黑龙江省大庆一中2023学年高考全国统考预测密卷数学试卷(含解析).pdf

2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若0,0 xy，则“22 2xyxy”的一个充分不必要条件是 Axy B2xy C2x 且1y Dxy或1y 2某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了 200 分到 450 分之间的 2000 名学生的成绩，并根据这 2000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在250，350内的学生人数为（）A800 B1000 C1200 D1600 3 国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的 2018 年 10 月份至 2019 年 9 月份共 12 个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（）A12 个月的 PMI 值不低于 50%的频率为13 B12 个月的 PMI 值的平均值低于 50%C12 个月的 PMI 值的众数为 49.4%D12 个月的 PMI 值的中位数为 50.3%4设复数z满足2zizi（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5已知 na为等比数列，583aa，4918a a ，则211aa（）A9 B9 C212 D214 6已知01ab，则（）A111bbaa B211bbaa C11abab D11abab 7若函数 lnf xxxh，在区间1,ee上任取三个实数a，b，c均存在以 f a，f b，f c为边长的三角形，则实数h的取值范围是（）A11,1e B11,3ee C11,e D3,e 8已知函数()log(|2|)(0af xxa a，且1a)，则“()f x在(3,)上是单调函数”是“01a”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9已知函数2()35f xxx，()lng xaxx，若对(0,)xe，12,(0,)x xe且12xx，使得()()(1,2)if xg xi，则实数a的取值范围是（）A1 6,e e B741,ee C74160,eee D746,ee 10已知,m n为两条不重合直线，,为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（）Amn mn,Bmn mn,Cmn m,n Dmn m,n,11函数22()2cos(sincos)2f xxxx的一个单调递增区间是（）A,4 4 B3,88 C5,88 D59,88 12已知数列 na为等差数列，nS为其前n项和，56104aaa，则21S（）A7 B14 C28 D84 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量(2,1)a ，(1,)mb，若向量a b与向量a平行，则实数m _ 14 双曲线222210,0 xyabab的左焦点为12,0F，点0,5A，点 P 为双曲线右支上的动点，且1APF周长的最小值为 8，则双曲线的实轴长为_，离心率为_.15函数 1 2xf x 的定义域是_ 16设函数2()36f xxx 在区间,a b上的值域是 9,3，则ba的取值范围是_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cossinxy（为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()26.（1）求曲线1C的普通方程与曲线2C的直角坐标方程；（2）设,A B为曲线1C上位于第一，二象限的两个动点，且2AOB，射线,OA OB交曲线2C分别于,D C，求AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积.18（12 分）已知不等式2112xx 的解集为|x axb.（1）求实数ab，的值；（2）已知xyz存在实数k使得324abkxyyzxz恒成立，求实数k的最大值.19（12 分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内 100 天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如下：AQI 0,50 50,100 100,150 150,200 200,250 250,300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 6 14 18 27 25 10（1）从空气质量指数属于0,50，50,100的天数中任取 3 天，求这 3 天中空气质量至少有 2 天为优的概率；（2）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为0,0100,220,100250,1480,250300,xyxx，试估计该企业一个月（按 30 天计算）的经济损失的数学期望.20（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABCBAD90，ADAP4，ABBC2，M 为PC 的中点 （1）求异面直线 AP，BM 所成角的余弦值；（2）点 N 在线段 AD 上，且 AN，若直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为45，求 的值 21（12 分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有 n（nN）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验 n 次；（2）混合检验，将其中 k（kN且2k）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为1k 次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 p（01p）.