2023届新高考数学真题解析几何专题讲义第23讲解析几何同构.pdf

2023 届新高考数学真题解析几何专题讲义届新高考数学真题解析几何专题讲义第第 23 讲讲同构式的解同构式的解题赏析题赏析高考链接：高考链接：1.【2011 年浙江理 21】已知抛物线1:C2xy，圆2:C22(4)1xy的圆心为点M.（）求点M到抛物线1C的准线的距离；（）已知点P是抛物线1C上一点（异于原点），过点P作圆2C的两条切线，交抛物线1C于,A B两点，若过,M P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程.解析：解析：（I）由题意可知，抛物线的准线方程为：1,4y 所以圆心(0,4)M到准线的距离是17.4（II）设222001122(,),(,),(,)P xxA x xB xx，则题意得00120,1,xxxx，设过点P的圆2C的切线方程为200()yxk xx，即200ykxkxx则2002|4|1,1kxxk即222220000(1)2(4)(4)10 xkxxkx，设PA，PB的斜率为1212,()k kkk，则12,k k是上述方程的两根，所以222000121222002(4)(4)1,.11xxxkkk kxx将代入2yx,得22000 xkxkxx由于0 x是此方程的根，故110220,xkxxkx，所以222200012121200212002(4)422,.1ABMPxxxxxkxxkkxx kxxxx由MPAB，得2200002002(4)4(2)(1)1ABMPxxxkkxxx，解得2023,5x 即点P的坐标为23 23(,)55，所以直线l的方程为3 1154.115yx 2.【2018 年浙江 21】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上（）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（）若P是半椭圆x2+24y=1(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围解析：解析：（）设00(,)P xy，211(,)4yAy，222(,)4yBy，则PA中点为20011(,)282xyyy，由AP中点在抛物线上，可得220101()4()228yyxy，化简得2210100280yy yxy，显然21yy，且对2y也有2220200280yy yxy，所以12,y y是二次方程22000280yy yxy的两不等实根，所以1202yyy，1202MPyyyyy，即PM垂直于x轴.（）121()(|)2MPMMSxxyyyy0121()|2Mxxyy，由（1）可得1202yyy，212008y yxy，2220000012(2)4(8)8(4)0()yxyyxyy，此时00(,)P xy在半椭圆221(0)4yxx上，2220000008(4)84(1)432(1)yxxxxx，010 x，0，22120000|32(1)4 2(1)|yyxxxxa，2222220000121212000042(8)6(44)()2|38888MPyxyxyyyyy yxxxxxx2003(1)xx，所以22301200001()|6 2(1)16 22MSxxyyxxxxt，200511,2txx，所以315 106 26 2,4St，即PAB的面积的取值范围是15 106 2,4.模考链接：模考链接：1.如图，已知抛物线C：24yx，直线l过点4(,0)5P 与抛物线C交于第一象限内两点,A B，设,OA OB的斜率分别为12,k k.()求12kk的取值范围；()若直线,OA OB恰好与圆Q:222(1)(2)(0)xyrr相切，求r的值.解析：解析：()设l：4,(0)5xtyt，代入24yx，得216405yty，2641605t，得25t.设221212(,),(,)44yyAyBy，则124yyt，12165y y 121212124()4452 5yykktyyy y，所以12kk的取值范围是2 5,.()由()知1211165k ky y，设过原点且与圆相切的直线为ykx，则221krk，整理得2221440rkkr，2122451rk kr，得214r，所以12r.2.已知椭圆C：222231xyaa(0)a，点,P Q R在椭圆C上，点R到直线,OP OQ的距离均等于2a.直线,OP OQ的斜率分别为12,k k.()求12k k的值；()证明：223OP OQa.解析：解析：()设00(,)R xy，因为直线OP：1yk x，OQ：2yk x，所以0021121ykxak，化简得22222011000112044xakk x yya同理22222022000112044xakk x yya所以12,k k是方程222220000112044xakx y kya的两个不相等的实数根，由韦达定理得，220122201414yak kxa因为点00(,)R xy在椭圆C上，所以22002231xyaa，即22200133ayx，所以2222200122222001111334411344axayak kxaxa()设1122(,),(,)P x yQ xy，12310k k ，即1212310y yx x，即2222121219y yx x因为1122(,),(,)P x yQ xy在椭圆C上，所以2211222222223131xyaaxyaa，即2221122221133133ayxayx222222121211133339aaxxx x，整理得22212xxa，所以222222212121133333aaayyxx，所以22243aOPOQ223aOP OQ.3.