2023年高考数学真题与模拟训练专题07 三角恒等变换试题含解析.doc

2023年高考数学真题与模拟训练专题7 三角恒等变换第一部分 近3年高考真题一、选择题1（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）A0B1C2D32（2021·全国高考真题（理）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）A346B373C446D4733（2020·全国高考真题（理）已知2tantan(+)=7，则tan=（ ）A2B1C1D24（2020·全国高考真题（文）已知，则（ ）ABCD5.已知 （0，），2sin2=cos2+1，则sin=ABCD6.已知函数，则（ ）A的最小正周期为，最大值为B的最小正周期为，最大值为C的最小正周期为，最大值为D的最小正周期为，最大值为7.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则（ ）ABCD二、填空题8（2020·全国高考真题（文）若，则_9（2020·江苏高考真题）已知 =，则的值是_.10（2020·北京高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为_11.已知，则的值是_.12.函数的最小值为_三、解答题13（2020·全国高考真题（文）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C.14.设常数，函数（1）若为偶函数，求的值；（2）若，求方程在区间上的解16.已知函数.（）求的最小正周期； （）若在区间上的最大值为，求的最小值.17.在中，角所对的边分别为已知（）求角的大小；（）求的值；（）求的值第二部分 模拟训练1已知的内角，成等差数列，若，则（ ）ABCD2已知函数在内有且仅有1个最大值点和3个零点，则的取值范围是（ ）ABCD3将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，则的最小值为（ ）ABCD4设的内角A，B，C满足，则函数图象的对称轴方程是（ ）ABCD5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求角A；（2）若，求ABC的面积.6在锐角中，内角，所对的边分别为，且直线为函数图象的一条对称轴.（1）求；（2）若，求面积的最大值.7在中，角的对边分别为，已知.（1）求边的长（2）在边上取一点，使得，求的值.8已知函数.（1）求的最小正周期和值域；（2）若对任意，的恒成立，求实数的取值范围.9已知函数（）若，求的值；（）若函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得函数的图象，求函数在得的值域10已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位得到函数图象，求函数的单调增区间.专题7 三角恒等变换第一部分 近3年高考真题一、选择题1（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）A0B1C2D3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有，同理，故，故不可能均大于.取，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.2（2021·全国高考真题（理）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）A346B373C446D473【答案】B【解析】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以所以因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以故选：B3（2020·全国高考真题（理）已知2tantan(+)=7，则tan=（ ）A2B1C1D2【答案】D【解析】，令，则，整理得，解得，即.故选：D.4（2020·全国高考真题（文）已知，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意可得：，则：，从而有：，即.故选：B.5.已知 （0，），2sin2=cos2+1，则sin=ABCD【答案】B【解析】，又，又，故选B6.已知函数，则（ ）A的最小正周期为，最大值为B的最小正周期为，最大值为C的最小正周期为，最大值为D的最小正周期为，最大值为【答案】B【解析】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.7.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.二、填空题8（2020·全国高考真题（文）若，则_【答案】【解析】.故答案为：.9（2020·江苏高考真题）已知 =，则的值是_.【答案】【解析】故答案为：10（2020·北京高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为_【答案】（均可）【解析】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.11.已知，则的值是_.【答案】.【解析】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，12.函数的最小值为_【答案】.【解析】，当时，故函数的最小值为三、解答题13（2020·全国高考真题（文）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理可得，的面积；（2），.14.设常数，函数（1）若为偶函数，求的值；（2）若，求方程在区间上的解【答案】(1);(2)或或.【解析】（1），为偶函数，；（2），或，或，或或15.已知为锐角，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以因为，所以，因此，（2）因为为锐角，所以又因为，所以，因此因为，所以，因此，16.已知函数.（）求的最小正周期； （）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（） ；（）.【解析】（），所以的最小正周期为.（）由（）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.17.在中，角所对的边分别为已知（）求角的大小；（）求的值；（）求的值【答案】（）；（）；（）.【解析】（）在中，由及余弦定理得，又因为，所以；（）在中，由，及正弦定理，可得；（）由知角为锐角，由，可得，进而，所以.第二部分 模拟训练1已知的内角，成等差数列，若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】解：，成等差数列，又，由得，则，故选：D2已知函数在内有且仅有1个最大值点和3个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】， ，则的取值范围是.故选：B.3将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】函数，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，因为函数是偶函数，当时，故选：A4设的内角A，B，C满足，则函数图象的对称轴方程是（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，所以，.由，得，.故选：C.5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求角A；（2）若，求ABC的面积.【答案】（1）A；（2）.【解析】（1）在三角形ABC中，由正弦定理得：，化为： ，三角形中，解得，A.（2）由余弦定理得，化为，所以三角形ABC的面积S46在锐角中，内角，所对的边分别为，且直线为函数图象的一条对称轴.（1）求；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），直线为函数图像的一条对称轴，()，即()，又，当时，.（2），由余弦定理得，即，当且仅当b=c=4时等号成立，故面积的最大值为.7在中，角的对边分别为，已知.（1）求边的长（2）在边上取一点，使得，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】在中，因为，由余弦定理，得所以解得：或（舍）所以.（2）在中，由正弦定理，得.所以在中，因为，所以为钝角.而，所以为锐角故因为，所以，8已知函数.（1）求的最小正周期和值域；（2）若对任意，的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）最小正周期，值域为；（2）.【解析】解：（1）的为最小正周期，值域为；（2）记，则，由恒成立，知恒成立，即恒成立，.在时单调递增k的取值范围是9已知函数（）若，求的值；（）若函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得函数的图象，求函数在得的值域【答案】（）；（）.【解析】解：（），因为，所以，即，所以，所以；（）图象上所有点横坐标变为原来的倍得到函数的图象，所以的解析式为，因为，所以，则，所以故在上的值域为.10已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位得到函数图象，求函数的单调增区间.【答案】（1）最小正周期；（2）单调增区间是.【解析】（1），所以函数的最小正周期为；（2）将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再向左移动个单位得，由，解得.函数的单调增区间是.专题8 正弦定理和余弦定理第一部分 近3年高考真题一、选择题1（2021·全国高考真题（文）在中，已知，则（ ）A1BCD32（2021·全国高考真题（理）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）ABCD3（2020·全国高考真题（文）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）AB2C4D84已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，则C的方程为（ ）ABCD5.