（1）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过 2 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中 k（kN且2k）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2.（i）试运用概率统计的知识，若12EE，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf k；（ii）若311ep ，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值.参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln41.3863，ln51.6094，ln61.7918 22（10 分）已知抛物线21:20Cxpy p和圆222:12Cxy，倾斜角为 45的直线1l过抛物线1C的焦点，且1l与圆2C相切（1）求p的值；（2）动点M在抛物线1C的准线上，动点A在1C上，若1C在A点处的切线2l交y轴于点B，设MNMAMB求证点N在定直线上，并求该定直线的方程 2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】0,0 xy，22 2xyxy，当且仅当2xy 时取等号.故“2,x 且1y ”是“22 2xyxy”的充分不必要条件.选 C 2、B【答案解析】由图可列方程算得 a，然后求出成绩在250,350内的频率，最后根据频数=总数频率可以求得成绩在250,350内的学生人数.【题目详解】由频率和为 1，得(0.0020.00420.002)501a，解得0.006a，所以成绩在250,350内的频率(0.0040.006)500.5，所以成绩在250,350内的学生人数20000.51000.故选：B【答案点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.3、D【答案解析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.【题目详解】对 A，从图中数据变化看，PMI 值不低于 50%的月份有 4 个，所以 12 个月的 PMI 值不低于 50%的频率为41123，故 A 正确；对 B，由图可以看出，PMI 值的平均值低于 50%，故 B 正确；对 C，12 个月的 PMI 值的众数为 49.4%，故 C 正确，；对 D，12 个月的 PMI 值的中位数为 49.6%，故 D 错误 故选：D.【答案点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.4、A【答案解析】由复数的除法运算可整理得到z，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.【题目详解】由2zizi得：2121 313111222iiiiziiii，z对应的点的坐标为1 3,2 2，位于第一象限.故选：A.【答案点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.5、C【答案解析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211aa.【题目详解】4958,495818a aa a,又583aa,可解得5863aa 或5836aa 设等比数列 na的公比为q,则 当5863aa 时,38512aqa,3521183612131222aaaa qq ；当5836aa 时,3852aqa,35211833216222aaaa qq .故选：C【答案点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.6、D【答案解析】根据指数函数的单调性，即当底数大于 1 时单调递增，当底数大于零小于 1 时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.【题目详解】因为01a，所以011a，所以1xya是减函数，又因为01b，所以1bb，2bb，所以111bbaa，211bbaa，所以 A,B 两项均错；又1 11ab ，所以111aababb，所以 C 错；对于 D，111abbaab，所以11abab，故选 D.【答案点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和 0 比，作商和 1 比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.7、D【答案解析】利用导数求得 f x在区间1,ee上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h的取值范围.【题目详解】f x的定义域为0,，111xfxxx ，所以 f x在1,1e上递减，在1,e上递增，f x在1x 处取得极小值也即是最小值，1ln1 11fhh ，1111ln1fhheeee ，ln1f eeeheh ，1ff ee，所以 f x在区间1,ee上的最大值为 1f eeh .要使在区间1,ee上任取三个实数a，b，c均存在以 f a，f b，f c为边长的三角形，则需 f af bf c恒成立，且 10f，也即 maxminf af bf c，也即当1ab、ce时，21eff成立，即2 11heh ，且 10f，解得3he.所以h的取值范围是3,e.故选：D【答案点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.8、C【答案解析】先求出复合函数()f x在(3,)上是单调函数的充要条件，再看其和01a的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案.【题目详解】()log(|2|)(0af xxa a，且1a)，由20 xa得2xa或2xa，即()f x的定义域为2x xa或2xa，（0,a 且1a）令2txa，其在(,2)a单调递减，(2,)a单调递增，()f x在(3,)上是单调函数，其充要条件为2301aaa 即01a.故选：C.