2023届新高考数学真题解析几何专题讲义第11讲圆锥曲线的光学性质及其应用.pdf

2023 届新高考数学真题解析几何专题讲义届新高考数学真题解析几何专题讲义第第 11 讲讲圆锥曲线的圆锥曲线的光学性质及其应用光学性质及其应用一、问题综述解析几何是用解析方法(代数方法)来处理几何问题，这并不意味着解析几何决不利用几何知识相反地，解析几何是将数与形有机地结合起来，所以总是或多或少地利用了一些几何知识 在适当的地方应用几何知识，往往使演算大为简化，这也是解析几何的一个重要技巧利用圆锥曲线的光学性质解题就是这类问题二、知识储备1.1 椭圆的光学性质椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；(见图见图 1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在1F处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于2F处，对2F处的物体加热.电影放映机的反光镜也是这个原理.证明：由导数可得切线l的斜率02020 x xb xkya y，而1PF的斜率010ykxc，2PF的斜率020ykxcl到1PF所成的角满足2002222220000012222001000200tan11yb xxca ya yb xb cxkkb x ykkabx ya cyxc a y，00,P x y在椭圆上，20tanbcy，同理，2PF到l所成的角满足2220tan1kkbkkcy，tantan，而,0,2，1.2 双曲线的光学性质双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图见图 1.2)双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用1.3 抛物线的光学性质抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴(如图如图 1.3)抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证.图 1.3F2F1图 1.2AF1F2DO图 1.1B三、性质转化及证明2.1 圆锥曲线的切线与法线的定义圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l与曲线C交于P，Q两点，当直线l连续变动时，P，Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P，Q重合为一点M，此时直线l称为曲线C在点M处的切线，过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线.此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化：2.2 圆锥曲线光学性质的证明圆锥曲线光学性质的证明预备定理预备定理 1.若点若点00(,)P xy是椭圆是椭圆22221xyab上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：00221x xy yab.证明：证明：由22221yxba 2222(1)xyba，1当xa 时，过点P的切线斜率k一定存在，且0|x xky，对式求导：2222byyxa，02020|x xb xkya y，切线方程为200020()b xyyxxa y，点00(,)P xy在椭圆22221xyab上，故2200221xyab，代入得00221x xy yab，而当xa 时，00y 切线方程为xa，也满足式，故00221x xy yab是椭圆过点00(,)P xy的切线方程.预备定理预备定理 2.若点若点00(,)P xy是双曲线是双曲线22221xyab上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：00221x xy yab证明：证明：由22221yxba2222(1)xyba，1当xa 时，过点P的切线斜率k一定存在，且0|x xky，对式求导：2222byyxa，02020|x xb xkya y，切线方程为200020()b xyyxxa y，点00(,)P xy在双曲线22221xyab上，故2200221xyab代入得00221x xy yab，而当xa 时，00y 切线方程为xa，也满足式，故00221x xy yab是双曲线过点00(,)P xy的切线方程.预备定理预备定理 3.若点若点00(,)P xy是抛物线是抛物线22ypx上任一点，则抛物线过该点的切线方程是上任一点，则抛物线过该点的切线方程是00()y yp xx证明：证明：由22ypx，对x求导得：0022|x xpyypkyy，当00y 时，切线方程为00()pyyxxy，即2000y yypxpx，而200002()ypxy yp xx，而当000,0yx时，切线方程为00 x 也满足式，故抛物线在该点的切线方程是00()y yp xx.