辽宁省东北名校2023学年高三压轴卷数学试卷(含解析).pdf

2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1命题“(0,1),lnxxex”的否定是（）A(0,1),lnxxex B000(0,1),lnxxex C000(0,1),lnxxex D000(0,1),lnxxex 2已知集合U R，0Ay y，1By yx，则UAB()A0,1 B0,C1,D1,3若直线240 xym经过抛物线22yx的焦点，则m（）A12 B12 C2 D2 4 在边长为 2 的菱形ABCD中，2 3BD，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角BACD的余弦值为13，则所得三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）A23 B2 C4 D6 5若|1OA，|3OB，0OA OB，点 C 在 AB 上，且30AOC，设OCmOAnOB(,)m nR，则mn的值为（）A13 B3 C33 D3 6821xyx的展开式中12x y的系数是（）A160 B240 C280 D320 7如图所示点F是抛物线28yx的焦点，点A、B分别在抛物线28yx及圆224120 xyx的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是（）A(6,10)B(8,12)C6,8 D8,12 8设i是虚数单位，aR，532aiiai，则a（）A2 B1 C1 D2 9已知全集U R，集合237,7100AxxBx xx，则()UAB=（）A,35,B,35,C,35,D,35,10设双曲线22221xyab（a0,b0）的右焦点为 F，右顶点为 A,过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两点，过 B,C分别作 AC，AB 的垂线交于点 D若 D 到直线 BC 的距离小于22aab，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A(1,0)(0,1)B(,1)(1,)C(2,0)(0,2)D(,2)(2,)11如图，在圆锥SO 中，AB，CD 为底面圆的两条直径，ABCDO，且 ABCD，SOOB3，SE14SB.，异面直线 SC 与 OE 所成角的正切值为（）A222 B53 C1316 D113 12已知函数 614,7,7xaxxf xax是R上的减函数，当a最小时，若函数()4yf xkx恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A1(,0)2 B1(2,)2 C(1,1)D1(,1)2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13在平面直角坐标系xOy中，点 P 在直线2yx上，过点 P 作圆 C：2248xy的一条切线，切点为 T.若PTPO，则PC的长是_.14 已知F是抛物线2:2(0)C ypx p的焦点，过F作直线与C相交于,P Q两点，且Q在第一象限，若2PFFQ，则直线PQ的斜率是_ 15设数列na的前n项和为nS，且对任意正整数n，都有01011012nnanS，则1a _ 16设函数 2log,048,48xaxf xfxx，若存在实数 m，使得关于 x 的方程 f xm有 4 个不相等的实根，且这4 个根的平方和存在最小值，则实数 a 的取值范围是_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，2PDAD，PDDA，PDDC，底面ABCD为正方形，M、N分别为AD、PD的中点 （1）求证：/PA平面MNC；（2）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值 18（12 分）如图，在斜三棱柱111ABCABC中，平面ABC 平面11A ACC，12CC，ABC，1ACC，均为正三角形，E 为 AB 的中点 （）证明：1/AC平面1BCE；（）求斜三棱柱111ABCABC截去三棱锥1BCBE后剩余部分的体积 19（12 分）已知不等式111xxxm对于任意的xR恒成立.（1）求实数 m 的取值范围；（2）若 m 的最大值为 M，且正实数 a，b，c 满足23abcM.求证112322abbc.20（12 分）nS是数列 na的前n项和，且21122nnaSnn.（1）求数列 na的通项公式；（2）若25nannba，求数列 nb中最小的项.21（12 分）已知函数()sincos6f xxx，其中xR，0（1）当1时，求3f的值；（2）当()f x的最小正周期为时，求()f x在0,4上的值域 22（10 分）已知函数4()1,()1()xaf xeg xaRxx（e是自然对数的底数，2.718e）.（1）求函数 f x的图象在1x 处的切线方程；（2）若函数()()f xyg x在区间4,5上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数 h xf xx在区间(0,)上有两个极值点1212,xxxx，且 1h xm恒成立，求满足条件的m的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.【题目详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x,lnxex”的否定是：0(0,1)x，00lnxex 故选 D【答案点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.2、A【答案解析】求得集合B中函数的值域，由此求得UB，进而求得UAB.【题目详解】由11yx，得1,B，所以U,1B ，所以U0,1AB.