陕西省石泉中学2023学年高三第二次联考数学试卷(含解析).pdf

2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符 4作答选择题，必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效 5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若非零实数a、b满足23ab，则下列式子一定正确的是（）Aba Bba Cba Dba 2设i是虚数单位，aR，532aiiai，则a（）A2 B1 C1 D2 3已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A若m/，/，则m/或m B若m/n，m/，n，则n/C若mn，m，n，则 D若mn，m，则n/4等差数列na中，已知51037aa，且10a，则数列na的前n项和nS*()nN中最小的是（）A7S或8S B12S C13S D14S 5记()f xxx其中 x表示不大于 x 的最大整数,0()1,0kx xg xxx，若方程在()()f xg x在 5,5有 7 个不同的实数根，则实数 k 的取值范围()A1 1,6 5 B1 1,6 5 C1 1,5 4 D1 1,5 4 6已知函数()(0)f xxx x，xg xxe，ln0h xxx x的零点分别为1x，2x，3x，则（）A123xxx B213xxx C231xxx D312xxx 7一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球 1 个、黑球 2 个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2，则（）A12EE，12DD B12EE，12DD C12EE，12DD D12EE，12DD 8在260202xyxyxy条件下，目标函数0,0zaxby ab的最大值为 40，则51ab的最小值是（）A74 B94 C52 D2 9已知0.212a，120.2b，13log 2c，则()Aabc Bbac Cbca Dacb 10 已知集合3,*,2,*nMx xnNNx xn nN，将集合MN的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列 nc，则12335.cccc（）A1194 B1695 C311 D1095 11在三角形ABC中，1a，sinsinsinsinbcabAABC，求sinbA（）A32 B23 C12 D62 12已知复数22za iai是正实数，则实数a的值为()A0 B1 C1 D1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13在边长为4的菱形ABCD中，60,A点P在菱形ABCD所在的平面内若3,21PAPC，则PB PD_ 14若12053axdx，则a _.15已知函数2()8xf xaexx的图象在(0,(0)f处的切线斜率为4，则a _ 16某班有学生 52 人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知 5 号、31 号、44 号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，113ABBCAAAC，点D E，分别为AC和11BC的中点.（）棱1AA上是否存在点P使得平面PBD平面ABE？若存在，写出PA的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由.（）求二面角ABED的余弦值.18（12 分）健身馆某项目收费标准为每次 60 元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：现随机抽取了 100 为会员统计它们的消费次数，得到数据如下：假设该项目的成本为每次 30 元，根据给出的数据回答下列问题：（1）估计 1 位会员至少消费两次的概率（2）某会员消费 4 次，求这 4 次消费获得的平均利润；（3）假设每个会员每星期最多消费 4 次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望()E X 19（12 分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从,A B C D E五所高校中任选 2 所（1）求甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率；（2）若已知甲同学特别喜欢A高校，他必选A校，另在,B C D E四校中再随机选 1 所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选 2 所（i）求甲同学选D高校且乙、丙都未选D高校的概率；（ii）记X为甲、乙、丙三名同学中选D高校的人数，求随机变量X的分布列及数学期望 20（12 分）设函数2()sin()2cos1(0)366xxf x，直线3y 与函数()f x图象相邻两交点的距离为2.（）求的值；（）在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c，若点,02B是函数()yf x图象的一个对称中心，且5b，求ABC面积的最大值.21（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关 如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率 22（10 分）如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合），E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD 平面BCP.（1）证明：BP 平面DCP.（2）三棱锥DBPC的体积最大时，求二面角BPDE的余弦值.2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】令23abt，则0t，1t，将指数式化成对数式得a、b后，然后取绝对值作差比较可得【题目详解】令23abt，则0t，1t，2lgloglg2tat，3lgloglg3tbt，lglglglg3lg20lg2lg3lg2 lg3tttab，因此，ab.