定理定理 1.椭圆上一个点椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图处的法线平分（图 2.1）已知：如图，椭圆C的方程为22221xyab，12,F F分别是其左、右焦点，l是过椭圆上一点00(,)P xy的切线，l为垂直于l且过点P的椭圆的法线，交x轴于D，设21,F PDF PD，求证：.证证法一法一：在2222:1xyCab上，00(,)P xyC，则过点P的切线方程为：00221x xy yab，l是通过点P且与切线l垂直的法线，则0000222211:()()()yxlxx ybaba，图 2.1法线 l与x轴交于20(),0)cDxa，22102022|,|ccFDxc F Dcxaa，201220|acxFDF Dacx，又由焦半径公式得：1020|,|PFaexPFaex，1122|FDPFF DPF，PD是12F PF的平分线，90，故可得证法二证法二：由证法一得切线l的斜率02020|x xb xkya y，而1PF的斜率010ykxc，2PF的斜率020ykxc，l到1PF所成的角满足：2002222220000012222001000200tan1()1()yb xxca ya yb xb cxkkb x ykkabx ya cyxc a y00(,)P xy在椭圆2222:1xyCab上，20tanbcy，同理，2PF到l所成的角满足2220tan1kkbkkcy，tantan而,(0,)2，证法三：证法三：如图，作点3F，使点3F与2F关于切线l对称，连结1F，3F交椭圆C于点P下面只需证明点P与P重合即可.一方面，点P是切线l与椭圆C的唯一交点，则12|2PFPFa，是l上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为l上的其它点均在椭圆外）.另一方面，在直线l上任取另一点P，12131312|P FP FP FP FF FP FP F即P也是直线AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P与P重合，即而得证定理定理 2.双曲线上一个点双曲线上一个点 P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点的两条焦半径的夹角被双曲线在点 P 处的切线平分（图处的切线平分（图 2.2）；）；已知：如图，双曲线C的方程为22221xyab，1F，2F分别是其左、右焦点，l是过双曲线C上的一点00(,)P xy的切线，交x轴于点D，设1FPD，2F PD求证：证明证明：2222:1xyCab，两焦点为1(,0)Fc，2(,0)F c222()cab，00(,)P xy在双曲线上，则过点P的切线00221x xy yab，切线l与x轴交于20(,0)aDx.由双曲线的焦半径公式得：1020|,|ccPFxaPFxaaa，双曲线的两焦点坐标为(,0)F c，(,0)Fc，故011102000220|,|,|cxaPFDFacacaDFxaDFxacxaxaPFDFxaa故，切线l为12F PF之角分线.定理定理 3.抛物线上一个点抛物线上一个点 P 的焦半径与过点的焦半径与过点 P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点点 P 处法线平分（图处法线平分（图 2.3）.已知：如图，抛物线C的方程为为24ycx，直线l是过抛物线上一点00(,)P xy的切线，交x轴于D，,DPFPDF，反射线PQ与l所成角记为，求证：图 2.2图 2.3证明：如图，抛物线C的方程为2:4C ycx，点00(,)P xy在该抛物线上，则过点P的切线为00()y yp xx，切线l与x轴交于0(,0)Dx，焦点为(,0)F c，(同位角)，220000|()|,|PFxcyxcDFxc，|PFDF，通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的.那么它在解题和生产生活中有何应用呢？二、典例分析类型类型 1：解决入射与反射问题：解决入射与反射问题【例 1】设抛物线2:C yx，一光线从点(5,2)A射出，平行C的对称轴，射在C上的P点，经过反射后，又射到C上的Q点，则P点的坐标为，Q点的坐标为.解：如图，直线AP平行于对称轴且(5,2)A，则P点的坐标为(4,2)，因此反射线PQ过点1(,0)4F，设2(,)Q t t，则2281115444tt，解得：18t ，11(,)648Q.类型类型 2：解决一类：解决一类“距离之和距离之和”的最值问题的最值问题【例 2】已知椭圆22:1259xyC，12FF、为分别是其左右焦点，点1(2)Q，P是C上的动点，求1PFPQ的取值范围.解法解法 1：221210()PFPQPFPQPQPFa,即问题转化为求2PQPF的最大值与最小值,因为两边之差小于第三边,因此当PQF、三点一线时,取得2PQPF的最大值与最小值,即在1P处取得最小值,1P处取得最大值,所以最小值为22|102 10aF Q,最大值为22|102 10aF Q.