《考研资料》2000考研数学一真题及答案解析.pdf

2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题理工数学一试题 一、填空题一、填空题(1)1202xx dx=.（2）曲面2222321xyz+=在点()1,2,2的法线方程为 .（3）微分方程30 xyy+=的通解为 .（4）已知方程组12312112323120 xaxax +=无解，则a=.(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1,9A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P A=.二、选择题二、选择题（1）设()(),f xg x是恒大于零得可导函数，且()()()()0fx g xf x gx，则当axb （B）()()()()f x g af a g x（C）()()()()f x g xf b g b （D）()()()()f x g xf a g a【】（2）设()22221:0,S xyzazS+=为S在第一卦限中的部分，则有（A）14SSxdSxdS=（B）14SSydSxdS=（C）14SSzdSxdS=（D）14SSxyzdSxyzdS=【】（3）设级数1nnu=收敛，则必收敛的级数为（A）()11.nnnun=（B）21nnu=（C）()2121.nnnuu=(D)()11.nnnuu+=+【】（4）设n维列向量组()1,mmn，取逆时针方向.六、六、设对于半空间0 x 内任意的光滑有向封闭曲面,S都有 ()()20,xSxf x dydzxyf x dzdxe zdxdy=?其中函数()f x在()0,+内具有连续的一阶导数，且()0lim1,xf x+=求()f x.七、七、求幂级数()1132nnnnxn=+的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性.八、八、设有一半径为R的球体，0P是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P距离的平方成正比（比例常数0k），求球体的重心位置.九、九、设函数()f x在0,上连续，且()()000,cos0,f x dxf xxdx=试证：在()0,内至少存在两个不同的点12,，使()()120ff=.十、（本题满分十、（本题满分 6 分）分）设矩阵A的伴随矩阵*10000100,10100308A=且113,ABABAE=+其中E为 4 阶单位矩阵，求矩阵.B 十一、十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将16熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为nx和ny，记为向量nnxy.（1）求11nnxy+与nnxy的关系式并写成矩阵形式：1111;nnnnxxAyy+=（2）验证1241,11=是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3）当111212xy =时，求11nnxy+.十二、十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为()01pp=其中0为未知参数，又设12,nx xx?是X的一组样本观测值，求参数的最大似然估计值.2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析理工数学一试题详解及评析 一、填空题一、填空题(1)1202xx dx=.【答】.4【详解】()1122220002111sincos4xx dxxdxxttdt=（2）曲面2222321xyz+=在点()1,2,2的法线方程为 .【答】122146xyz+=.【详解】令 ()222,2321F x y zxyz=+，则有 ()()()()()()1,2,21,2,21,2,21,2,222,1,2,248,1,2,2612.|xyzFxFyFz=因此所求法线方程为：122146xyz+=（3）微分方程30 xyy+=的通解为 .【答】212CyCx=+.【详解】令py=，则原方程化为 30,ppx+=其通解为 3.pCx=因此，3221122,22CCCyCx dxCxCCx=+=（4）已知方程组12312112323120 xaxax +=无解，则a=.【答】-1.【详解】化增广矩阵为阶梯形，有 ()()1211121112112323011011120023100313aaaaaaaa+?可见。当1a=时，系数矩阵的秩为 2，而增广矩阵的秩为 3，因此方程组无解.注意，当3a=时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为 2，方程组有无穷多解.(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1,9A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则()P A=.【答】2.3【详解】由题设。