【2019 届 9+1 联盟期中考试】已知抛物线C：24yx上动点11(,)P x y，点A在射线:280(0)l xyy上，满足PA的中点Q在抛物线C上()若直线PA的斜率为 1，求点P的坐标；()若射线l上存在不同于A的另一点B，使得PB的中点也在抛物线C上，求AB的最大值解析：解析：()设直线PA的方程为yxb，则(82,8)Abb，设22(,)Q xy，由2,4,yxbyx得，所以16 160b，1b，12124,4,yyy yb又1282,yby解得11220,240,84,12.bbyyyy ，或，经检验都是方程的解，所以(0,0)P或(16,8).()设11(28,)A tt，22(28,)Btt，12,0t t，则由PA的中点21111(4,)82ytyQt在抛物线C上，可得221111()4(4)28tyyt，整理得221111(216)640tyty，同理222121(216)640tyty，所以是方程2211(216)640tyty的两个不相等的非负根，所以221112121 21(216)4(64)0,1620,640,yyttyt ty 所以180y.所以2121152 5 21632 5ABttyy，当且仅当18y 时，取“=”号.所以AB的最大值为32 5.4.【2018 金华十校 4 月模拟】已知抛物线2yx和C，过抛物线上的一点000(,)(1)P xyy，作C的两条切线，与y轴分别相交于A，B两点.（）若切线PB过抛物线的焦点，求直线PB斜率；（）求面积ABP的最小值.解析：解析：（）抛物线的焦点为1,04F，设切线PB的斜率为k，则切线PB的方程为：14yk x，即104kxyk.21(1)1 0411kkk ，解得：43k .000(,)(1)P xyy，43k.（）设切线方程为ykxm，由点P在直线上得：00ymkx圆心C到切线的距离211kmk，整理得：2210mkm 将代入得：2000(2)20 xmy mx设方程的两个根分别为1m，.，由韦达定理得：012022ymmx，01202xm mx，从而2121212()4ABmmmmm m2002032(2)xxx，2000020312(2)ABPxxSAB xxx22000020(3)(1)(2)xxxxx.记函数222(3)()(1)(2)xxxg xxx，则，.，ABPS的最小值为23，当01x 取得等号.5【2018 浙江省名校协作体试题】如图，已知抛物线21:2Cxpy的焦点在抛物线22:1Cyx上，点P是抛物线1C上的动点（）求抛物线1C的方程及其准线方程；来源:学.科（）过点.作抛物线2C的两条切线，,A B分别为两个切点，求PAB面积的最小值解析：解析：（）1C的方程为24xy,其准线方程为1y （）设),2(2ttP，11(,)A x y，22(,)B xy，则切线PA的方程：1112()yyx xx，即211122yx xxy，又2111yx，所以.，同理切线PB的方程为2222yx xy，又PA和PB都过.点，所以211222420420txyttxyt，所以直线AB的方程为2420txyt.联立.得22410 xtxt，所以1221241xxtxxt。所以222121 161 16124ABtxxtt点P到直线AB的距离222222|82|6+21 161 16ttttdtt所以PAB的面积3222212 31312 312SAB dttt所以当0t 时，S取最小值为2。即PAB面积的最小值为2第第 24 讲讲蒙日圆及其证明和应用蒙日圆及其证明和应用高考题高考题（2014 年高考广东卷文科、理科第 20 题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为(5,0)，离心率为53（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点00(,)P xy为椭圆ABCD外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程答案：(1)22194xy；(2)2213xy这道高考题的背景就是蒙日圆普通高中课程标准实验教科书数学 2必修A 版(人民教育出版社，2007 年第 3 版，2014 年第 8 次印刷)第 22 页对画法几何的创始人蒙日(GMonge，1745-1818)作了介绍以上高考题第(2)问的一般情形是定理定理 1曲线1:2222byax的两条互相垂直的切线的交点 P 的轨迹是圆2222bayx定理 1 的结论中的圆就是蒙日圆先给出定理 1 的两种解析几何证法：定理定理 1 的的证法证法 1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为 0 时，可得点 P 的坐标是),(ba，或),(ba 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0 时，可设点 P 