解法解法 2：根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从 F1射出被椭圆反射后经过点 Q 的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图 3.2，光线从 F1P1Q），二是被下半椭圆反射（如图 3.2，光线从 F1P2F2Q）综上所述，只需求出222|(42)42 10FQ,可得最小值为22|102 10aF Q,最大值为22|102 10aF Q.类型类型 3：解决与解决与“切线切线”相关相关的的问题问题【例 3】已知l是过椭圆22:11612xyC上一动点P的椭圆C的动切线，过C的左焦点1F作l的垂线，求垂足Q的轨迹方程.分析：如图 3.3，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐.由于l是椭圆的切线，切点为P，联想到椭圆光学性质及反射定律.根据椭圆的光学性质l是12F PF的外角平分线，1F关于直线l的对称点1F在2F P的延长线上。这样，由于11 PFPF，图 3.1图 3.2图 3.3故112228PFaFPFF，而点Q、点O分别是11F F、12FF的中点，所以4QO.从而Q点轨迹是以O为圆心、以 4 为半径的圆。即点Q的轨迹方程.为2216xy.类型类型 4：解决解决高考与竞赛中的高考与竞赛中的问题问题【例 4】(2005 江西.理 22)如图，设抛物线2:C yx的焦点为F，动点P在直线:20l xy上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求APB的重心G的轨迹方程；(2)证明PFAPFB.解：(1)设切点 A、B 坐标分别为2201110(,)(,)()x xx xxx和，切线 AP 的方程为：20020;x xyx切线 BP 的方程为：21120;x xyx解得 P 点的坐标为：0101,2PPxxxyx x所以APB 的重心 G 的坐标为013PGPxxxxx，222201010101014(),3333PpPGxyyyyxxx xxxx xy所以234pGGyyx，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：221(34)20,(42).3xyxyxx 即(2)解法解法 1：因为2201000111111(,),(,),(,).4244xxFAx xFPx xFBx x 由于 P 点在抛物线外，则|0.FP 所以20100100122200111()()2444cos,|1|()4xxxx xxx xFP FAAFPFP FAFPFPxx 同理有20110110122211111()()2444cos,|1|()4xxxx xxx xFP FBBFPFP FBFPFPxx 所以PFAPFB.解法解法 2：当1010000,0,0,x xxxxy时由于不妨设则所以 P 点坐标为1(,0)2x，则 P 点到直线 AF 的距离为：211111|14;:,24xxdBFyxx而直线的方程即211111()0.44xxx yx所以 P 点到直线 BF 的距离为：221111112222211111|()|()|4 2442121()()44xxxxxxdxxx所以 d1=d2，即得PFAPFB.当100 x x 时，直线 AF 的方程：202000011114(0),()0,4044xyxxxx yxx即图 3.4.1直线 BF 的方程：212111111114(0),()0,4044xyxxxx yxx即所以 P 点到直线 AF 的距离为：2220101001000112222000111|()()|)()|42424121()44xxxxxx xxxxxdxxx，同理可得到 P 点到直线 BF 的距离102|2xxd，因此由 d1=d2，可得到PFAPFB.解法解法 3：如图 3.4.2，做出抛物线的准线114l ，过A做AAl于A，过B作1BBl于B，连A P，B P，在线段,AA BB PA PB的延长线上分别取,D E M N，因为直线ADy轴，直线BEy轴，由抛物线的光学性质知：PAFDAMPAA ，PBFEBNPBB .又由抛物线的定义知：1AFBFeAABB，所以,AFAABFBB，又,APAP BPBP，所以,AAPAFPBFPBBP ，所以,PAPF PBPF，所以PAPB，即PA BPB A ，又90AA BBB A ，所以AA PBB P，又AA PAFP，BB PBFP，所以PFAPFB.【例 5】(2017 年数学联赛湖北预赛 12)过抛物线22yx的焦点 F 的直线l交抛物线于 A,B 两点，抛物线在 A,B两点处的切线交于点 E，求证：EFAB.解法解法 1：设l的方程为12xmy，代入22yx，得2210ymy.设211(,)2yAy，222(,)2yBy，则122yym，121y y .