《考研资料》2014考研数学三真题及答案解析.pdf

您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http:/ 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析(完完完完整精准版整精准版整精准版整精准版)来源来源来源来源：文都教育文都教育文都教育文都教育 一一一一、选择题选择题选择题选择题：18 小题小题小题小题，每小题每小题每小题每小题 4 分分分分，共共共共 32 分分分分，下列每题给出四个选项中下列每题给出四个选项中下列每题给出四个选项中下列每题给出四个选项中，只有一个选项只有一个选项只有一个选项只有一个选项符合题目要求的符合题目要求的符合题目要求的符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上请将所选项的字母填在答题纸指定位置上请将所选项的字母填在答题纸指定位置上请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。（1）设lim,0naaa=且，则当 n 充分大时有（）（A）na|2a （B）|2naa (D)1naan时，有|naa 即 .|nnaaaaaa (2)下列曲线有渐近线的是（A）sinyxx=+(B)2sin yxx=+(C)1sinyxx=+(D)21sinyxx=+【解析解析解析解析】1sin()11limlimlim(1sin)1xxxxf xxaxxxx+=+=11lim()limsinlimsin0 xxxbf xaxxxxx=+=yx=是1sinyxx=+的斜渐近线(3)设()220P xabxcxdxx=+，当时，若tan P xx（）是比3x高阶的无穷小，则下列试题中错误的是（）（A）0a=（B）1b=（C）0c=（D）16d=【解析解析解析解析】法 1：由泰勒公式331tan()3xxxO x=+得 23333001(1)()()()tan3limlim0 xxabxcxdxo xP xxxx+=您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http:/ 10,1,0,3abcd=故选（D）.法 2：由条件及 222320000()tan23seclimtan0,0,limlim,limsec0,3xxxxP xxbcxdxxxaxxx+=知又 故 b=1,同理，再用洛比达法则可得10,3cd=故选（D）.【答案答案答案答案】D（4）设函数f x（）具有二阶导数，011g xfxfx=+（）（）（）（），则在区间0,1上（）（A）0fxf xg x当（）时，（）（）（B）0fxf xg x当（）时，（）（）（C）0fxf xg x当（）时，（）（）（D）0fxf xg x当（）时，（）（）【解析解析解析解析】当()0fx时，()f x是凹函数 而()g x是连接()()0,0f与()()1,1f的直线段，如右图 故()()f xg x【答案答案答案答案】D（5）行列式00000000ababcdcd=（）（A）2adbc（）（B）2adbc（）（C）2222a db c （D）2222b ca d【解析解析解析解析】000040000ababcdcd按第 行展开c（-1）4+14 40000(1)0000ababbdacdcd+=-cb（-1）3+2abcd+da（-1）2+1abcd=()adbc bcad adbc（）=()()()2adbcbcadadbc=【答案答案答案答案】B 您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http:/（6）设1,2,3 均为三维向量，则对任意常数 k,1,向量组1323kl+，线性无关是向量123,线性无关的（）（A）必要非充分 （B）充分非必要 （C）充分必要 （D）既非充分也非必要【解析解析解析解析】由()1323123,),kl +=（1001kl知，123,线性无关时，因为10000 所以1323,kl+线性无关 反之不成立.如当30=，且1与2线性无关时，1,23,线性相关【答案答案答案答案】A （7）设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P（B）=0.5，P（A-B）=0.3，则 P（B-A）=（）（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4【解析解析解析解析】P（A-B）=P（A）-P（AB）A 与 B 相互独立 P（AB）=P（A）P（B）P（A-B）=P（A）-P（A）P（B）=P（A）1-P（B）=0.3 P（A）（1-0.5）=0.3 P（A）=0.6 P（AB）=P（A）P（B）=0.60.5=0.3 P（B-A）=P（B）-P（BA）=0.5-0.3=0.2【答案答案答案答案】B（8）设 X1，X2，X3为来自正态总体 N（0，2）的简单随机样本，则统计量3212 XXXS=服从的分布为（）（A）F（1，1）（B）F（2，1）（C）t（1）（D）t（2）【解析解析解析解析】23212XXXS=()22120，NXX()10221，NXX),0(23NX 您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http:/()103，NX )1(223X 3212XXX与相互独立.1212223322(1)2XXXXtXX=二二二二、填空题填空题填空题填空题：914 小题小题小题小题，每小题每小题每小题每小题 4 分分分分，共共共共 24 分分分分，请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设某商品的需求函数为 Q=40-2p（p 为商品的价格），则该商品的边际收益为 .【解析解析解析解析】2240)240()(ppppPQpR=.440)(ppR=（10）设 D 是由曲线 xy+1=0 与直线 y+x=0 及 y=2 围成的有界区域，则 D 的面积为 .【解析解析解析解析】如右图：区域 D 的面积 102010121n2yySdydxdydxl=+=+（11）设41202=dxxex，则a=.【解析解析解析解析】4102=dxxeax 即4141412122=+aaeae 0412122=aaeae 21=a.（12）二次积分=110)(22yyxdxexedy .【解析解析解析解析】积分区域如右图 您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http:/)1(212121)1(10101010101010101010110110222222222222=+=eeydedyyeedxedyyedxedyxedyxedxdxedydxxedyyyyyxyxyyxxyyyx原式（13）设二次型2212311323(,)24f x xxxxax xx x=+的负惯性指数是1，则a的取值范围 .【解析解析解析解析】=0221001aaA 因为A=+321321,0，负惯性指数为 1 1230,0 设从而 0 A 若0A，则1230,0,0.此时符合题意，而42=aA 240.22aa即.若0=A，则1230,0,0=，此时2=a 当a=2 时.102102012012(3)(3)22022AEA=+=+033321=，2=a符合题意 当2a=时)3)(3(22210201022210201+=+=AEA 033321=，符合题意 综上，a的取值范围是 22a 您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http:/（14）设总体X的概率密度为22,2(,)30,xxf x=其他，其中是未知参数，12,nx xx为来自总体X的简单样本，若221()niiE cx=，则c=.