的坐标是,)(,(000axyx且)0by，所以可设曲线的过点 P 的切线方程是)0)(00kxxkyy由)(1002222xxkyybyax，得0)()(2)(2220020022222baykxaxykxkaxbka由其判别式的值为 0，得)0(02)(220220002220axbykyxkax因为PBPAkk,是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以220220axbykkPBPA由此，得2220201bayxkkPBPA进而可得欲证成立定理定理 1 的的证法证法 2当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为 0 时，可得点 P 的坐标是),(ba，或),(ba 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0 时，可设点 P 的坐标是,)(,(000axyx且)0by，所以可设两个切点分别是)0)(,(),(21212211yyxxyxByxA得直线1:2020byyaxxAB，切线1:,1:22222121byyaxxPBbyyaxxPA所以：2121221121421422221212,xxyyxyxykkyyaxxbyaxbyaxbkkOBOAPBPAPBPAOBOAkkabkk44因为点)2,1)(,(iyxii既在曲线1:2222byax上又在直线1:2020byyaxxAB上，所以220202222byyaxxbyaxii0)(2)(2204002222204axbxyyxbaxybyaiiii所以PBPAOBOAkkabbyaaxbxxyykk44220422042121)()(220220axbykkPBPA由此，可得222020bayxPBPA进而可得欲证成立再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理引理引理 1(椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-1A 版(人民教育出版社，2007 年第 2 版，2014 年第 1 次印刷)第 76 页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图 1 所示)证明证明如图 2 所示，设P为椭圆(其左、右焦点分别是21,FF)上任意给定的点，过点P作21PFF的外角平分线所在的直线)43(l先证明l和相切于点P，只要证明l上异于P的点P都在椭圆的外部，即证2121PFPFFPFP：图 2在直线1PF上选取点F，使2PFFP，得FPP2PFP，所以2FPFP，还得2111121PFPFFPPFFFFPFPFPFP再过点P作21PFF的平分线(12)PA ，易得lPA，入射角等于反射角，这就证得了引理 1 成立引理引理 2过椭圆(其中心是点 O，长半轴长是a)的任一焦点 F 作椭圆的任意切线l的垂线，设垂足是 H，则aOH 证明证明如图 3 所示，设点FF,分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的切线l上的切点，又设直线AFFH,交于点B图 3由引理 1，得BAHFlAFAH(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAHBAH，所以点H 是 FB 的中点，得 OH 是FBF 的中位线又ABAF，所以aAFAFABAFOH)(21)(21引理引理 3平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和证明证明由余弦定理可证(这里略去过程)引理引理 4设点P是矩形ABCD所在平面上一点，则2222PDPBPCPA证明证明如图 4 所示，设矩形ABCD的中心是点O图 4由引理 3，可得22222222)(2)(2PDPBOPOBOPOAPCPA即欲证成立注注把引理 4 推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等定理定理 1 的的证法证法 3可不妨设0,0ba当ba 时，易证成立下面只证明ba 的情形如图5所示 设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是21,FF，焦距是c2，过动点P的两条切线分别是PNPM,图 5连结OP，作PNOHPMOG,，垂足分别是HG,过点1F作PMDF1，垂足为D，由引理 2 得aOD 再作OGKF1于K记KOF1，得cos1cKFDG由 RtODG，得222222coscaDGODOG又作OHLFPNEF22,，垂足分别为LE,在 RtOEH中，同理可得222222sincaHEOEOH(1)若PNPM，得矩形OGPH，所以22222222222)sin()cos(bacacaOHOGOP(2)若222baOP，得222222222)sin()cos(OHOGcacaOP由PMOG，得222GPOGOP，所以OHGP 同理，有HPOG，所以四边形OGPH是平行四边形，进而得四边形OGPH是矩形，所以PNPM 由(1),(2)得点 P 的轨迹方程是2222bayx定理定理 1 的的证法证法 4可不妨设0,0ba当ba 