故选：A【答案点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.3、B【答案解析】计算抛物线的交点为10,8，代入计算得到答案.【题目详解】22yx可化为212xy，焦点坐标为10,8，故12m .故选：B.【答案点睛】本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.4、D【答案解析】取 AC 中点 N，由题意得BND即为二面角BACD的平面角，过点 B 作BODN于 O，易得点 O 为ADC的中心，则三棱锥ABCD的外接球球心在直线 BO 上，设球心为1O，半径为r，列出方程2222 62 333rr即可得解.【题目详解】如图，由题意易知ABC与ADC均为正三角形，取 AC 中点 N，连接 BN，DN，则BNAC，DNAC，BND即为二面角BACD的平面角，过点 B 作BODN于 O，则BO 平面 ACD，由3BNND，1cos3BND可得3cos3ONBNBND，2 33OD，232 6333OB，13ONND即点 O 为ADC的中心，三棱锥ABCD的外接球球心在直线 BO 上，设球心为1O，半径为r，11BODOr，12 63OOr,2222 62 333rr解得62r，三棱锥ABCD的外接球的表面积为234462Sr.故选：D.【答案点睛】本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.5、B【答案解析】利用向量的数量积运算即可算出【题目详解】解：30AOC 3cos,2OC OA 32OC OAOC OA 32mOAnOBOAmOAnOB OA 22222322m OAnOB OAm OAmnOA OBn OBOA 1OA，3OB，0OA OB 22323mmn 229mn 又C在AB上 0m，0n 3mn 故选：B【答案点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用 6、C【答案解析】首先把1xx看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y的系数，再求71xx的展开式中1x的系数，二者相乘即可求解.【题目详解】由二项展开式的通项公式可得821xyx的第1r 项为82181rrrrTCxyx，令1r，则712281TCxyx，又71xx的第1r 为7271771rrrrrrTCxC xx，令3r，则3735C，所以12x y的系数是35 8280.故选：C【答案点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.7、B【答案解析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出AF；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得B点横坐标的取值范围，即可由FAB的周长求得其范围.【题目详解】抛物线28yx，则焦点2,0F，准线方程为2x ，根据抛物线定义可得2AAFx，圆22216xy，圆心为2,0，半径为4，点A、B分别在抛物线28yx及圆224120 xyx的实线部分上运动，解得交点横坐标为 2.点A、B分别在两个曲线上，AB总是平行于x轴，因而两点不能重合，不能在x轴上，则由圆心和半径可知2,6Bx，则FAB的周长为246ABABAFABBFxxxx，所以68,12Bx，故选：B.【答案点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.8、C【答案解析】由532aiiai，可得5323232aiaiiaa i，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a的值.【题目详解】解：532aiiai，5323232aiaiiaa i 53232aaa，解得：1a.故选:C.【答案点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把2i 当成1进行运算.9、D【答案解析】先计算集合B，再计算AB，最后计算()UAB【题目详解】解：27100Bx xx|25Bxx，37Axx|35ABxx，U,35(,)AB 故选：D【答案点睛】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题 10、A【答案解析】由题意,根据双曲线的对称性知D在x轴上，设,0)D x（，则由 BDAB得：，因为D到直线BC的距离小于22aab，所以，即01ba，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bka （，故选 A 11、D【答案解析】可过点 S 作 SFOE，交 AB 于点 F，并连接 CF，从而可得出CSF（或补角）为异面直线 SC 与 OE 所成的角，根据条件即可求出3 210SCSFCF，这样即可得出 tanCSF 的值.【题目详解】如图，过点 S 作 SFOE，交 AB 于点 F，连接 CF，则CSF（或补角）即为异面直线 SC 与 OE 所成的角，14SESB，13SEBE，又 OB3，113OFOB，SOOC，SOOC3，3 2SC；SOOF，SO3，OF1，10SF；OCOF，OC3，OF1，10CF，等腰 SCF 中，223 2(10)()11233 22tanCSF.故选：D.【答案点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题.12、A【答案解析】首先根据 f x为R上的减函数，列出不等式组，求得112a，所以当a最小时，12a，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.