设切线211:2yAE y yx，切线222:2yBE y yx.由、得221221()()22yyyxy x，所以221221121212()22y yy yy yxyy，-，得2212121()()2yyyyy，即122yyym，所以1(,)2Em，当0m 时，显然有EFAB；当0m 时，0111122EFABmkkm，所以EFAB.解法解法 2：如图 3.5，设过点A的切线与准线f交于C，过点B的切线与准线f交于D，过,A B作准线f的垂线，垂足为,M N.由抛物线的光学性质，可得FACMAC，由抛物线的定义，有FAMA，而CACA，所以AFCAMC，从而90AFCAMC，即AFFC.图 3.4.2同理BFFD.那么，当,A F D三点共线时，必然有FC，FD重合，即,C D重合成E，从而EFAB.【方法小结】【方法小结】解析几何的主流思想是以数解形，即从代数角度解决几何同题.而圆锥曲线光学性质从几何角度看问题，即以形解数，则是剑走偏锋，别具一格的.正所谓“横看成岭侧成峰”，换个角度看问题，效果也许就是截然不同的，再结合进一步的思考，也许就会收获“柳暗花明又一村”的喜悦与畅决图 3.5三、巩固练习1.已知椭圆方程为225x216y 1，若有光束自焦点 A(3，0)射出，经二次反射回到A 点，设二次反射点为 B，C，如图 4.1 所示，则ABC 的周长为.2.双曲线22:188xyC，又AC，已知 A(4，22)，F(4，0)，若由 F 射至 A的光线被双曲线C反射，反射光通过 P(8，k)，则 k.3.已知双曲线 C：2213yx，F1、F2为分别是其左右焦点，点9(4,)2Q，M是 C 上的动点，求|MF2|+|MQ|的取值范围.4.已知动圆P(圆心为点P)过定点(1,0)A，且与直线1x 相切，记动点P的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设过点P的直线l与曲线C相切，且与直线1x 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.图 4.1图 4.2图 4.35.(2013 山东.理 22)椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别是12,FF，离心率为32，过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为 1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接12,PFPF，设12F PF的角平分线PM交C的长轴于点(,0)M m，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线12,PFPF的斜率分别为12,kk，若0k，试证明1211kkkk为定值，并求出这个定值.6.(2016年数学联赛湖北预赛.13)过抛物线220ypx p外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N，F为抛物线的焦点.证明：(1)2|PFMFNF；(2)PMFFPN.四、巩固练习参考答案1.在椭圆方程为225x216y 1 中，225169c，因为 A(3，0)为该椭圆的一个焦点所以自 A(3，0)射出的光线 AB 反射后，反射光线 AC 定过另一个焦点A(-3，0)，故ABC 的周长为44520ABBAA CCAa.2.因为入射线 FA 反射后得到的光线 AP 的反向延长线定过双曲线的另一个焦点(4,0)F,所以2 23 2128kk.3.由双曲线属性知,|MF2|+|MQ|不存在最大值，存在最小值，因为19(2,0),(4,)2FQ，所以2min112(|)|PQPFFQFPPF=112|(|)FQFPPF=1|2FQa=112，即|MF2|+|MQ|的取值范围是11,)2.4.(1)因为动圆P过定点(1,0)A，且与直线1x 相切，所以圆心P到点(1,0)A的距离与圆心到直线1x 的距离相等.根据抛物线定义，知动点P的轨迹为抛物线，且方程为2:4C yx.(2)解法解法 1：如图 4.4.1，设直线l的方程为ykxm(易知斜率不存在的直线不符合要求)，由24ykxmyx，消去y得222(24)0k xkmxm，因为相切所以0k，且222(24)40kmk m，化简得1km.设直线l与曲线C相切的切点00(,)P xy，则00022212,kmxykxmkkk，所以212(,)Pkk，由1ykxmx，得(1,)Qmk.假设坐标平面内符合条件的点M存在，由图形的对称性，知点M必在x轴上.若取1,1km，此时(1,2),(1,0)PQ，以PQ为直径的圆为22(1)2xy，交x轴于点12(1,0),(1,0)MM；若取12,2km，此时13(,1),(1,)42PQ ，以PQ为直径的圆为2231125()()8464xy，交x轴于点127(1,0),(,0)4MM.所以若符合条件的点M存在，则点M的坐标必为(1,0)，即为点A.