故选：C.【答案点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题 2、C【答案解析】由532aiiai，可得5323232aiaiiaa i，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a的值.【题目详解】解：532aiiai，5323232aiaiiaa i 53232aaa，解得：1a.故选:C.【答案点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把2i 当成1进行运算.3、D【答案解析】根据线面平行和面面平行的性质，可判定 A；由线面平行的判定定理，可判断 B；C 中可判断，所成的二面角为090；D 中有可能n ，即得解.【题目详解】选项 A：若m/，/，根据线面平行和面面平行的性质，有m/或m，故 A 正确；选项 B：若m/n，m/，n，由线面平行的判定定理，有n/，故 B 正确；选项 C：若mn，m，n，故，所成的二面角为090，则，故 C 正确；选项 D，若mn，m，有可能n ，故 D 不正确.故选：D【答案点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.4、C【答案解析】设公差为d，则由题意可得113479adad，解得1451ad ，可得1(554)51nn aa.令 554051n，可得 当14n 时，0na，当13n时，0na，由此可得数列na前n项和*nSnN中最小的.【题目详解】解：等差数列na中，已知51037aa，且10a，设公差为d，则113479adad，解得 1451ad ，11(554)(1)51nn aaand.令 554051n，可得545n，故当14n 时，0na，当13n 时，0na，故数列na前n项和*nSnN中最小的是13S.故选：C.【答案点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.5、D【答案解析】做出函数(),()f xg x的图象，问题转化为函数(),()f xg x的图象在 5,5有 7 个交点，而函数(),()f xg x在 5,0上有 3 个交点，则在0,5上有 4 个不同的交点，数形结合即可求解.【题目详解】作出函数(),f x()g x的图象如图所示，由图可知 方程()()f xg x在 5,0上有 3 个不同的实数根，则在0,5上有 4 个不同的实数根，当直线ykx经过(4,1)时，14k；当直线ykx经过(5,1)时，15k，可知当1154k时，直线ykx与()f x的图象在0,5上有 4 个交点，即方程()()f xg x，在0,5上有 4 个不同的实数根.故选:D.【答案点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.6、C【答案解析】转化函数()(0)f xxx x，xg xxe，ln0h xxx x的零点为yx与(0)yx x，xye，ln0yx x 的交点，数形结合，即得解.【题目详解】函数()(0)f xxx x，xg xxe，ln0h xxx x的零点，即为yx与(0)yx x，xye，ln0yx x 的交点，作出yx与(0)yx x，xye，ln0yx x 的图象，如图所示，可知231xxx 故选：C【答案点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.7、B【答案解析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【题目详解】1可能的取值为0,1,2；2可能的取值为0,1，1409P，1129P，141411999P，故123E，22214144402199999D.22 1103 23P，22 1 2213 23P，故223E，2221242013399D,故12EE，12DD.故选 B.【答案点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.8、B【答案解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案.【题目详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10 xy时，810zab有最大值为40，即81040zab，故4520ab.511511254194525252 1002020204baabababab.当254baab，即104,33ab时等号成立.故选：B.【答案点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.9、B【答案解析】利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断.【题目详解】由于0.20110122，1210.2515，1133log 2log 10 故bac.故选：B.【答案点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.10、D【答案解析】确定 nc中前 35 项里两个数列中的项数，数列2 n中第 35 项为 70，这时可通过比较确定3 n中有多少项可以插入这 35 项里面即可得，然后可求和【题目详解】35n 时，2 3570,370,3nn，所以数列 nc的前 35 项和中，3n有三项 3，9，27，2n有 32 项，所以1233532 31.392732 2210952cccc 故选：D【答案点睛】本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前n项和公式是解题基础 解题关键是确定数列 nc的前 35 项中有多少项是2 n中的，又有多少项是3 n中的 11、A【答案解析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B的值，再利用正弦定理可求得sinbA的值.【题目详解】sinsinsinsinbcabAABC，由正弦定理得bcabaabc，整理得222acbac，由余弦定理得2221cos22acbBac，0B，3B.由正弦定理sinsinabAB得3sinsin1 sin32bAaB.故选：A.