的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ）ABCD二、填空题6（2020·江苏高考真题）在ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是_7.的内角的对边分别为.若，则的面积为_.8.在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_9.的内角的对边分别为，已知，则的面积为_三、解答题10（2021·北京高考真题）已知在中，（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度；周长为；面积为；11（2021·全国高考真题）记是内角，的对边分别为，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.12（2020·北京高考真题）在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）a的值：（）和的面积条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分13（2020·江苏高考真题）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值14（2020·全国高考真题（理）中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.15.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值16.的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sinC18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.第二部分 模拟训练1设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）ABCD2在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，的面积为，则（ ）ABCD3已知中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则的值为（ ）ABCD4希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，则该月牙形的面积为（ ）ABCD5已知中，内角的对边分别为，且，则_.6在ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列.若，数列满足，前n项和为，_.7在中，角，的对边分别为，若，是锐角，且，则的面积为_8已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小（2）若，且的面积为，求的周长9设函数.（1）求的最小正周期和值域；（2）在，角的对边长分别为，.若，求的面积.10设函数（1）当时，求函数的值域；（2）已知的内角、所对的边分别为、，且，求角的值专题8 正弦定理和余弦定理第一部分 近3年高考真题一、选择题1（2021·全国高考真题（文）在中，已知，则（ ）A1BCD3【答案】D【解析】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.2（2021·全国高考真题（理）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A3（2020·全国高考真题（文）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）AB2C4D8【答案】C【解析】设故选：C4已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，则C的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选B5.的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题可知所以由余弦定理所以故选C.二、填空题6（2020·江苏高考真题）在ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是_【答案】或0【解析】三点共线，可设，即，若且，则三点共线，即，,，设，则，.根据余弦定理可得，解得，的长度为.当时， ，重合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.7.的内角的对边分别为.若，则的面积为_.【答案】【解析】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，8.在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.9.的内角的对边分别为，已知，则的面积为_【答案】.【解析】因为，结合正弦定理可得，可得，因为，结合余弦定理，可得，所以为锐角，且，从而求得，所以的面积为，故答案是.三、解答题10（2021·北京高考真题）已知在中，（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度；周长为；面积为；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1），则由正弦定理可得，解得；（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.11（2021·全国高考真题）记是内角，的对边分别为，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由题设，由正弦定理知：，即，又，得证.（2）由题意知：，同理，整理得，又，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，.12（2020·北京高考真题）在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）a的值：（）和的面积条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】选择条件（）8（）, ；选择条件（）6（）, .【解析】选择条件（）（）由正弦定理得：选择条件（）由正弦定理得：（）13（2020·江苏高考真题）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.14（2020·全国高考真题（理）中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得：，.（2）由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.15.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，由余弦定理，得，即.所以.（2）因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.16.的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围【答案】(1) ;(2).【解析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sinC【答案】（1）；（2）.【解析】（1）即：由正弦定理可得： （2），由正弦定理得：又，整理可得： 解得：或因为所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即 由，所以.18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】()；()，.【解析】（）在ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因为，可得B=（）在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因为a<c，故因此， 所以， 第二部分 模拟训练1设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】设，则，整理可得，故，在中，则，设原点到直线的距离为，则需满足，解得或.故选：C.2在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，的面积为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】，所以，由余弦定理可得： 得又由正弦定理可得：，所以，故选：A.3已知中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】，解得，由余弦定理：，.故选：A.4希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，则该月牙形的面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】解析由已知可得，的外接圆半径为1.由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，则弓形的面积为，外侧的圆弧以为直径，所以半圆的面积为，则月牙形的面积为.故选：A5已知中，内角的对边分别为，且，则_.【答案】(或)【解析】根据余弦定理可知，所以原式，变形为，根据正弦定理边角互化，可知，又因为，则原式变形整理为,即，因为，所以（或）故答案为（或）6在ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列.若，数列满足，前n项和为，_.【答案】【解析】， 由得，又a，b，c成等比数列知不是最大边，.  故答案为：7在中，角，的对边分别为，若，是锐角，且，则的面积为_【答案】【解析】由，得，又为三角形的内角，或，又，于是由余弦定理得即，解得，故.故答案为8已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小（2）若，且的面积为，求的周长【答案】（1）；（2）【解析】（1），.（2）由题意可得，联立可得，由余弦定理可得，此时周长为.9设函数.（1）求的最小正周期和值域；（2）在，角的对边长分别为，.若，求的面积.【答案】（1），值域为（2）【解析】（1），值域为.（2）由已知得，或或，由余弦定理得，即解得10设函数（1）当时，求函数的值域；（2）已知的内角、所对的边分别为、，且，求角的值【答案】（1）函数的值域为；（2）【解析】（1）， ，函数的值域为（2），即由正弦定理，