以下证明(1,0)M就是满足条件的点.因为M的坐标为(1,0)，所以212(1,)MPkk，(2,)MQmk ，从而222222220mkmMP MQkkk ，故恒有MPMQ，即在坐标平面内存在定点(1,0)M，使得以PQ为直径的圆恒过点M.解法解法 2：本题也可使用抛物线的光学性质来求解第二问.如图 4.4.2，连接FP，由抛物线的光学性质可得其反射光线PB平行于x轴，将PB反向延长交1x 于点C，易知PC垂直于直线1x ，根据抛物线定义PCPF，由反射定理得QPFBPD，又因为QPCBPD，在QPF和QPC中，因为PCPFQPFQPCPQPQ，所以QPF和QPC全等，所以90PFQPCQ，图 4.4.1图 4.4.2即点F在以PQ为直径的圆上，点F就是要找的定点.5.(1)由于222cab，将xc 代入椭圆方程22221xyab，得2bya，由题意知221ba，即22ab.又32cea，所以2,1ab.椭圆C的方程为2214xy(2)解法解法 1：设000(,)(0)P xyy.又12(3,0),(3,0)FF，所以直线12,PFPF的方程分别为:12000000:(3)30,:(3)30.PFPFly xxyyly xxyy由题意知00002222000033(3)(3)myymyyyxyx，由于点P在椭圆上，所以220014xy所以22003333(2)(2)22mmxx因为033,22mx，可得0033332222mmxx.所以034mx.因此3322m.解法解法 2：设00(,)P xy，当002x时，当03x 时，直线2PF的斜率不存在，易知1(3,)2P或1(3,)2P.若1(3,)2P，则直线1PF的方程为4 330 xy.由题意得337mm，因为33m，所以3 34m.若1(3,)2P,同理可得3 34m.当03x 时，设直线12,PF PF的方程分别为12(3),(3)yk xykx，由题意知112222123311mkkmkkkk，所以22122211(3)1(3)1mkmk，因为220014xy并且001200,33yykkxx，所以222220000022222000004(3)438 316(34)(3)(34)(3)4(3)438 316xxxxxmxmxxxx，即00343334xmmx.因为0033,023mxx且所以004+33+=3-43xmmx.整理得034xm，故33 3024mm且.综合可得302m.当0-20 x时，同理可得302m.综上所述，m的取值范围是3 3(,)2 2.图 4.5解法解法 3：设00(,)P xy，过点P的椭圆切线为直线l，则过P的切线方程为0014xxyy，即004lxky，根据椭圆的光学性质可得12F PF的角平分线PM即为直线l的法线，所以004PMykx，所以直线PM方程为00004()yyxxyx，即00043yyxyx，所以代入(,0)M m，得034mx，又0(2,2)x ，所以3 3(,)2 2m.(3)解法解法 1：设000(,)(0)P xyy，则直线l的方程为00()yyk xx，联立2200+=14()xyyyk xx整理得222222000000(14)8()4(21)0kxkyk x xykx yk x由题意0，即2220000(4)210 xkx y ky 又220014xy所以22200001680y kx y kx故004xky，由(2)知0001200033211xxxkkyyy，所以0012120042111 11()()8yxkkkkk kkxy ，因此1211kkkk为定值，这个定值为8.解法解法 2：因为013ykx，023ykx，代入1211kkkk中得00120033114()8xxkkkkxx 为定值.6.解法解法1：设00(,)P xy,11(,)M x y,22(,)N xy,易求得切线PM的方程为11()y yp xx，切线PN的方程为22()y yp xx.因为点P在两条切线上，所以有1001()y yp xx，2002()y yp xx，故点MN、均在直线00()y yp xx上，所以直线MN的方程为00()y yp xx.联立002()2y yp xxypx，得2200()2p xxpxy，即2220002()0yxxxxp.由韦达定理可知：201202()yxxxp，2120 x xx.(1)因为(,0)2pF，由抛物线第二定义可得12pMFx，22pNFx，所以2222012121200()()()2()222424yppppppMFNFxxx xxxxxp2222220000()42ppxyxyPF，因此2|PFMFNF.(2)因为00(,)2pFPxy，11(,)2pFMxy，22(,)2pFNxy，所以20011010101(,)(,)()2224ppppFP FMxyxyx xxxy y 22010101010101()()()()()242422ppppppx xxxp xxx xxxxx，又12pMFx，cosFP FMFP FMPFM ，所以0101()()222cos()2pppxxxFP FMPFMpFP FMFPFPx ，同理可得02cospxPFNFP，所以coscosPFMPFN，所以PFMPFN，结合2|PFMFNF可得MFPPFN，所以PMFFPN.