【题目详解】由于 f x为R上的减函数，则有1001714aaaa，可得112a，所以当a最小时，12a，函数 4yf xkx恰有两个零点等价于方程 4f xkx有两个实根，等价于函数 yf x与4ykx的图像有两个交点 画出函数 f x的简图如下，而函数4ykx恒过定点0,4，数形结合可得k的取值范围为102k 故选：A.【答案点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、13【答案解析】作出图像，设点,2P pp，根据已知可得2PC，222PTPCTC，且PTPO，可解出p，计算即得.【题目详解】如图，设,2P pp，圆心坐标为(4,0)，可得2222445816PCpppp，2222588PTPCTCpp，225POp，PTPO，225885ppp，解得1p，22581613PCpp，即PC的长是13.故答案为：13【答案点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及求平面两点间的距离，运用了数形结合的思想.14、2 2【答案解析】作出准线，过,P Q作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率【题目详解】设l是准线，过P作PMl于M，过Q作QNl于N，过P作PHQN于H，如图，则PMPF，QNQF，2PFFQ，2QFPF，2QNPM，QHNHPMPF，22(3)2 2PHPFPFPF，tan2 2PHHQFQH，直线PQ斜率为2 2 故答案为：2 2【答案点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解 15、1【答案解析】利用行列式定义，得到na与nS的关系，赋值1n，即可求出结果。【题目详解】由011101011(2)1021212nnnnnnaaa SnnSnnS，令1n，得11(2)10a a ，解得11a 。【答案点睛】本题主要考查行列式定义的应用。16、,1【答案解析】先确定关于 x 的方程 f xm当 a 为何值时有 4 个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想来判断当 a 为何值时这 4 个根的平方和存在最小值即可.【题目详解】由题意，当2a 时，2log0 xa，此时 22log,04log8,48axxf xaxx，此时函数 f x在0,4单调递减，在4,8单调递增，方程 f xm最多 2 个不相等的实根，舍；当2a 时，函数 f x图象如下所示：从左到右方程 f xm，有 4 个不相等的实根，依次为1x，2x，3x，4x，即1234xxxx，由图可知2122loglogaxxa，故124ax x，且328xx，418xx，从而22222212341121144216128aaxxxxxxxx，令114atxx，显然4at，22222112342161284axxxxtt，要使该式在4at 时有最小值，则对称轴44at，解得1a.综上所述，实数 a 的取值范围是,1.【答案点睛】本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）16.【答案解析】（1）利用中位线的性质得出/PA MN，然后利用线面平行的判定定理可证明出/PA平面MNC；（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设2AD，利用空间向量法可求得直线PB与平面MNC所成角的正弦值.【题目详解】（1）因为M、N分别为AD、PD的中点，所以/PA MN 又因为PA 平面MNC，MN 平面MNC，所以/PA平面MNC；（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设2AD，则2,2,0B，0,2,0C，0,0,4P，1,0,0M，0,0,2N，2,2,4PB，0,2,2NC，1,0,2MN 设平面MNC的法向量为,nx y z，则00n MNn NC，即20220 xzyz，令1z，则2x，1y，所以2,1,1n 设直线PB与平面MNC所成角为，所以1sincos,6n PBn PBnPB 因此，直线PB与平面MNC所成角的正弦值为16.【答案点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18、（）见解析；（）52【答案解析】（）要证明线面平行，需先证明线线平行，所以连接1BC，交1BC于点 M，连接 ME，证明1/MEAC；（）由题意可知点1B到平面 ABC 的距离等于点1C到平面 ABC 的距离，根据体积公式剩余部分的体积是1 111ABCA B CBBCEVV.【题目详解】（）如图，连接1BC，交1BC于点 M，连接 ME，则1/MEAC 因为1AC 平面1BCE，ME 平面1BCE，所以1/AC平面1BCE（）因为11BC平面 ABC，所以点1B到平面 ABC 的距离等于点1C到平面 ABC 的距离 如图，设 O 是 AC 的中点，连接1OC，OB因为1ACC为正三角形，所以1OCAC，又平面ABC 平面11A ACC，平面ABC平面11A ACCAC，所以1OC 平面 ABC 所以点1C到平面 ABC 的距离13OC，故三棱锥1BBCE的体积为 111111111133332322BBCEBCEVSOCBE CE OC 而斜三棱柱111ABCABC的体积为1111233322ABCVSOCAB CE OC 所以剩余部分的体积为15322 【答案点睛】本题考查证明线面平行，计算体积，意在考查推理证明，空间想象能力，计算能力，属于中档题型，一般证明线面平行的方法 1.证明线线平行，则线面平行，2.