【答案点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.9、D【答案解析】先求出 f x的值域，再利用导数讨论函数 g x在区间0,e上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.【题目详解】因为 g xaxlnx，故 1axgxx，当0a 时，0gx，故 g x在区间0,e上单调递减；当1ae时，0gx，故 g x在区间0,e上单调递增；当10,ae时，令 0gx，解得1xa，故 g x在区间10,a单调递减，在区间1,ea上单调递增.又 11,1aglna g eae，且当x趋近于零时，g x趋近于正无穷；对函数 f x，当0,xe时，11,54fx；根据题意，对(0,)xe，12,(0,)x xe且12xx，使得()()(1,2)if xg xi成立，只需 111,54gg ea，即可得111,154alnae，解得746,aee.故选：D.【答案点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.10、D【答案解析】根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【题目详解】对于 A，当/mn，m，n时，则平面与平面可能相交，/，故不能作为的充分条件，故 A 错误；对于 B，当/mn，m，n时，则/，故不能作为的充分条件，故 B 错误；对于 C，当mn，/m，/n时，则平面与平面相交，/，故不能作为的充分条件，故 C 错误；对于 D，当mn，m，n，则一定能得到，故 D 正确.故选：D.【答案点睛】本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.11、D【答案解析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简 f x表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得 f x的单调区间，由此确定正确选项.【题目详解】因为22()2cos(sincos)2f xxxx 1cos21 sin222sin 24xxx ，由()f x单调递增，则222242kxk（kZ），解得388kxk（kZ），当1k 时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A，B 选项中有部分增区间部分减区间.故选：D【答案点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.12、D【答案解析】利用等差数列的通项公式，可求解得到114a，利用求和公式和等差中项的性质，即得解【题目详解】56104aaa，111111465adadad 解得114a 121211121()21842aaSa 故选：D【答案点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、12【答案解析】由题可得(1,1)m ab，因为向量a b与向量a平行，所以2(1)1(1)0m ，解得12m 14、2 2 【答案解析】设双曲线的右焦点为22,0F，根据1APF周长为11223PFPAAFAFa，计算得到答案.【题目详解】设双曲线222210,0 xyabab的右焦点为22,0F.1APF周长为：11222323628PFPAAFPFaPAAFaa.当2APF共线时等号成立，故1a，即实轴长为22a，2cea.故答案为：2；2.【答案点睛】本题考查双曲线周长的最值问题，离心率，实轴长，意在考查学生的计算能力和转化能力.15、,0【答案解析】由120 x，得21x，所以0 x，所以原函数定义域为,0，故答案为,0.16、2,4.【答案解析】2()36f xxx 配方求出顶点，作出图像，求出()9f x 对应的自变量，结合函数图像，即可求解.【题目详解】22()363(1)3f xxxx ，顶点为(1,3)因为函数的值域是 9,3，令2369 xx，可得1x 或3x.又因为函数2()36f xxx 图象的对称轴为1x，且(1)3f，所以ba的取值范围为2,4.故答案为:2,4.【答案点睛】本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2213xy；340 xy（2）AOB面积的最小值为34；四边形的面积为294【答案解析】（1）将曲线1C消去参数即可得到1C的普通方程，将cosx，siny代入曲线2C的极坐标方程即可；（2）由（1）得曲线1C的极坐标方程，设1,()A，2(,)2B，3(,)D，4(,)2C 利用方程可得22121143，再利用基本不等式得22121221143，即可得121324AOBS，根据题意知ABCDCODAOBSSS，进而可得四边形ABCD的面积.【题目详解】（1）由曲线1C的参数方程为3cossinxy（为参数）消去参数得2213xy 曲线2C的极坐标方程为sin()26，即sincoscossin266，所以，曲线2C的直角坐标方程340 xy.（2）依题意得1C的极坐标方程为2222cossin13 设1,()A，2(,)2B，3(,)D，4(,)2C 则222211cossin13，222222sincos13，故22121143 22121221143，当且仅当12（即4）时取“=”，故121324AOBS，即AOB面积的最小值为34.此时34112222sin()cos()4646CODS 48cos3，故所求四边形的面积为329844ABCDCODAOBSSS.【答案点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18、（1）243ab，；（2）4【答案解析】（1）分类讨论，求解 x 的范围，取并集，得到绝对值不等式的解集，即得解；（2）转化原不等式为：11kxyyzxyyz，利用均值不等式即得解.【题目详解】（1）当1x 时不等式可化为 2112xxx 当112x时，不等式可化为 21211232xxx；当12x 时，不等式可化为1211242xxx；综上不等式的解集为224433ab，.（2）由（1）有23a ，4b，324abkxyyzxz（）（）11kxyyzxz，xyz 112xyyzkxyyzxyyzyzxy（），即2minxyyzkyzxy 而24xyyzyzxy 当且仅当：xyyzyzxy，即xyyz，即2xzy时等号成立 4k，综上实数k最大值为 4.