+221，a0，y3y2y1 26（7 分）如图，O 为四边形 ABCD 内一点，E 为 AB 的中点，OAOD，OBOC，AOB+第27页（共30页）COD180（1）若BOEBAO，AB=22，求 OB 的长；（2）用等式表示线段 OE 和 CD 之间的关系，并证明 【解答】（1）解：BOEBAO，OBEABO，OBEABO，=，AB22，E 为 AB 的中点，BE=2，2=22，OB2，OB2（不合题意舍去），OB2；（2）解：线段 OE 和 CD 的数量关系是 OE=12CD，理由如下：如图，延长 OE 到点 F，使得 EFOF，连接 AF，FB，AEBE，OFEF，四边形 AFBO 是平行四边形，AFOB，AFOB，FAO+AOB180，第28页（共30页）AOB+COD180，FAOCOD，OBOC，AFOC，在AOF 和DOC 中，=，AOFDOC（SAS），OFCD，OE=12CD 27（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，给出如下定义：若点 P 在图形 M 上，点 Q 在图形 N上，称线段 PQ 长度的最小值为图 形 M，N 的“近距离”，记为 d（M，N），特别地，若图形 M，N 有公共点，规定 d（M，N）0 已知：如图，点 A（2，0），B（0，23）（1）如果O 的半径为 2，那么 d（A，O）0，d（B，O）23 2；（2）如果O 的半径为 r，且 d（O，线段 AB）0，求 r 的取值范围；（3）如果 C（m，0）是 x 轴上的动点，C 的半径为 1，使 d（C，线段 AB）1，直接写出 m 的取值范围 【解答】解：（1）O 的半径为 2，A（2，0），B（0，23），OA2，OB232，点 A 在O 上，点 B 在O 外，第29页（共30页）d（A，O）0，d（B，O）23 2，故答案为：0，23 2；（2）过点 O 作 ODAB 于点 D，在 RtAOB 中，tan=232=3，BAO60；在 RtADO 中，sinBAO=32=2，DO=3，d（O，线段 AB）0，r 的取值范围是3 23；（3）如图，过点 C 作 CNAB 于点 N，A（2，0），B（0，23），OA2，OB23，tan=3，OAB60，第30页（共30页）C（m，0），当点 C 在点 A 的右侧时，m2，ACm（2）m+2，CNACsinOAB=32(+2)，d（C，线段 AB）1，C 的半径为 1，032(+2)1+1，2433 2，当点 C 与点 A 重合时，m2，此时 d（C，线段 AB）0，当点 C 在点 A 的左侧时，m2，AC2m，AC11，2m11，2m4，综上所述：44332