时，易证成立下面只证明ba 的情形如图6所示 设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是21,FF，焦距是c2，过动点P的两条切线分别是PBPA,，两切点分别为BA,分别作右焦点2F关于切线PBPA,的对称点NM,，由椭圆的光学性质可得三点MAF,1共线(用反射角与入射角的余角相等)同理，可得三点NBF,1共线图 6由椭圆的定义，得aBFBFNFaAFAFMF2,2211211，所以11NFMF 由O是21FF的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OPcOPOFPFPFPMPF(1)若PBPA，得180)(22211BPFAPFNPFMPF，即三点NPM,共线又PNPFPM2，所以MNPF 1，进而得)(2422221212OPcPMPFMFa222baOP(2)若222baOP，得212222222214)(2)(2MFabacOPcPMPF所以PMPF 1同理，可得PNPF 1所以三点NPM,共线得90)(212222NPFMPFBPFAPFAPB，即PBPA 由(1),(2)得点 P 的轨迹方程是2222bayx定理定理 1 的的证法证法 5(该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0ba当ba 时，易证成立下面只证明ba 的情形如图 7 所示，设椭圆的中心是点 O，左、右焦点分别是21,FF，焦距是c2，过动点 P 的两条切线分别是PBPA,，切点分别是BA,设点1F关于直线PBPA,的对称点分别为21,FF，直线11FF与切线PA交于点G，直线21FF与切线PB交于点H图 7得1211,BFBFAFAF，再由椭圆的定义，得aFFFF22221，所以aOHOG因为四边形HPGF1为矩形，所以由引理 4 得2222212aOHOGOPOF，所以222baOP，得点 P的轨迹方程是2222bayx读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理定理 2(1)双曲线22221(0)xyabab的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222xyab；(2)抛物线22ypx的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线定理定理 3(1)椭圆22221(0)xyabab的两条斜率之积是22ba的切线交点的轨迹方程是22222xyab；(2)双曲线22221(0,0)xyabab的两条斜率之积是22ba的切线交点的轨迹方程是22222xyab定理定理 4过椭圆22222(0)xyabab上任一点00(,)P xy作椭圆22221xyab的两条切线，则(1)当0 xa 时，所作的两条切线互相垂直；(2)当0 xa 时，所作的两条切线斜率之积是22ba定理定理 5(1)椭圆22221(0)xyabab的两条斜率之积是(0)的切线交点的轨迹是：当1 时，即圆2222xyab(但要去掉四个点(,),(,)a bab)；当0且1 时，即椭圆2222221xybbaa(但要去掉四个点(,),(,)a bab)；当22ba 时，即两条直线byxa 在椭圆22221(0)xyabab外的部分(但要去掉四个点(,),(,)a bab)；当220ba时，即双曲线2222221yxbbaa在椭圆22221(0)xyabab外的部分(但要去掉四个点(,),(,)a bab)；当22ba时，即双曲线2222221xybaba在椭圆22221(0)xyabab外的部分(但要去掉四个点(,),(,)a bab)(2)双曲线22221(0)xyabab的两条斜率之积是(0)的切线交点的轨迹是：当1 时，即圆2222xyab；当0时，即双曲线2222221xybaba；当1 或221ba 时，即椭圆2222221xybaba；当220ba时，不存在(3)抛物线22ypx的两条斜率之积是(0)的切线交点的轨迹是：当0时，即直线2px；当0时，的方程为2ppxy例例(北京市海淀区 2015 届高三第一学期期末文科数学练习第 14 题)已知22:1O xy 若直线2ykx上总存在点P，使得过点P的O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是_解解(,11,)在图 8 中，若小圆(其圆心为点O，半径为r)的过点A的两条切线,AB AD互相垂直(切点分别为,E F)，得正方形AEOF，所以22OAOEr，即点A的轨迹是以点O为圆心，2r为半径的圆图 8由此结论可得：在本题中，点P在圆222xy上所以本题的题意即直线2ykx与圆222xy有公共点，进而可得答案注注本题的一般情形就是蒙日圆2给定椭圆2222:1(0)xyCabab，称圆心在原点O，半径为22ab的圆是椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为(2F，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为3（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线1l，2l交“准圆”于点M，N（）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线1l，2l的方程并证明12ll；（）求证：线段MN的长为定值并求该定值解：（1）2c，3a，221bac，椭圆方程为2213xy，准圆方程为224xy；（2）（）因为准圆224xy与y轴正半轴的交点为(0,2)P，设过点(0,2)P且与椭圆相切的直线为2ykx，所以由22213ykxxy得22(13)1290kxkx因为直线2ykx与椭圆相切，所以221444 