【答案点睛】本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.19、（1）23114 （2）9060 元【答案解析】(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2)任选一天，设该天的经济损失为X元，分别求出0P X，220P X，1480P X，进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.【题目详解】解：（1）设为选取的 3 天中空气质量为优的天数，则 223PPP213061461433202023114C CC CCC.（2）任选一天，设该天的经济损失为X元，则X的可能取值为 0，220，1480，201001001005P XPx，70722010025010010P XPx，101148025030010010P XPx，所以1710220148030251010EX（元），故该企业一个月的经济损失的数学期望为309060EX（元）.【答案点睛】本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.20、（1）63.（2）1【答案解析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量BM和向量AP的坐标，再利用线线角的向量方法求解.（2，由 AN，设 N(0，0)(04)，则MN(1，1，2)，再求得平面 PBC 的一个法向量，利用直线 MN与平面 PBC 所成角的正弦值为45，由|cosMN，m|MNMNmm2|22|5(1)5 45求解.【题目详解】（1）因为 PA平面 ABCD，且 AB，AD平面 ABCD，所以 PAAB，PAAD.又因为BAD90，所以 PA，AB，AD 两两互相垂直 分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则由 AD2AB2BC4，PA4 可得 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)又因为 M 为 PC 的中点，所以 M(1，1，2)所以BM(1，1，2)，AP(0，0，4)，所以 cosAP，BM|AP BMAPBM 0(1)0 14 246 63，所以异面直线 AP，BM 所成角的余弦值为63.（2）因为 AN，所以 N(0，0)(04)，则MN(1，1，2)，BC(0，2，0)，PB(2，0，4)设平面 PBC 的法向量为m(x,y,z)，则00m BCm PB即20240yxz 令 x2，解得 y0，z1，所以m(2，0，1)是平面 PBC 的一个法向量 因为直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为45，所以|cosMN，m|MNMNmm2|22|5(1)5 45，解得 10，4，所以 的值为 1.【答案点睛】本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，线面角的求法及应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21、（1）110（2）（i）111kpf kk（kN，且2k）.（ii）最大值为 4.【答案解析】（1）设恰好经过 2 次检验能把阳性样本全部检验出来为事件 A,利用古典概型、排列组合求解即可；（2）（i）由已知得1Ek,2的所有可能取值为 1,1k,则可求得21P,21Pk,即可得到 2E,进而由 12EE可得到 p 关于 k 的函数关系式；（ii）由 12EE可得11kpk,推导出1ln3kk,设 1ln3f xxx（0 x）,利用导函数判断 f x的单调性,由单调性可求出k的最大值【题目详解】（1）设恰好经过 2 次检验能把阳性样本全部检验出来为事件 A,则 232355A A1A10P A,恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为110（2）（i）由已知得1Ek,2的所有可能取值为 1,1k,211kPp,2111kPkp,211 1111kkkEpkpkkp,若 12EE,则11kkkkp,则11kpk,111kpk,111kpk,p 关于 k 的函数关系式为 111kpf kk（kN,且2k）（ii）由题意知 12EE,得11kpk,311ep ,311ekk,1ln3kk,设 1ln3f xxx（0 x）,则 113fxx,令 0fx,则13x,当3x 时,0fx,即 f x在3,上单调增减,又ln41.3863,41.33333,4ln43,又ln51.6094,51.66673,5ln53,k 的最大值为 4【答案点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性 22、（1）6p；（2）点N在定直线3y 上【答案解析】（1）设出直线1l的方程为2pyx，由直线和圆相切的条件：dr，解得p；（2）设出(,3)M m，运用导数求得切线的斜率，求得A为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N在定直线上；【题目详解】解：（1）依题意设直线1l的方程为2pyx，由已知得：圆222:(1)2Cxy的圆心2(1,0)C，半径2r，因为直线1l与圆2C相切，所以圆心到直线1:2plyx的距离221221(1)pd ，即1222p，解得6p或2p （舍去）所以6p；（2）依题意设(,3)M m，由（1）知抛物线1C方程为212xy，所以212xy，所以6xy，设11(,)A x y，则以A为切点的切线2l的斜率为16xk，所以切线2l的方程为1111()6yx xxy 令0 x，211111111266yxyyyy ，即2l交y轴于B点坐标为1(0,)y，所以11(,3)MAxm y，1(,3)MBmy，12,6MNMAMBxm，1(,3)ONOMMNxm 设N点坐标为(,)x y，则3y，所以点N在定直线3y 上【答案点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于综合题