解法解法2：当P与抛物线在其准线f异侧时，如图4.6所示，过,M N做准线f的垂线，垂足分别为U，G，PM与PN分别交准线于I，K，连接PU，PG.由抛物线的光学性质，可知PM是FMU的角平分线，由抛物线的定义有MFMU，所以有PMUPMF，于是PUPF且PFMPUM，同理有PNGPNF，于是PGPF且PFNPGN，所以有PUPG，即得PUGPGU，而90PUMPUG，90PGNPGU，所以PUMPGNPFMPFN ；在PUG中，180PUGPGUUPMFPMGPNFPN.由PMUPMF，得UPMFPM；由PNGPNF，得GPNFPN.所以90PUGUPMFPN ，且有UIMPUGUPM ，于是90UIMFPN，而90UMIUIM，故FPNUMI，又有UMIPMF.所以PMFFPN 由、可得MFPPFN，于是PFMFNFPF，即2|PFMFNF.图 4.6第第 12 讲讲轨迹方程问题轨迹方程问题一、问题综述教材中明确提出，解析几何研究两件事：（1）求曲线方程；（2）利用方程研究曲线的性质，求曲线方程或者求点的轨迹方程是解析几何所有问题的发端，应当给与足够的重视。其方法一般有：直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法，涉及到中点弦可用点差法等。下面我们通过具体题目回顾求轨迹方程的几种方法，同时分析那种方法在那种情况下较好一些，更适合我们。二、典例分析类型类型 1：直接法：直接法【例 1】设一动点P到直线:3l x 的距离到它到点1,0A的距离之比为33，则动点P的轨迹方程是.解析：设,P x y，可知223331xxy223331xxy222331xxy2221626xxy 22224246136xyxy.注：直接法的五个步骤简称：建系，集合，方程，化简，证明。其中建系，集合，证明往往可以省略，只需要方程和化简两个步骤。我们要留意证明，要保证曲线的方程的纯粹性和完备性.类型类型 2：相关点法：相关点法【例 2】已知1F,2F分别为椭圆22:143xyC的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则12PFF的重心G的轨迹方程为.解析：依题意知1(1,0)F，2(1,0)F，设000(,)(0)P xyy，(,)G x y，则由三角形重心坐标公式可得001 133xxyy,反解即0033xxyy，代入椭圆22:143xyC，得重心G的轨迹方程为22931(0)4xyy.注：相关点法，它一般是由已知点的轨迹方程来求未知点的轨迹方程，题目会给我们一个桥梁，或者是中点公式，或者是向量表达式，我们根据桥梁建立已知和未知的关系式，然后反解，用未知点来表示已知点，然后代入已知点的轨迹方程，可得未知点的轨迹方程，所以又称代入法。类型类型 3：定义法：定义法【例 3】已知圆22:(1)1Mxy，圆22:(1)9Nxy，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.解析：由已知得圆M的圆心为(1,0)M，半径11r；圆N的圆心为(1,0)N，半径23r.设圆P的圆心为(,)P x y，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以1212()()42PMPNRrrRrrMN.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为221(2)43xyx.注：解析几何是用代数研究几何，但是究其本质还是几何，或者说几何性质是解析几何中简化运算最巧妙的手段，而几何图形最基本的几何性质就是定义，要善于发现题目中隐含的几何性质，善于从代数式中分析其几何特征，从而找到问题更简单的解法.类型类型 4：参数法：参数法【例 4】过平面直角坐标系内定点(2,4)P作两条互相垂直的直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.解析：设过点(2,4)P的一条直线为：4(2)yk x，与x轴正半轴于A，其坐标为4(2,0)k，设过点(2,4)P的另一条直线为：14(2)yxk，与y轴正半轴于B，其坐标为2(0,4)k，由中点公式可得M的坐标为：2112xkyk，消去参数k，可得：250 xy.当k不存在或者为0时，解得(1,2)M满足此直线方程，所以M的轨迹方程为：250 xy.注：求动点的轨迹方程，当动点的横纵坐标的关系比较难发现时，我们可以引入第三个量，也就是一个参数，来表示动点的横纵坐标，表示出来后，我们再“过河拆桥”，消掉参数，从而得到动点的轨迹方程。本题还可以采用向量的方法，利用向量的数量积为零，或者利用斜率之积等于1，或者利用中垂线的几何性质来解决.类型类型 5：点差法：点差法【例 5】过点(4,4)P作一条直线交圆224xy于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.