有 ()()()1,9P ABP ABP AB=因为A和B相互独立，所以A与B，A与B也相互独立。于是由()()P ABP AB=，有 ()()()()P A P BP A P B=即有()()()()11,P AP BP AP B=可得 ()P A=()P B 从而 ()()()()211,9P ABP A P BP A=解得 ()P A=2.3 二、选择题二、选择题（1）设()(),f xg x是恒大于零得可导函数，且()()()()0fx g xf x gx，则当axb （B）()()()()f x g af a g x（C）()()()()f x g xf b g b （D）()()()()f x g xf a g a【】【答】应选（A）.【详解】由题设知()()()()()()()20,f xfx g xf x gxg xgx=因此当axb 即 ()()()()f x g bf b g x，可见（A）为正确选项.（2）设()22221:0,S xyzazS+=为S在第一卦限中的部分，则有（A）14SSxdSxdS=（B）14SSydSxdS=（C）14SSzdSxdS=（D）14SSxyzdSxyzdS=【】【答】应选（C）.【详解】显然，待选答案的四个右端均大于零，而S关于平面0 x=和0y=对称，因此（A）、（B）、（D）三项中的左端项均能为零，可见（C）一定为正确选项.事实上,有 1144SSSzdSzdSxdS=（3）设级数1nnu=收敛，则必收敛的级数为（A）()11.nnnun=（B）21nnu=（C）()2121.nnnuu=(D)()11.nnnuu+=+【】【答】应选（D）.【详解】利用级数的性质即知，（D）为正确选项，事实上，（A）、（B）、（C）三个选项可举反例说明是不正确的.例如：()211lnnnn=收敛，但()2211lnnnnnunnn=发散，可排除（A）；()111nnn=收敛，但2111nnnun=发散，可排除（B）；()1111nnn=收敛，但()212111111212nnnnnuunnn=+发散，可排除（c）.（4）设n维列向量组()1,mmn?线性无关，则n维列向量组1,m?线性无关的充分必要条件为（A）向量组1,m?可由向量组1,m?线性表示.（B）向量组1,m?可由向量组1,m?线性表示.（C）向量组1,m?与向量组1,m?等价.（D）矩阵()1,mA=?与矩阵()1,mB=?等价.【】【答】应选（D）.【详解】用排除法.（A）为充分但非必要条件：若向量组1,m?可由向量组1,m?线性表示，则一定可推导1,m?线性无关，因为若1,m?线性相关，则()1,mrm，取逆时针方向.【详解】2222,44yxPQxyxy=+则有()()()222224,0,04PyxQx yxyxy=+作足够小的椭圆：cos:2sinxtCyt=（0,2,tC取逆时针方向），于是由格林公式有 220.4L Cxdyydxxy+=+?从而有 222222201244LCxdyydxxdyydxIIdtxyxy=+?六、六、设对于半空间0 x 内任意的光滑有向封闭曲面,S都有 ()()20,xSxf x dydzxyf x dzdxe zdxdy=?其中函数()f x在()0,+内具有连续的一阶导数，且()0lim1,xf x+=求()f x.【详解】由题设和高斯公式得()()()()()220,xSxxf x dydzxyf x dzdxe zdxdyxfxf xxf xedV=+?其中为S围成的有界闭区域，号对应曲面取外侧或内侧，由S的任意性，知 ()()()()20,0 xxfxf xxf xex+=即 ()()()2111,0 xfxf xexxx+=这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为()()xxef xeCx=+由于()200limlim1,xxxxeCef xx+=故必有 ()20lim0,xxxeCe+=即 10C+=，从而1C=因此 ()()1.xxef xex=七、七、求幂级数()1132nnnnxn=+的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性.【详解】因为()()()()1111213231limlimlim332123 113nnnnnnnnnnnnnaann+=+所以收敛半径为3R=，相应的收敛区间为()3,3 当3x=时，因为()()311232nnnnn+，且11nn=发散，所以原级数在点3x=处发散；当3x=时，由 于()()()()()3211113232nnnnnnnnnn=+，且()11nnn=与()()12132nnnnn=+都收敛.所以原级数在点3x=处收敛.八、八、设有一半径为R的球体，0P是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P距离的平方成正比（比例常数0k），求球体的重心位置.【分析】本题为一物理应用题，由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的，因此本题的关键是建立适当的坐标系，一般来说，可考虑选取球心或固定点0P作为坐标原点，相应的有两种求解方法.