【解析解析解析解析】22222342224222212()334 3151562xE Xxdx dxx=22221152()25nniiiiE CXCE XC nCn=三三三三、解答题解答题解答题解答题：1523 题题题题，共共共共 94 分分分分，请将解答写在答请将解答写在答请将解答写在答请将解答写在答题纸指定位置上题纸指定位置上题纸指定位置上题纸指定位置上，解答应写出文字说明解答应写出文字说明解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限)11ln()1(lim2112xxdttetxtx+。【解】)11ln(1)1(lim)11ln()1(lim1122112xxxdttetxxdttetxtxxtx+=+)1(lim)1(lim12112xexxdttetxxxtx=+2121lim1lim)11(lim02012=+tettexexttttxx。（16）（本题满分10分）设平面区域0,0,41|),(22+=yxyxyxD，计算+Ddxdyyxyxx)sin(22。【解】由对称性得+=+=DDdxdyyxyxydxdyyxyxxI)sin()sin(2222，于是2222sin()sin()12DDxxyyxyIdxdydxdyxyxy+=+您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http:/=+=21212022)(sin41sin21)sin(21rrdrrdrrddxdyyxD+=2222cos41|cos41)(cos41sin41tdtttttdtdtt43=。（17）（本题满分10分）设函数)(uf二阶连续可导，)cos(yefzx=满足 xxeyezyzxz22222)cos4(+=+，若0)0(,0)0(=ff，求)(uf的表达式。【解】fyexzx=cos，fyeyzx=sin，fyefyexzxx+=2222coscos，fyefyeyzxx+=2222sincos，feyzxzx=+22222，令yeuxcos=，由xxeyezyzxz22222)cos4(+=+得 uufuf+=)(4)(，或uufuf=)(4)(，解得ueCeCufuu41)(2221+=，由0)0(,0)0(=ff得=+=+0412202121CCCC，解得161,16121=CC，故ueeufuu41)(161)(22=。（18）（本题满分10分）求幂级数=+0)3)(1(nnxnn的收敛域及和函数。【解】由1|lim1=+nnnaa得1=R，您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http:/ 当1=x时，因为0)3)(1(+nn（n），所以收敛域为)1,1(。令=+=0)3)(1()(nnxnnxS，则=+=+=002)1()2)(1()34()(nnnnxnnnxnnxS 210000(1)(2)(1)()()nnnnnnnnnnnxnxxx+=+=+233()()11(1)xxxxxx=+=。（19）（本题满分10分）设)(),(xgxf在,ba上连续，且)(xf单调增加，1)(0 xg，证明：（I）axdttgxa)(0，,bax。（II）+badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(。【证明】（I）因为1)(0 xg，所以xaxaxadtdttgdt1)(0，即axdttgxa)(0。（II）=+xadttgaaxaduufduugufx)()()()()(，0)(=a，)()()()()(+=xadttgafxgxgxfx，因为axdttgxa)(且)(xf单调增加，所以)()()(xfaxafdttgafxa=+，从而0)()()()()(=xfxgxgxfx，,bax 由=)(0)(0)(bxaxa得0)(x（,bax），从而0)(b，故+badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(。（20）（本题满分11分）您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http:/ 设=302111104321A，E为三阶单位矩阵。（I）求方程组OAX=的一个基础解系。（II）求满足EAB=的所有矩阵B。【解】（I）=310011104321134011104321302111104321A 310020101001310020105021，则方程组OAX=的一个基础解系为T(1,2,3,1)=。（II）令=121110987654321xxxxxxxxxxxxB，=121110987654321302111104321xxxxxxxxxxxxAB+=126311521041129611851074129631185210741323232432432432xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，由EAB=得=+=+=+032014321041107410741xxxxxxxxxx、=+=+=+032104321152118511852xxxxxxxxxx、=+=+=+132004321263129612963xxxxxxxxxx。由113400111014321030210111014321 131001201021001131001201045021131000111014321得 您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http:/=+=11111107411312201121321kkkkkxxxx；由013401111004321030211111004321 431003201061001431001111004321得=+=22222118524332604361321kkkkkxxxx；由113400111004321130210111004321 131001201011001131000111004321得+=+=33333129631312101111321kkkkkxxxx，故+=333322221111131214332613122kkkkkkkkkkkkB（其中321,kkk为任意常数）。（21）（本题满分11分）证明n阶矩阵111111111与n00200100相似。【证明】您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http:/ 令=111111111A，=nB00200100，由0|=AE得A的特征值为nnn=,011，由0|=BE得B的特征值为nnn=,011。因为AAT=，所以A可对角化；对B，因为1)()0(=BrBEr，所以B可对角化，因为BA,特征值相同且都可对角化，所以BA。（22）（本题满分11分）设随机变量X的概率分布为PX=1=PX=2=12，在给定X=i的条件下，随机变量Y服从均匀分布U(0,i),(i=1,2).（I）求Y的分布函数Fy(y);（II）求EY.【解解解解】（I）2|21|1)(=+=XyYPXPXyYPXPyYPyFY 2|211|21=+=XyYPXyYP，0y时，0)(=yFY；当10 y时，43221121)(yyyyFY=+=；当21 y时，21422121)(+=+=yyyFY；当2y时，1)(=yFY，故+=2,121,21410,430,0)(yyyyyyyFY。您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http:/（II）11,11 5/94/9P XY=