【答案点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.12、C【答案解析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.【题目详解】因为2222(1)za iaiaai 为正实数，所以20a且210a ，解得1a.故选：C【答案点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、1【答案解析】以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,P x y,根据3,21PAPC求出P的坐标,进而求得PB PD即可.【题目详解】解：连接,AC BD设,AC BD交于点,O以点O为原点,分别以直线,OC OD为,x y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则：2 3 0,2 3()0020 2()(),ACBD，,，,，设,P x y 321,PAPC,22222 392 321xyxy 得,8 312,x 解得32x ,32y,33,22P或3 3,22P,显然得出的PB PD是定值,取3 3,22P 则373 1,2222PBPD,37144PB PD 故答案为：1【答案点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.14、2【答案解析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出a的值【题目详解】解：若1205()3ax dx，则31015|33axx，即1533a，所以2a 故答案为：2【答案点睛】本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 15、4【答案解析】先对函数 f（x）求导，再根据图象在（0，f（0）处切线的斜率为4，得 f（0）4，由此可求 a 的值.【题目详解】由函数 28xf xaexx得 28xfxaex，函数 f（x）的图象在（0，f（0）处切线的斜率为4，084fa ，4a.故答案为 4【答案点睛】本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题 16、18【答案解析】根据系统抽样的定义和方法,所抽取的 4 个个体的编号成等差数列,故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号.【题目详解】解：根据系统抽样的定义和方法,所抽取的 4 个个体的编号成等差数列,已知其中三个个体的编号为 5,31,44,故还有一个抽取的个体的编号为 18,故答案为:18【答案点睛】本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）存在点P满足题意，且34PA，证明详见解析；（）1119.【答案解析】（）可考虑采用补形法，取11AC的中点为F，连接EFAFDF，可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证BD 平面1ACC，即BDAF，若能证明AFPD，则可得证，可通过RtPADRtADF 我们反推出点P对应位置应在34PA处，进而得证；（）采用建系法，以D为坐标原点，以DBDCDF，分别为xyz，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应法向量，再结合向量夹角公式即可求解；【题目详解】（）存在点P满足题意，且34PA.证明如下：取11AC的中点为F，连接EFAFDF，.则11EFABAB，所以AF 平面ABE.因为ABBCD，是AC的中点，所以BDAC.在直三棱柱111ABCABC中，平面ABC 平面1ACC，且交线为AC，所以BD 平面1ACC，所以BDAF.在平面1ACC内，32APADADDF，90PADADF，所以RtPADRtADF，从而可得AFPD.又因为PDBDD，所以AF 平面PBD.因为AF 平面ABE，所以平面PBD平面ABE.（）如图所示，以D为坐标原点，以DBDCDF，分别为xyz，轴建立空间直角坐标系.易知0,0,0D，1,0,02B，30,02A，13,144E，所以13,044BE，13,022AB，1,0,02DB.设平面ABE的法向量为(,)mx y z，则有 130,44130.22m BExyzm ABxy 取2y，得2 3,2,3m .同理可求得平面BDE的法向量为0,4,3n.则8311cos,191243163m nm nm n.由图可知二面角ABED为锐角，所以其余弦值为1119.【答案点睛】本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题 18、（1）25（2）22.5（3）见解析，249200【答案解析】（1）根据频数计算频率，得出概率；（2）根据优惠标准计算平均利润；（3）求出各种情况对应的X的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望【题目详解】解：（1）估计 1 位会员至少消费两次的概率25 10521005p；（2）第 1 次消费利润60 0.953027；第 2 次消费利润60 0.903024；第 3 次消费利润60 0.853021；第 4 次消费利润60 0.803018；这 4 次消费获得的平均利润：272421 1822.54（3）1 次消费利润是 27，概率是35；2 次消费利润是272425.52，概率是14；3 次消费利润是272421243，概率是110；4 次消费利润是22.5，概率是120；由题意：390,3,22X 3311111187(0)554410102020200P X 33111119()2()254410102025P X 311129(3)2()510420200P X 9313()2252050P X 故分布列为：X 0 32 3 92 P 87200 925 29200 350 期望为:87392993249()03200225200250200E X 【答案点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题 19、（1）8125（2）（i）9100（ii）分布列见解析，21()20E X 【答案解析】（1）先计算甲、乙、丙同学分别选择 D 高校的概率，利用事件的独立性即得解；（2）（i）分别计算每个事件的概率，再利用事件的独立性即得解；（ii）0,1,2,3X，利用事件的独立性，分别计算对应的概率，列出分布列，计算数学期望即得解.