2023届重庆市高三上学期第四次联考(12月)数学试题(含答案).pdf
重庆市高 2023 届高三第四次质量检测 数学试题2022.12 注意事项：1本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 3回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共 8 小题每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1已知复数 z 满足：(1i)2iz，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的模|z（）A1 B2 C2 D2 2 2已知集合 1,0,1,2AB，则集合22,Cz zxyxA yB的真子集个数为（）A7 B8 C15 D16 3已知直线1:(2)310lmxy 与直线2:(2)10lmxmy 相互平行，则实数 m 的值是（）A4 B1 C1 D6 4公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：3.14159263.1415927，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把 3.1415926 称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前 6 位数字 3，1，4，1，5，9 进行某种排列得到密码如果排列时要求两个 1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（）个 A240 B360 C600 D720 5已知函数2()ln11f xxx，正实数 a，b 满足(2)(4)2faf b，则242baaabb的最小值为（）A1 B2 C4 D658 6已知函数1,0()1,0 xxf xxxx，若关于 x 的方程2()(4)()2(2)0fxmf xm有五个不同的实数根，则实数 m 的取值范围是（）A1,3)B(0,2)C1,2)D(0,1)7已知点 P 为抛物线22ypx上一动点，点 Q 为圆22:(1)(4)1Cxy上一动点，点 F 为抛物线的焦点，点 P 到 y 轴的距离为 d，若PQd的最小值为 2，则p（）A12p B1p C2p D4p 8已知数列 na满足15a ，且1(27)(25)(25)(27)nnnanann，若不等式22nnPQa对于任意正整数nN成立，则QP的最小值为（）A10 B12 C14 D16 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分 9下列说法正确的是（）A数据 1，3，5，7，9，11，13 的第 60 百分位数为 9 B已知随机变量服从二项分布：38,4B，设21，则的方差()9D C用简单随机抽样的方法从 51 个体中抽取 2 个个休，则每个个体被抽到的概率都是151 D若样本数据12,nx xx的平均数为 2，则1232,32,32nxxx的平均数为 8 10已知函数()sin,(0,2)4f xx，将函数()f x图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的一半得到函数()g x，且不等式()4g xg对任意的xR恒成立，则下列说法正确的是（）A1 B34为()g x的一个零点 C()g x在0,4上单调递增 D方程2()2g x 在(0,10)x上共有 30 个解 11已知函数32()e3xf xax有三个不同的极值点123,x x x，且123xxx，则下列结论正确的是（）A2e8a B11x C2x为函数()f x的极大值点 D 23e3fx 12如图，过曲线222:1(0)yC xbb右支上一点 P 作双曲线的切线 l 分别交两渐近线于 A、B 两点，交 x轴于点 D，12,F F分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A2min|21ABb BOAPOBPSS CAOBSb D若存在点 P，使121cos4FPF，且122FDDF，则双曲线 C 的离心率2e 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知平面向量,a b满足|2,|2,()ababa，则向量,a b的夹角为_ 14已知正项等比数列 na的前 n 项和为nS，且1324472aaaa，若11a，则5S _ 15已知圆221:4Cxy与圆222:(1)(1)10Cxy相交于 A，B 两点，则|AB _ 16已知,a b c d是单位向量，满足22,2,|20ab mab mcmd，则|cd的最大值为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知等差数列 na的前 n 项和为nS，公差0d，且满足1354723,SSa a a成等比数列（1）求na；（2）求数列 na的前 30 项和 18如图，四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，,22,3ABAD ADBC ADBCAB，E 为CD中点 （1）求证：CD 平面PAE；（2）若3PA，求二面角APBE的余弦值 19在锐角ABC中，a，b，c 分别是ABC的内角 A，B，C 所对的边，外接圆周长为2 3，且2(cos)bcAa（1）求 c；（2）记ABC的面积为 S，求 S 的取值范围 20一款实景逃脱类游戏，密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为 A，B，C，他们道过三关的概率依次为：2 1 1,3 2 