解析：设11(,)A x y,22(,)B xy,(,)M x y代入元的方程：22114xy，22224xy，两式做差，可得：12121212()()()()0 xxxxyyyy，其中122xxx，122yyy，121244ABPMyyykkxxx，整理可得：22440 xyxy（在已知圆的内部）.注：本题涉及到中点弦问题，可以使用点差法，在直线与二次曲线相交的问题中，可以代点做差，因为相同的结构，会出现平方差公式，坐标之和可以转化为中点坐标，坐标之差可以转化为斜率，运算非常简洁.同时，本题还可以使用参数法，向量或者斜率之积，几何性质垂径定理等方法来解决.类型类型 6：交轨法：交轨法【例 6】如图所示，动圆221:Cxyt,13t 与椭圆222:19xCy相交于A，B，C，D四点.点1A，2A分别为2C的左、右顶点，求直线1AA与直线2A B交点M的轨迹方程.解析：由椭圆222:19xCy，知1(3,0)A，2(3,0)A，设点A的坐标为00(,)xy，由曲线的对称性，得00(,)B xy，设点M的坐标为(,)x y，直线1AA的方程为00(3)3yyxx.直线2A B的方程为00(3)3yyxx.由相乘得222020(9)9yyxx.又点A00(,)xy在椭圆2C上，故220019xy .将代入得221(3,0)9xyxy.因此点M的轨迹方程为221(3,0)9xyxy.注：在本题中，求两直线交点的轨迹方程，直接运算比较困难，我们发现本题条件中的对称，就写出两条直线的方程，其结构也是对称的，若是只有一个参数，那么代入消参直接可解，现在是有两个参数，我们将结构相同的两条直线相乘得到二次式，利用椭圆的方程整体消参可以解得本题，这种方法称为交轨法，也可以认为是参数法的升级版.【方法小结】以上介绍了求曲线的方程的几种方法：直接法、相关点法、定义法、参数法、点差法、交轨法【方法小结】以上介绍了求曲线的方程的几种方法：直接法、相关点法、定义法、参数法、点差法、交轨法.求点的轨迹方程的关键是仔细审题求点的轨迹方程的关键是仔细审题，分析已知条件和曲线的特征分析已知条件和曲线的特征，寻找曲线上动点满足的条件寻找曲线上动点满足的条件，然后转化为等然后转化为等式式。要注意代数语言要注意代数语言、向量语言向量语言、几何语言各自的适用范围以及优劣几何语言各自的适用范围以及优劣，最后要保证曲线的方程的纯粹性与完备最后要保证曲线的方程的纯粹性与完备性性.三、巩固练习1.已知F是抛物线24xy的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点M的轨迹方程是（）A.212xyB.21216xyC.222xyD.221xy2.在平面直角坐标系xOy中，直线44xtt 与椭圆221169xy交于两点1122,P t yP t y，且120,0yy，12,A A分别为椭圆的左，右顶点，则直线12AP与21A P的交点所在曲线方程为_.3.若动圆过定点3,0A 且和定圆22:34Cxy外切，则动圆圆心P的轨迹方程是_.4.已知点(1,0)C，点,A B是22:9O xy上任意两个不同的点，且满足0AC BC ，设P为弦AB的中点，求点P的轨迹T的方程；5.圆22125xy的圆心为C，1,0A是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为.参考答案：参考答案：1.解：依题意可得0,1F，,M x y，00,P x y，则有0000221212xxxxyyyy，因为00,P x y自身有轨迹方程，为：2004xy，将00221xxyy代入可得关于,x y的方程，即M的轨迹方程：2224 2121xyxy答案：D2.解：由椭圆可知：124,0,4,0AA，设交点坐标,x y。xt与椭圆相交于12,P P12,P P关于x轴对称21yy 考虑直线12AP与21A P的方程：由1214,0,AP ty可得：1 214A Pykt 112:44yAPyxt同理可得：121:44yA Pyxt可得：222121616yyxt 由11,P t y在椭圆上可得：222211911616916ytyt，代入可得：22229 16161616tyxt，整理后可得：221169xy3.解：设动圆P的半径为r，则有PAr，由两圆外切可得2PCr，所以2PCPA，即距离差为定值，所 以判 断出P的 轨迹 为双 曲线 的左 支，则1,3ac，解得2228bca，所以 轨迹 方程 为22118yxx.4.解：连接CP，OP，由0AC BC ，知ACBC，所以12CPAPBPAB，由垂径定理知，222OPAPOA，即229OPCP，设点(,)P x y，则2222()(1)9xyxy，化简，得2240 xyx.5.解：可 得1,0C，由AQ的 中 垂 线 可 得AMQM，从 而 考 虑5CMAMCMQMCQr，即M到,A C的距离和为定值 5，从而判 断出其轨迹为椭圆，可得525,12aac，则222214bac，所以椭圆方程为：224412521xy