证明面面平行，则线面平行，关键是证明线线平行，一般构造平行四边形，则对边平行，或是构造三角形中位线.19、（1）3,1（2）证明见解析 【答案解析】（1）法一：11112xxxx ，0 x，得112xxx，则12m，由此可得答案；法二：由题意min111mxxx ，令 11fxxxx，易知 f x是偶函数，且0,x时为增函数，由此可得出答案；（2）由（1）知，1M，即231abc，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论【题目详解】解：（1）法一：11112xxxx （当且仅当11x 时取等号），又0 x（当且仅当0 x 时取等号），所以112xxx（当且仅当0 x 时取等号），由題意得12m，则212m ，解得31m，故m的取值范围是3,1；法二：因为对于任意xR恒有111xxxm成立，即min111mxxx ，令 11fxxxx，易知 f x是偶函数，且0,x时为增函数，所以 min02f xf，即12m，则212m ，解得31m，故m的取值范围是3,1；（2）由（1）知，1M，即231abc，1122abbc112322abcabbc 23211222abbcabbc 32124222bcababbc 142 3232，故不等式112322abbc成立【答案点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题 20、（1）nan；（2）7.【答案解析】（1）由21122nnaSnn可得出211111122nnaSnn，两式作差可求得数列 na的通项公式；（2）求得25nnbn，利用数列的单调性的定义判断数列 nb的单调性，由此可求得数列 nb的最小项的值.【题目详解】（1）对任意的nN，由21122nnaSnn得211111122nnaSnn，两式相减得nan，因此，数列 na的通项公式为nan；（2）由（1）得25nnbn，则112512525nnnnnbbnn.当2n时，10nnbb，即1nnbb，123bbb；当3n时，10nnbb，即1nnbb，345bbb.所以，数列 nb的最小项为3325 37b .【答案点睛】本题考查利用nS与na的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21、（1）32（2）1,12【答案解析】（1）根据1，得到函数()sincos()6f xxx，然后，直接求解()3f的值；（2）首先，化简函数()sin()3f xx，然后，结合周期公式，得到2，再结合0,4x，及正弦函数的性质解答即可【题目详解】（1）因为1，所以()sincos6f xxx 3sincos33362f（2）因为()sincos6f xxx=sincoscossinsin66xxx 13=sincos22xx sin3x 即()sin3f xx 因为2T，所以2 所以()sin 23f xx 因为0,4x 所以52,336x 所以当0 x 时，3()2f x 当12x时，()1f x（最大值）当4x时，1()2f x ()f x在0,12是增函数，在,12 4 是减函数()f x的值域是1,12【答案点睛】本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法，两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的图象与性质等知识，考查了运算求解能力，属于中档题 22、（1）4yexe；（2）(5,)；（3）4.【答案解析】（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）22(4)340()xxaxaeyax在4,5上恒成立，只需2(4)34 0 xaxa，注意到4,5a；（3）2440 xxxea在(0,)上有两根，令2()44xm xxxea，求导可得 m x在0,2上单调递减，在(2,)上单调递增，所以(0)40(2)0mama 且12111(0,2),44xxxxea，2(2,3)x，11131xh xxe，求出 1h x的范围即可.【题目详解】（1）因为4()1xf xex，所以244()1xfxexx，当1x 时，(1)3,(1)fe fe，所以切线方程为(3)(1)yee x，即4yexe.（2）()(4)()xf xxeyg xax，22(4)34()xxaxaeyax.因为函数()()f xyg x在区间4,5上单调递增，所以4,5a，且0y 恒成立，即2(4)34 0 xaxa，所以224(4)43405(4)5340aaaa ，即492aa，又(,4)(5,)a，故5a，所以实数a的取值范围是(5,).（3）2244(4)()()()(),()xxxxeaxeaxh xf xg xh xxx.因为函数()()()h xf xg x在区间(0,)上有两个极值点，所以方程 0h x 在(0,)上有两不等实根，即2440 xxxea.令2()44xm xxxea，则2()2xm xxx e，由 0m x，得2x，所以 m x在0,2上单调递减，在(2,)上单调递增，所以(0)40(2)0mama ，解得04a且12111(0,2),44xxxxea.又由33(3)280meaaa，所以2(2,3)x，且当10,xx和2,x 时，0h xh x，单调递增，当12,xx x时，0hxh x，单调递减，12,x x是极值点，此时 111121111111111444431xxxxxexxexxeaxh xxexx 令()(3)1(0,2)xn xxex，则()(2)0 xn xxe，所以 n x在0,2上单调递减，所以 1(0)4h xh.因为 1h xm恒成立，所以4m.若124m，取114mx ，则14 4mx，所以 1111343xh xmxex.令()(3)43(0)xH xxexx，则()(2)4xH xxe，()(1)xHxxe.当(0,1)x时，0Hx；当(1,)x时，0Hx.所以min()(1)40HxHe ，所以()(-3)43xH xxex在(0,)上单调递增，所以 00H xH，即存在114mx 使得 1h xm，不合题意.满足条件的m的最小值为-4.【答案点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.