3若其中某一关不通过，测游戏停止，游戏不通过只有依次通过A，B，C 三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励现已知参加一次游戏的报名费为 150 元，最终奖励为 400 元为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关购买一枚通关币需另付 100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收（1）若李华同学购买了一枚通关币，求他们通过该游戏的概率（2）若李华同学购买了两枚通关币，求他们最终获得的收益期望值（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）21已知函数()e(2)2,xf xxaaxaR（1）当1a 时，求曲线()f x在点(1,(1)f处的切线方程；（2）若不等式()0f x 对0 x 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）证明：当111,1ln(21)23nnnN 22已知椭圆22122:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F，右顶点为 A，上顶点为 B，O 为坐标原点，|2|OAOB （1）若12BFF的面积为4 3，求椭圆1C的标准方程；（2）如图，过点(1,0)P作斜率(0)k k 的直线 l 交椭圆1C于不同两点 M，N，点 M 关于 x 轴对称的点为S，直线SN交 x 轴于点 T，点 P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点 Q，使OMONOQ，记四边形OMQN的面积为1S，求21OT OQSk的最大值 重庆市高 2023 届高三第四次质量检测 数学答案 1-4 BCAA 5-8 BCDC 9-12 AD BC ACD BCD 134 1431 152 2 162 55 17（1）1121111233 232346aadadadad 11133441515adadda 419nan（2）令19054nann(1 101)2615 11732nS 1362 18（1）3 12AC ACD为等腰三角形 E 为中点CDAE PA 面ABCD DC 面ABCD PACD PAAEA CD面PAE（2）由 A 点建立空间直角坐标系 0,0,0A，3,0,0B，0,0,3P，3 3,022E，3,0,3BP ，3,0,3BP 易知面PAB法向量m 0,1,0m 设面PBE法向量为n 则03,1,30n BPnn PE 17cos717 19（1）22 33RR 2sin2sin cossin2sinBcAAAC 2sincossinAcA 1cos23cc 22 3332cRc（2）3C 13sin24Sabcab 32 3sinsin32abAB 32 3 2 3sinsin43SAA 133 3sinsincos22AAA 2393sinsincos22AAA 933sin23cos23444AA 333sin 23264A 0,9030,901200,90AAA 230,1506A 则33,324qS 20（1）111211211323323322P （2）记收益为 x x 可取 150，100，50，350 2111(150)3239p x 117(100)2918p x 1111112121(50)3233233233p x 111(350)326p x 则17()150100918E x 1112550350369 21（1）()(2)2xf xexx(1)3()(1)1(1)0 xfef xexf1 32yxeyxe （2）220 xxx eaeax 220 xxa xexe 2()2xxxeag xex 可知()g x在(0,)单增(0)1ag(,1a 2(1)2212()2xxxxxexexexeg xex 2222422xxxeexex 222222422xxexxxex 22202xxex（3）先证121ln21nnn 即2(1)ln1ttt 4()ln21g ttt 2224()ln211(1)()0(1)(1)g ttttg tttt t 令21121ntn ()(1)0g tg 2(1)ln1ttt 则1ln(21)ln(21)nnn 故111123nln3ln1ln5 ln3ln(21)ln(21)nn 1111ln(21)23nn 22（1）2ab 124 34 32bcbc 422 3abc 221164xy（2）112222,N x yM xySxy 121112:nyySyxxyxx 令1221120,0 xx yyTyyy 易知1212,Q xxyy，211212,0 x yx yOTyy，1212,OQ xxyy 12211212x yx yOT OQxxyy 12OMNSS 214OMNSS 设1xty 224161xyxty 221230tyty 12221tyyt；12231yyt 22121214Styyy y 22322412111tttt 22221431ttt 22212216 1431ttSt 12211212x yx yOP OTxxyy 122112122x yx yt yyyy 12221221122 x yx yt x yx yyy 1221122111x yx ytyytyy 12122ty yyy 212121212422ty yt y yt yyyx 代入：则22222234621211821ttttOP OTtttt 22288811ttt 1kt 原式322216()82434()3()0f tttttttf ttf t 则2128()393f tf 8015 3()8f t 15 3max8