【详解 1】用表示球体，以的球心为原点,O射线0OP为正x轴建立直角坐标系，则点0P的坐标为(),0,0R球面的方程为 2222xyzR+=设的重心位置为(),x y z，由对称性，得 0,0,yz=()()222222x kxRyzdVxkxRyzdV+=+而 ()()222223222522000548sin33215RxRyzdVxyzdVR dVddrrdrRR+=+=+=()()22222236228315xxRyzdVRx dVRxyzdVR+=+=故 4Rx=.因此，球体的重心位置为,0,0.4R【详解 2】用表示所考虑的球体，O表示球心，以点0P选为原点，射线0PO为正z轴建立直角坐标系，则球面的方程为 2222xyzRz+=设的重心位置为(),x y z，由对称性，得 0,0,xy=()()223223kz xyzdVzk xyzdV+=+因为()2cos22242200054sin32 15RxyzdVddrdrR+=()2cos222522000672064sincos64 cossin38 3Rz xyzdVddrdrRdR+=故 5.4zR=因此，球体的重心位置为50,0,4R.九、九、设函数()f x在0,上连续，且()()000,cos0,f x dxf xxdx=试证：在()0,内至少存在两个不同的点12,，使()()120ff=.【详解】令()()0,F xf t dt=则有()()00,FF=又因为()()()()()000000coscos cossin sin|f xxdxxdF xF xxF xxdxF xxdx=+=令()()0sinG xF xtdt=，则()()00,GG=于是存在()0,，使()sin0,F=因为当()0,，这样就证明了.()()()00FFF=再对()F x在区间0,，,上分别用罗尔定理知，至少存在()10,，()2,使()()120FF=即 ()()120ff=十、（本题满分十、（本题满分 6 分）分）设矩阵A的伴随矩阵*10000100,10100308A=且113,ABABAE=+其中E为 4 阶单位矩阵，求矩阵.B【分析】本题为解矩阵方程问题，相当于是未知矩阵，其一般原则是先简化，再计算，根据题设等式，可先右乘A，再左乘*A，尽量不去计算1.A【详解 1】由*,AAA AA E=知1*nAA=，因此有 3*8AA=，于是 2A=在等式113,ABABAE=+两边先右乘A，再左乘*A，得*23,BA BA AA B=+=()*26,EABE=于是 ()11*10006000010006006 261010606003060301BEA=【详解 2】2A=（同解 1），由*,AAA AA E=，得()()11*1000010022101031008820000200 ,2020310044AA AA=可见AE为逆矩阵.于是由()13,AE BAE=有()13BAEA=，而 ()111000100001000100,2010201043301000344AE=因此 1000200060000100020006003201020206060431030101000344B=十一、十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将16熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为nx和ny，记为向量nnxy.（1）求11nnxy+与nnxy的关系式并写成矩阵形式：1111;nnnnxxAyy+=（2）验证1241,11=是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3）当111212xy =时，求11nnxy+.【详解】（1）由题意，得 1152 165 63 15 6nnnnnnnxxxyyxy+=+=+化简 119210513105nnnnnnxxyyxy+=+=+即 119210513105nnnnxxyy+=可见 92105.13105A=（2）因为行列式()1241,5011=可见 12,线性无关.又 114,1A=故1为A的特征向量，且相应的特征值11=.22112,122A=为A的特征向量，且相应的特征值212=.（3）因为 11121111212nnnnnnnnxxxxAAAAyyyy+=?因此只要计算nA即可.令 1241,11P=则由112,P AP=有 112,APP=于是 1112141411111121144221 51111422nnnnnnnAPP=+=+因此 11118321211012322nnnnnxAy+=+十二、十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为()01pp=其中0为未知参数，又设12,nx xx?是X的一组样本观测值，求参数的最大似然估计值.【详解】似然函数为()()()()12122,1,2,0,niixninexinLL x xx=?其他 当()1,2,ixin=?时，()0L，取对数，得()()1lnln22.niiLnx=因为()ln20,dLnd=所以()L单调增加.由于必须满足()1,2,ixin=?，因此当取12,nx xx?中的最小值时，()L取最大值，所以的最大似然估计值为 ()12min,nx xx=?