9(13)0kk，解得1k ，所以直线1l、2l的方程为2yx和2yx ；且121k k ，12ll（）当直线1l，2l中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在，则1:3lx ，当1:3lx 时，1l与准圆交于点(3，1)和(3，1)，此时2l为1y（或1)y ，显然直线1l，2l垂直；同理可证当1:3lx 时，直线1l，2l垂直；当1l，2l斜率存在时，设点0(P x，0)y，其中22004xy；设经过点0(P x，0)y与椭圆相切的直线为00()yt xxy，所以由0022()13yt xxyxy，得2220000(13)6()3()30txt ytx xytx；由0化简整理得2220000(3)210 xtx y ty，因为22004xy，所以有2220000(3)2(3)0 xtx y tx；设1l，2l的斜率分别为1t和2t，因为1l，2l与椭圆相切，所以1t，2t满足上述方程2220000(3)2(3)0 xtx y tx，所以121t t ，即1l，2l垂直；综合知：因为1l，2l经过点0(P x，0)y，又分别交其准圆于点M、N，且1l，2l垂直；所以线段MN为准圆224xy的直径，|4MN，所以线段MN的长为定值3已知椭圆22221(0)xyabab，该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为3 3，离心率为12（1）求椭圆的方程；（2）如图，若矩形ABCD的四条边都与该椭圆相切，求矩形ABCD面积的最大值解：（1）由题意可得：1()23 32acb，12ca，222abc，联立解得2a，3b，1c 椭圆的方程为22143xy（2）令0(A x，0)y，当AB斜率为 0 或不存在时，可得8 3ABCDS当AB斜率存在且不为 0 时，设AB方程：00ykxykx代入椭圆方程可得：220034()12xkxkxy，化为：2220000(34)8()4()120kxk kxy xkxy，AB与椭圆相切，可得2222000064()4(34)4()120kkxykkxy，化为：222200002340k xkx yyk，同理可得AD与椭圆相切，可得22220000111()2()34()0 xx yykkk，化为：222200002340 xkx yk yk可得：22007xy即A点在以原点为圆心，7为半径的圆上ABCD为以原点为圆心，7为半径的圆的内接矩形，只有当ABCD为正方形时面积最大可得14ABCDS声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布4(2019 届永康 5 月模拟第 17 题)已知椭圆22:11xCymm，若存在过点1,2A且互相垂直的直线12,l l，使得12,l l与椭圆C均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是解：依据蒙日圆，椭圆22:11xCymm相对应的蒙日圆为221xym，只需点1,2A在圆外即可，故51m，即14m，故椭圆的离心率范围是3(0,)25已知椭圆22:14xCy，P为圆225xy上的一个动点，过P的切线于椭圆C相切与,A B两点，与圆相交于,C D两点。求证：/ABCD。【解答】由0022:1x xy yABab得2020ABxbkay，则22ABOPbkka，由椭圆的垂径定理得OP经过AB的中点M。又由蒙日圆性质可知，90APB，所以MAMBMP。同理OPOCOD。因此有PAMAPMCPOPCO ，所以/ABCD6.已知椭圆22:14xCy的两条切线相互垂直，则从中心到切点弦的距离，与二切线交点到切点弦的距离之积为常数【解析】设两条垂直切线交于点00(,)P xy，则由蒙日圆得点P的轨迹方程为22005xy，切点弦的方程为14:00yyxxAB，即04400yyxx，则中心到切点弦的距离为220012200|44|(4)xydxy，点P到切点弦的距离为222004(4)dxy，于是2222222000000012222222200000004|44|4|44|4|544|4|13|4=16165165155xyxyyyyddxyxyyyy为常数7已知点M是椭圆22221(0)xyabab两垂直切线的交点，点P是椭圆上一点，过点P的一条直线与点M轨迹相交于A，B两点，若存在点P，使得22PAPBab，则椭圆的离心率取值范围为解：根据题意得点M的轨迹为椭圆的蒙日圆，其方程为2222xyab，于是222()()PAPBAOOP BOOPabOP,可得22222abOPab，于是222OPb，因存在点P，可得2222OPba，化简得21222ee，又(0,1)e，所以2,1)2e