【题目详解】（1）甲从,A B C D E五所高校中任选 2 所，共有,AB AC AD AE BC BD,BE CD CE DE共 10 种情况，甲、乙、丙同学都选D高校，共有,AD BD CD DE四种情况，甲同学选D高校的概率为42105，因此乙、丙两同学选D高校的概率为25,因为每位同学彼此独立，所以甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率为3285125（2）（i）甲同学必选A校且选D高校的概率为14，乙未选D高校的概率为63105，丙未选D高校的概率为63105，因为每位同学彼此独立，所以甲同学选D高校且乙、丙都未选D高校的概率为1339455100（ii）0,1,2,3X，因此33327(0),(1)455100P XP X13332392,45545520 1231323226(2)45545545525P X，1221(3)45525P X 即X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27100 920 625 125 因此数学期望为 2796121()012310020252520E X 【答案点睛】本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望，考查了学生综合分析，概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于中档题.20、（）3；（）25 312.【答案解析】()函数2()sin()2cos1366xxf x，利用和差公式和倍角公式，化简即可求得；()由()知函数()3sin()3f xx，根据点,02B是函数()yf x图象的一个对称中心，代入可得B，利用余弦定理、基本不等式的性质即可得出.【题目详解】()2()sin()2cos1366xxf x 1 cos3sincoscossin2136362xxx 33sincos2323xx3sin()33x()f x的最大值为3,()f x最小正周期为2 3 ()由题意及（）知()3sin()3f xx，23sin()0233BB 22222251cos222acbacBacac,222525225,3acacacac 故1325 3sin2412ABCSacBac 故ABC的面积的最大值为25 312.【答案点睛】本题考查三角函数的和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档基础题.21、（1）35（2）45【答案解析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间20，25）和最高气温低于 20 的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率（2）当温度大于等于 25时，需求量为 500，求出 Y900 元；当温度在20，25）时，需求量为 300，求出 Y300 元；当温度低于 20时，需求量为 200，求出 Y100 元，从而当温度大于等于 20 时，Y0，由此能估计估计 Y 大于零的概率【题目详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间20，25）和最高气温低于 20 的天数为 2+16+3654，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关 如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶，如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶，如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶，六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 p543905（2）当温度大于等于 25时，需求量为 500，Y4502900 元，当温度在20，25）时，需求量为 300，Y3002（450300）2300 元，当温度低于 20时，需求量为 200，Y400（450200）2100 元，当温度大于等于 20 时，Y0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于 20的天数有：90（2+16）72，估计 Y 大于零的概率 P724905【答案点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题 22、（1）见解析（2）155【答案解析】（1）利用面面垂直的性质定理证得CD 平面BPC，由此证得DCBP，根据圆的几何性质证得BPPC，由此证得BP 平面DCP.（2）判断出三棱锥DBPC的体积最大时P点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面BPD和平面EPD的法向量，计算出二面角BPDE的余弦值.【题目详解】（1）证明：因为平面ABCD 平面,BPC ABCD是正方形，所以DC 平面BPC.因为BP 平面BPC，所以DCBP.因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BPPC.又DCPCC，所以BP 平面DCP.（2）解：显然，当点P位于BC的中点时，BCP的面积最大，三棱锥DBPC的体积也最大.不妨设2BC，记AD中点为G，以E为原点，分别以,EB EP EG的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0)EBDP，(2,0,2),(1,0,2),(1,1,2)BDEDPD 设平面BDP的法向量为111,mx y z，则11111220,20,BD mxzPD mxyz 令11x，得(1,1,1)m.设平面DEP的法向量为222,nxy z，则2222220,20,ED nxzPS nxyz 令22x，得(2,0,1)n，所以2 115cos,|535m nm nm n.由图可知，二面角BPDE为锐角，故二面角BPDE的余弦值为155.【答案点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.